3.9.2 无损分解
无损分解定义：关系模式R<U,F>的一个分解
ρ={ R1<U1,F1>，R2<U2,F2>， …，Rn<Un,Fn>}，对于R的任
一关系r，都有r为其在各Ui(1=1,…,n)上的投影的(自然) 连接,即r=πU1(r) ⋈πU2(r) ⋈… ⋈πUn(r)，则称关系模式
R的这个分解ρ具有无损连接性（Lossless join）。
ρ={R1(ABC), R2(CD),R3(DE)}。 那么ρ相对于F是否无损分解？
算法2 判别一个分解的无损连接性
R1(ABC), R2(CD),R3(DE) F={AB→C，C→D，D→E}
初始表：
A
B
C
D
E
R1 a1 a2 a3 b14 b15
R2 b21 b22 a3 a4 b25
R3 b31 b32 b33
（4）对F按具有相同左部的原则分组(假定分为k组)， 每一组函数依赖Fi所涉及的全部属性形成一个属性 集Ui。若Ui Uj(i≠j)，就去掉Ui。于是 ρ={R1<U1，F1>，R2<U2，F2>，…，Rk<Uk，Fk>} 构 成R<U，F>的一个保持函数依赖的分解，并且每个 Ri(Ui,Fi)均属于3NF且保持函数依赖。
算法2 判别一个分解的无损连接性
③比较扫描前后，表有无变化。如有变化， 则返回第②步处理，否则，算法结束，则 ρ相对于F是有损分解。 如果发生循环，那么前次扫描至少应使该 表减少一个符号，表中符号有限，因此循 环必然会终止。
算法2 判别一个分解的无损连接性
例1，设关系模式R(ABCDE)， F={AB→C，C→D，D→E}， R分解成
3.9.2 无损分解（续）
4. 将SL分解为下面二个关系模式： ND(Sno, Sdept) ， DL(Sdept, Sloc) 该分解保持了函数依赖(且具有无损连接性)。
3.9.3 保持函数依赖的模式分解
定义：设关系模式R<U,F>被分解为若干个关系模式 R1<U1,F1>，R2<U2,F2>，…，Rn<Un,Fn> 其中 U=U1∪U2∪…∪Un，且不存在Ui Uj，Fi为F在Ui上 的投影），若F所逻辑蕴含的函数依赖一定也由分 解得到的某个关系模式中的函数依赖Fi所逻辑蕴含， 则称关系模式R的这个分解是保持函数依赖的 （Preserve dependency）。
3.9.3 保持函数依赖的模式分解(续)
• 如果一个分解具有无损连接性，则它能够保证不 丢失信息。
• 如果一个分解保持了函数依赖，则它可以减轻或 解决各种异常情况。
• 分解具有无损连接性和分解保持函数依赖是两个 互相独立的标准。具有无损连接性的分解不一定 能够保持函数依赖；同样，保持函数依赖的分解 也不一定具有无损连接性。
算法2 判别一个分解的无损连接性
设ρ＝{R1<U1，F1>，R2<U2，F2>，…，Rk<Uk，Fk>}
是R<U，F>的一个分解，U＝{A1,…, An} ①构造一张k行n列的表格。每列对应一个属性Aj，
每行对应一个模式Ri。如果Aj属于Ui，那么在表格 的第i行第j列处填上符号aj，否则填上bij。
3.9.4 模式分解算法
例，设R（A,B,C,D,E），Fmin={ A→B，C→D}。 则， ρ＝{R1（A,B)，R2（C,D）,R3（E）}
是保持函数依赖的分解。
3.9.4 模式分解算法
算法4 转换为3NF既有无损连接性又保持函数依赖 的分解 。 （1）对关系模式R中的函数依赖集F进行“极小化” 处理，然后把最小依赖集中那些左部相同的FD用 合并性合并起来，处理后的函数依赖集仍记为F；
算法终止。 (3)设ρ中Ri<Ui,Fi>不属于BCNF，那么必有X→AFi＋
( A X)，且X非Ri的超码。对Ri进行分解： σ＝{S1,S2}，US1＝XA，US2＝Ui－{A}，以σ代替 Ri<Ui,Fi>返回第(2)步。 由于U中属性有限，因而有限次循环后算法5一定 会终止。
算法5 转换为BCNF的无损连接分解。
3.9 模式的分解
3.9.1 关系模式分解的标准 • 把低一级的关系模式分解为若干个高一级的关系模
式的方法并不是唯一的
• 只有能够保证分解后的关系模式与原关系模式等价， 分解方法才有意义 “等价”概念的三种定义：
（1）分解具有无损连接性。 （2）分解要保持函数依赖性。 （3）分解既要保持函数依赖，又要具有无损连接性。
R6（HJ）}
3.9.4 模式分解算法
课后习题： 已知，关系模式R(A,B,C,D,E)，R的最小依 赖集Fmin={A→B，C→D}。 试将R分解为3NF,并具有无损连接性和保持 函数依赖性。
3.9.4 模式分解算法
算法5 转换为BCNF的无损连接分解。 (1)关系模式R的分解ρ，初始时ρ={R<U,F>}。 (2)检查ρ中各关系模式是否均属于BCNF。若是，则
算法2 判别一个分解的无损连接性
②逐一检查F中的每个函数依赖，并修改元素，方法是： 1、取F中一函数依赖X→Y(从第一个开始，到最后一个取完结束)， 2、找出X所对应的列中具有相同符号的行。 （如X列中有某两个值均 为a3的行,则算是相同的两行，如果是有两个下标的则不是相同符号， 如a31） 3、考察这些行中Y列的元素，若其中有aj，则全部改为aj，否则全部改 bmj，其中m是这些行的行号最小值。 4、若在某次更改后，有一行是a1a2…an，那么ρ相对于F是无损分解， 算法结束。 对F中的每个函数依赖进行一次上述的处置，称对F的一次扫描。
这是一个自项向下的算法。它自然地形成一棵对 R<U,F>的二又分解树。R<U,F>的分解树不一定是
唯一的。这与步骤(3)中具体选定的X→A有关。
算法5 转换为BCNF的无损连接分解。
例， 设关系模式W(CTHRSG)的属性分别表示课程 名、任课教师名、上课时间、上课教室、选修的 学生学号、成绩等含义。W上的函数依赖集F： {C → T，HR → C，TH→R，CS → G，HS → R}
3.9.3 保持函数依赖的模式分解 (续)
对于关系模式S-L：
• 第1种分解方法既不具有无损连接性，也未保持函 数依赖。
• 第2种分解方法未保持函数依赖，也不具有无损连 接性。
• 第3种分解方法具有无损连接性，但未保持函数依 赖。
• 第4种分解方法既具有无损连接性，又保持了函数 依赖。
3.9.4 模式分解算法
显然，模式W上只有一个键，是HS。
解：要把W分解成BCNF模式集，可以首先考虑CS
→ G，据算法，应把CTHRSG分解成CSG和CTHRS。
为进一步分解，计算出πCSG (F)＝{CS → G }， πCTHRS (F) ＝{C → T，HR →C，TH → R，HS → R}。模式CTHRS的键是HS。
算法3（合成法）转换为3NF的保持函数依赖的分解。 （1）对关系模式R中的函数依赖集F进行“极小化”
处理，处理后的函数依赖集仍记为F； （2）若有X→AF，且XA=U，则ρ={R}，算法终止； （3）找出不在F中出现的属性，将它们构成一个关系
模式，并把这些属性从R中去掉，把剩余的属性仍 记为U。
算法3 转换为3NF的保持函数依赖的分解
解：HJ是L类属性，所以候选键至少包含HJ，另 外，(HJ)＋ ＝{FGHIJ}，所以HJ是唯一的候选键。 （1）求出最小依赖集
Fmin=F={F→I,J→I,I→G,GH→I,IH→F}
3.9.4 模式分解算法
(2) 将关系分解为： ρ＝{ R1(FI),R2(JI),R3(IG),R4(GHI),R5(IHF)} (3) ρ并上候选键： ρ＝{R1（FI）,R2(JI),R3(IG),R4(GHI),R5(IHF)，
算法5 转换为BCNF的无损连接分解。
显然CSG已是BCNF，而CTHRS必须进一步分 解。如考虑C→T，则把CTHRS分解成CT和 CHRS， πCT (F) ＝{C →T}， πCHRS (F) ＝{CH → R，HS → R，HR → C}。HS是 CHRS的键。 CHRS再分解一次，利用CH→R分解成CHR和 CHS，2模式均满足BCNF。 分解结束。
最后结果： A
B
C
R1 a1
a2
a3
R2 b21 b22 a3
R3 b31 b32 b33
a4 a5
D
E
a4 1 a5 2
a4
a5 2
a4 a5
ρ相对于F是无损分解
算法2 判别一个分解的无损连接性
例2，R(A，B，C)， F={ AB，CB}
–分解ρ1={R1(A,B)，R2(A,C)} –分解ρ2={R1(A,B)，R1(B,C)} 分析两种分解的无损连接性？
2. SL分解为下面二个关系模式： NL(Sno, Sloc)， DL(Sdept, Sloc)
3. 将SL分解为下面二个关系模式： ND(Sno, Sdept) ，NL(Sno, Sloc)
3.9.2 无损分解（续）
第3种分解方法具有无损连接性。 问题: （1）没有保持原关系中的函数依赖，即 S-L中的函数依赖Sdept→Sloc没有投影到关系模 式ND、NL上。 （2）存在冗余和操作异常。
• 具有无损连接性的分解保证不丢失信息。 • 无损连接性不一定能解决插入异常、删除异常、修改复杂、
数据冗余等问题。
3.9.2 无损分解（续）
例：S-L（Sno， Sdept， Sloc） F={ Sno→Sdept,Sdept→Sloc,Sno→Sloc} S-L∈2NF，分解方法可以有多种：