求曲线轨迹方程的五种方法
一、直接法
如果题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知
识推出等量关系，求方程时可用直接法。

例1长为2a的线段AB的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，求AB 中点P的轨迹方程。

/解：设点P的坐标为（x, y），\
则A（2x，0），B（0，2y），由|AB|=2a 得\、（2x 0）2（0 2y）2=2a
化简得x2+y2=a，即为所求轨迹方程
点评：本题中存在几何等式|AB|=2a，故可用直接法解之。

二、定义法
如果能够确立动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。

例2动点P到直线x+4=0的距离减去它到M （2, 0）的距离之
差等于2,则点P的轨迹是（）
A、直线
B、椭圆
C、双曲线
D、抛物线
解法一：由题意，动点P到点M （2，0）的距离等于这点到直
线x=-2的距离，因此动点P的轨迹是抛物线，故选D。

解法二：设P点坐标为（x，y），则/
|x+4|- （x 2）2 y2=2
当x > -4 时，x+4- （x 2）2 y2=2 化简得
当时，y2=8x 当x V -4 时，-X-4- .. （x 2）2 y2=2 无解
所以P点轨迹是抛物线y2=8x
点评：解法一与解法二分别用定义法和直接法求轨迹方程，明显, 解法一优于后一种解法，对于有些求轨迹方程的题目，若能采用定义法，则优先采用定义法，它能大量地简化计算。

三、代入法
如果轨迹点P（x，y）依赖于另一动点Q（a, b）,而Q（a, b）又在某已知曲线上，则可先列出关于x、y、a、b的方程组，利用x、y表示出a、b，把a、b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程，此法称为代入法。

2 2
例3 P
在以F1、F2为焦点的双曲线16七1上运动，则厶F1F2P
、k2 (x2 y2) • . x2 y2=12
••• k (x2+y2) =12,又点M在已知圆上，
••• 13k2x2+13k2y2-15kx-36ky=0
由上述两式消去x2+y2得
5x+12y-52=0
点评：用参数法求轨迹，设参尽量要少，消参较易。

五、交轨法
若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点方程，
的重心G 的轨迹方程是
四、参数法
此法称为交轨法。

解：设 P (X 。

, y o ), G (x , y ),则有
2
x 16
即吱
16 1(x
1(0 y 2 1
4 X 。

） 0 y o )
x 3x ，代入
y o 3y 由于G 不在F 1F 2上,
所以y 主0
如果轨迹动点P (x, y)的坐标之间的关系不易找到，也没有相关的点可用时，可先考虑将x、y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法。

例4 已知点M在圆13x* 2+13y2-15x-36y=0上，点N在射线0M 上，且满足|0M| • |ON|=12,求动点N的轨迹方程。

分析：点N在射线0M上，而同一条以坐标原点为端点的射线上两点坐标的关系为(x, y)与(kx, ky) (k> 0),故采用参数法求轨迹方程。

解：设N (x, y),则M (kx, ky), k>0 、由|OM| • |ON|=12 得
2 2
例5已知A i A是椭圆令与1 (a>b>0)的长轴，CD是垂
a b
直于A i A的椭圆的弦，求直线A i C与AD的交点P的轨迹方程。

解：设P (x, y), C (x o, y o), D (x°, -y o),(计 0)
•/ A1（-a
，0
）, A
(a, 0),由A i、C、P共线及A、D、P共线
y o y
得x o a x a
y o y
X o a x a
2 2 2 2
两式相乘并由X02 ¥021,消去x o, y。

,得，所求轨迹方程为笃爲i
a b a b
（y 工
o）
点评：交轨法的难点是消参，如何巧妙地消参是我们研究的问题。