广义胡克定律的一般形式是：
e C ij
ijkl kl
C 是四阶刚度（弹性）张量。
eij Dijkl kl
D 是四阶柔度张量。
39
Chapter 5.2
广义胡克定律
确 定 线 弹 性 材 料 常 数 的 历 史 过 程
40
Navier (1785-1836)
Cauchy (1789-1857)

ν
y
E
e x是由于z的作用所产生的相对缩短
e
x

ν
z
E
22
Chapter 5.1
广义胡克定律
将上述三个应变相加，即得在x、y、z同时作用下
在x轴方向的应变
ex

x
E
ν
y
E
νz
E

1 E
x
ν
y z

同理可得到在y轴和z轴方向的应变
ey
下节中将证明 Cijkl Cklij
42
Cijkl C jikl
Chapter 5.1
广义胡克定律
Cijkl C jikl Cijlk 独立的弹性常数由81个降为36个
x c11e x c12e y c13e z c14 xy c15 yz c16 zx
由三部分组成，即
y
o
y
e x e x e x e x
y
x x z
21
Chapter 5.1
广义胡克定律
e x e x e x e x
其中e x 是由于x的作用所产生的相对伸长
e x

x
E
e x是由于y的作用所产生的相对缩短
e
x
E 0; G 0; K 0
34
Chapter 5.1
广义胡克定律
∵ E 0; G 0; K 0
G= E 2(1 + ν)
K



2 3
G

E
31 2

故要上式成立必要求：
1 0; 1 2 0
即 1 0.5
35
Chapter 5.1
广义胡克定律
E
1 1
2
ij
令


1
E
1
2

则 ij 2Geij ekkij
29
Chapter 5.1
广义胡克定律
弹性关系的常规形式为
x 2Ge x ; xy G xy y 2Ge y ; yz G yz x 2Ge z ; zx G zx
J. R. Rice
Chapter 2.1 33
引言
应力张量 应力平衡方程：
位移矢量 u
ji, j fi 0
应变张量 e 几何方程：
eij (ui, j ui, j ) / 2
（应变协调方程： e e e mjk nil ij,kl 0 ）
4
Chapter 5
引言
本构关系

1 E
y
ν x
z

ez

1 E
z
ν
x y

23
Chapter 5.1
广义胡克定律
根据实验可知，xy只引起 xy 坐标面内的剪应变xy，
而不引起 xz、yz，于是可得
xy

xy
G
同理
yz

yz
G
zx

zx
G
24
Chapter 5.1
Poisson (1781-1840)
Neumann (1798-1895)
Saint-Venant (1797-1886)
Voigt (1850-1919)
Chapter 5.1
广义胡克定律
由于应力应变都是二阶张量，且上式对任意的ekl
均成立，所以根据商判则Cijkl是一个四阶张量，称 弹性张量，共有81个分量。 • 弹性张量的Voigt对称性
杨氏模量，泊松比和剪切模量之间的关系为
G= E 2(1 + ν)
将弹性本构关系写成指标形式为
e ij
1
E
ij


E

kk ij
26
Chapter 5.1
广义胡克定律
ex

1 E
x

ν
y z

ey

1 E

y
ν x
z

ez

1 E
8
Chapter 5.1
弹性的定义
弹性本构关系：

σ TF,a
其中
F x a
94
F
Chapter 2.1
弹性的定义
弹性本构关系：
应力与应变率无关，也不依赖于变形历史； 没有迟滞效应。
T e, a 小变形弹性本构关系
σ T ε 均匀材料的小变形弹性本构关系
广义胡克定律
于是，得到各向同性材料的应变-应力关系：
ex

1 E
x
ν
y z

ey

1 E
y

ν x
z

ez

1 E
z

ν
x y

xy

xy
G
yz
yz
G
zx

zx
G
25
Chapter 5.1
广义胡克定律
各向同性本构关系
ij 2Geij ekkij

E
1
e ij

E
1 1
2

e kkij
对于各向同性材料，正应力在对应方向上只引 起正应变，剪应力在对应方向上只引起剪应变， 它们是互不耦合的。
38
Chapter 5.2
广义胡克定律
各向异性本构关系
对于各向异性材料的一般情况，任何一个应力分量 都可能引起任何一个应变分量的变化。
31
Chapter 5.1
广义胡克定律
0 K ; ij 2Geij
第一式说明弹性体的体积变化是由平均应力0引起
的，相应的弹性常数K称为体积模量。(体积变化)
第二式说明弹性体的形状畸变e ij 是由应力偏量 ij
引起的，相应的弹性常数是剪切模量G的二倍。(形状 变化)
弹性的定义
由实验可知当加载到A点后
卸载，加载与卸载路径并不 B
A
完全重合，亦即应力与应变
之间不是单值对应的关系。
C
OBACO称为滞后回线。其 o
e
所包含的面积称为滞后面积。
7
Chapter 5.1
弹性的定义
对大多数材料来讲，当 应力加载幅值较小时， 滞后回线非常窄小，可 以认为加载与卸载是重 合的。因此应力与应变 间可看作是单值对应关 系。
32
Chapter 5.1
广义胡克定律
常用的三套弹性常数
E、ν
单拉测定
Lamé常数：G、λ
K、G
静水压、纯剪 （扭转）测定
33
Chapter 5.1
广义胡克定律
对于给定的工程材料，可以用单向拉伸试验测定E和
；用薄壁筒扭转试验来测定G；用静水压试验来测
定K。实验表明，在这三种加载情况下物体的变形总 是和加载方向一致的(即外力总在物体变形上做正功)， 所以
第五章 本构关系
Constitutive Relation
冯西桥 清华大学工程力学系
2006.11.02
1
目录
引言 弹性的定义 广义胡克定律 应变能和应变余能 应变能的正定性
2
Chapter 5
弹性的定义
Difference between solids and fluids. Mechanics of Solids, The New Encyclopedia
ez

1 2
E
x y z
1 2
E
3K
其中
K E
3(1 2 )
称为体积模量。
28
Chapter 5.1
广义胡克定律
∵ eij

1
E
ij


E
kkij
;
1 2
E
∴
ij

E
1
e ij
1
ij

2Ge ij

泊松比
在单向拉伸时，在垂直于力作用线的方向发生收缩。
在弹性极限内，横向相对缩短 e x和纵向相对伸长 e y
成正比，因缩短与伸长的符号相反，有：
e y νe x
其中 是弹性常数，称为泊松比。
20
Chapter 5.1
广义胡克定律
线弹性叠加原理
z
先考虑在各正应力作用
z x
下沿 x 轴的相对伸长，它
11
Chapter 5.1
弹性的定义
超弹性（Green）
两个假设 ➢ 弹性体的响应仅依赖于当前的状态； ➢ 弹性体变形可以用一个状态张量关系表示。
Chapter 2.1 12 7
弹性的定义
超弹性（Green）
线弹性:
ij

W
e ij
W

1 2
Cijkl
e
ij
e
kl