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假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值 应为：
2.25e 0.10.25 2.19元
由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股 票多头，而目前股票市场为10元，因此：
10 0.25 f 2.19 f 0.31元
这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就 会存在无风险套利机会。
在风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险 利率r，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这 就是风险中性定价原理。
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风险中性定价原理的应用
假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们 知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。 现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股 票欧式看涨期权的价值。
z = t 其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标 准差为1的正态分布）中取的一个随机值。 特征2：对于任何两个不同时间间隔 t ，z的 值相互独立。
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将标准布郎运动扩展我们将得到普通布郎运动，令 漂移率为a，方差率为b2，我们就可得到变量x 的普通布 朗运动： dx adt bdz
根据众多学者的实证
研究，发达国家的证券 市场大体符合弱式效率 市场假说。一般认为， 弱式效率市场假说与马 尔可夫随机过程（ ）
是内在一致的。因此我 们可以用数学来刻画股 票的这种特征。
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布朗运动（ ）起源于英国植物学家布郎对水杯中的 花粉粒子的运动轨迹的描述。
对于标准布朗运动来说：设 t 代表一个小 的时间间隔长度，z 代表变量z在 t 时间内的 变化，遵循标准布朗运动的 z 具有两种特征： 特征1：z 和 t 的关系满足：
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当股票价格服从几何布朗运动 dS Sdt Sdz 时，由 于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G()，根
据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程：
dG (G S G 1 2G 2 S 2 )dt G Sdz
S
t 2 S 2
S
比较（11.1）和（11.11）可看出，衍生证券价格G和 股票价格S都受同一个不确定性来源的影响，这点对于以 后推导衍生证券的定价公式很重要。
1973年，美国芝加哥大学教授 提出了著名的定价模型，用于确定欧式股票期权
价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年， C. 独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由 此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。在本章中，我们将 循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯-默顿期 权定价模型（下文简称模型），并由此导出衍生证券定 价的一般方法。
2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、 无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉 及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是， 我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收 益率 是无关的。
3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 2 / 2 < ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值 是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收 益率则是算术平均的结果。
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假设：
1、证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数；
2、允许卖空标的证券； 3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的； 4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付； 5、存在无风险套利机会； 6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的； 7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。
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一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用 漂移率为μS、方差率为 2 S2的伊藤过程（即几何布朗运动）
来表示：dS Sdt Sdz
之所以采用几何布朗运动其主要原因有两个：
一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾 的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率 服从正态分布，这与实际较为吻合。
－0.5)元；若3个月后该股票价格等于9元时，该组合价值
等于9 元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应
选择适当的 值，使3个月后该组合的价值不变，这意味
着：
11 －0.5=9
=0.25
因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头 和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元 还是9元，该组合价值都将等于2.25元。
2、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为 aT，标准差为 b T，方差为b2T。
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普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x 的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可 以得到 dx a(x, t)dt b(x, t)dz
这就是伊藤过程（ ）。其中，是一个标准布朗运动，a、 b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。
标准布朗运动是普通布朗运动的一个特例，即漂移 率为0，方差为1的普通布郎运动。
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普通布朗运动的离差形式为 x at b t ，显然，Δx也
具有正态分布特征，其均值为 at ，标准差为 b t ，方差为b 2t
1、显然，遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程， 其中第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位时间为a 。 第二项bdz是随机项，它表明对x的动态过程添加的噪音 。这种噪音是 由维纳过程的b倍给出的。
代入式 dG ( G a G 1 2G b 2 )dt G bdz我们就可得到 G ln S 所
x
t 2 x 2
x
遵循的随机过程为 dG d ln S ( 2 )dt dz
2
由于是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续
复利收益率服从期望值( 2 )dt ，方差为 2dt 的正态分布。
t 2 S 2
S
f rS f 1 2 S 2 2 f rf
t S 2
S 2
**这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，
它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有
衍生证券的定价。
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观察布莱克－舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制于主观的风 险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定 公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产 生影响。因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设：在 对衍生证券定价时，所有投资者都是风险中性的。尽管这只是一个 人为的假定，但通过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险 中性情况，也适用于投资者厌恶风险的所有情况。
© & , 20因此有：dS Sdt Sdz
其在一个小的时间间隔t中，S的变化值 S 为：
S St Sz
设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函
数，根据伊藤引理可得：
df
f (
S f
1 2 f
2 S 2 )dt f
Sdz
S
t 2 S 2
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在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（）进一步推导出：
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函数G将遵循如下过
程：
dG (G a G 1 2G b 2 )dt G bdz
x t 2 x 2
x
其中，是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。
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**随机微积分与非随机微积分的差别 d ln S dS
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:
1、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标 准差
2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益率 的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动 率的估计值。在计算中，一般来说时间距离计算时越近 越好；时间窗口太短也不好；一般来说采用交易天数计 算波动率而不采用日历天数。
ln ST
ln S
~
[(
2 2
)(T
t),
T t]
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由上一页的推导可知证券价格对数服从正态分布。如果
一个变量的自然对数服从正态分布，则称这个变量服从对数
正态分布。这表明服从对数正态分布。根据对数正态分布的
特性，以及符号的定义，我们可以得到 和 var(ST ) S 2 e 2 (T t) [e 2 (T t) 1]
在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思 想。
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市场有效理论与随机过程
有效 市场 三个 层次
1965年，法玛（Fama）提出了 著名的效率市场假说。该假说认为， 证券价格对新的市场信息的反应是 迅速而准确的，证券价格能完全反 应全部信息。
1、弱式效率市场假说 2、半强式效率市场假说 3、强式效率市场假说
由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月 后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则 该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元， 则该期权价值为0。
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为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看
涨期权空头和 单位的标的股票多头组成的组合。若3
个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于( 11
S
在一个小的时间间隔中，f的变化值 f 为：
f
f (
S f
1 2 f
2 S 2 )t f
Sz
S
t 2 S 2
S
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为了消除风险源 z ，可以构建一个包括一单位衍生证 券空头和 f 单位标的证券多头的组合。