高考数学专题：求曲线轨迹方程的常用方法
昕
省潼关县潼关高级中学 714399
求曲线的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查考生对曲线的定义、性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力.因此要分析轨迹的动点和已知条件的在联系，选择最便于反映这种联系的形式建立等式.其常见方法如下：（1）直接法：直接法就是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程，这种求轨迹方程
的方法就称为直接法，直接法求轨迹经常要联系平面图形的性
质.
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可以设出其标准方程，然后用待定系
数法求解.这种求轨迹方程的方法称为定义法，利用定义法求方
程要善于抓住曲线的定义特征.
（3）代入法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.这就叫代入法.
（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方
程，消去参数来求轨迹方程.
（5）几何法：根据曲线的某种几何性质和特征，通过推理列出等式求轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做几何法.
（6） 交轨法：在求动点轨迹方程时，经常遇到求两动曲线的交点轨
迹方程问题，我们列出两动曲线的方程再设法消去曲线中的参数即可得到交点的轨迹方程.
典型例题示讲解：
设圆C ：22(1)1x y -+=，过原点作圆的弦0A ，求OA 中点B 的轨迹方程.
【解】：法一：（直接法）
如图，设B （x ，y ），由题得2OB +2BC =2OC , 即x 2+y 2 +［22(1)x y -+］=1
即OA 中点B 的轨迹方程为2211()24
x y -+=
（x ≠0）.
法二：（定义法）
设B （x ，y ），如上图，因为B 是OA 的中点
所以∠OBC= 90︒,
则B 在以OC 为直径的圆上，
故B 点的轨迹方程是2211()24
x y -+=（x ≠0）.
法三：（代入法）
设A （1x ，1y ），B （x ，y ），
由中点坐标公式得11
,2
.2
x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即
1
12,2.x x y y =⎧⎨=⎩
又因为2
2
11(1)1x y -+=，所以22(21)(2)1x y -+=， 即2211
()24x y -+=（x ≠0）.
法四：（参数法）
设B （x ，y ），A 点坐标为（1+cos θ，sin θ）（θ∈Ｒ）， 则由中点坐标公式得1cos ,
2sin .
2x y θ
θ
+⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 消去参数得2211
()24x y -+=（x ≠0）.
法五：（几何法）
设B （x ，y ），由条件知CB ⊥OA ，OC 的中点记为M （1
2，
0），如图，则MB =12OC =1
2,故B 点的轨迹方程为
221
1
()24x y -+=（x ≠0）.
法六：（交轨法）
设直线OA 的方程y kx =，当k =0时，B 为（1，0）；
当k ≠0时，直线BC 的方程为1
(1)y x k =--.
由直线OA 、BC 的方程联立消去k ，
得其交点轨迹为220y x x +-=， 即2211
()24x y -+= （x ≠0，1）.
显然B （1,0）满足2211
()24x y -+=， 故2211
()24x y -+=（x ≠0，）为所求.
点评：求轨迹方程常用的几种方法，在本题中都可以应用.在解题中最容易出错的环节是轨迹方程中的变量取值围，要谨慎分析和高度重视.
题目：求曲线轨迹方程的常用方法
姓名：昕
所在单位：潼关县潼关中学
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