（1）求出最小依赖集
Fmin=F={F→I,J→I,I→G,GH→I,IH→F}
3.9.4
模式分解算法
(2) 将关系分解为： ρ＝{ R1(FI),R2(JI),R3(IG),R4(GHI),R5(IHF)} (3) ρ并上候选键： ρ＝{R1（FI）,R2(JI),R3(IG),R4(GHI),R5(IHF)， R6（HJ）}
每一组函数依赖Fi所涉及的全部属性形成一个属性 集Ui。若Ui lt;U1，F1>，R2<U2，F2>，…，Rk<Uk，Fk>} 构
成R<U，F>的一个保持函数依赖的分解，并且每个
Ri(Ui,Fi)均属于3NF且保持函数依赖。
3.9.4
模式分解算法
例，设R（A,B,C,D,E），Fmin={ A→B，C→D}。 则， ρ＝{R1（A,B)，R2（C,D）,R3（E）} 是保持函数依赖的分解。
算法2
判别一个分解的无损连接性
设ρ＝{R1<U1，F1>，R2<U2，F2>，…，Rk<Uk，Fk>} 是R<U，F>的一个分解，U＝{A1,…, An}
①构造一张k行n列的表格。每列对应一个属性Aj，
每行对应一个模式Ri。如果Aj属于Ui，那么在表格 的第i行第j列处填上符号aj，否则填上bij。
3.9.4
模式分解算法
算法4 转换为3NF既有无损连接性又保持函数依赖 的分解 。 （1）对关系模式R中的函数依赖集F进行“极小化” 处理，然后把最小依赖集中那些左部相同的FD用 合并性合并起来，处理后的函数依赖集仍记为F；
（2）对F中的每个一函数依赖X→Y，构成一个关系 模式Ri(X,Y)，Ri为3NF,ρ＝{R1,R2,…,Rn}
3.9
分解的定义：
（关系）模式的分解
关系模式R<U，F>的一个分解是指ρ ＝{R1<U1，
F1>，R2<U2，F2>，…，Rn<Un，Fn>} 其中U＝U1∪U2∪…∪Un ，并且不存在Ui Uj,1≤i,j≤n，Fi是F在Ui上的投影。 函数依赖集合{X→Y| X→Y∈ F＋∧XYUi}的 一个覆盖(等价)Fi叫做F在属性Ui上的投影。
3.9.2
无损分解
无损分解定义：关系模式R<U,F>的一个分解 ρ={ R1<U1,F1>，R2<U2,F2>， …，Rn<Un,Fn>}，对于R的任 一关系r，都有r为其在各Ui(1=1,…,n)上的投影的(自然) 连接,即r=πU1(r) ⋈πU2(r) ⋈… ⋈πUn(r)，则称关系模式 R的这个分解ρ具有无损连接性（Lossless join）。 • 具有无损连接性的分解保证不丢失信息。 • 无损连接性不一定能解决插入异常、删除异常、修改复杂、 数据冗余等问题。
A AB AC a1 B a2 C
a1
A
a2
B
a3
C a3
AB BC
a1
a2
a2
算法2 判别一个分解的无损连接性
例3，设关系模式R(ABCD)，R分解成 ρ={R1(AB), R2(BC),R3(CD)}。 如果R上成立的函数依赖集 F={A→B，C→D}， 那么ρ相对于F是否无损分解？
算法2 判别一个分解的无损连接性 F={A→B，C→D}
b21 b31
b22 b32
a3 b33
a4 a4
ρ相对于F是无损分解
算法2
判别一个分解的无损连接性
例2，R(A，B，C)， F={ AB，CB} –分解ρ1={R1(A,B)，R2(A,C)} –分解ρ2={R1(A,B)，R1(B,C)} 分析两种分解的无损连接性？ –分解1只具有无损连接性, 分解2不具有无损连 接性。
3.9.3 保持函数依赖的模式分解
定义：设关系模式R<U,F>被分解为若干个关系模式
R1<U1,F1>，R2<U2,F2>，…，Rn<Un,Fn> 其中
U=U1∪U2∪…∪Un，且不存在Ui Uj，Fi为F在Ui上
的投影），若F所逻辑蕴含的函数依赖一定也由分 解得到的某个关系模式中的函数依赖Fi所逻辑蕴含， 则称关系模式R的这个分解是保持函数依赖的 （Preserve dependency）。
3.9.4
模式分解算法
• 算法1 判别一个二元分解的无损连接性。 若F＋中至少存在如下函数依赖中的一个： （1）（U1∩U2）→U1－U2 （2）（U1∩U2）→U2－U1 则ρ={ R1<U1>，R2<U2>}是R的无损分解。反之也 成立。 如：模式S-L（Sno， Sdept， Sloc） 分解为2个模式： ND(Sno, Sdept) ，NL(Sno, Sloc) 则是无损分解。
3.9.3
保持函数依赖的模式分解(续)
• 如果一个分解具有无损连接性，则它能够保证不 丢失信息。 • 如果一个分解保持了函数依赖，则它可以减轻或 解决各种异常情况。 • 分解具有无损连接性和分解保持函数依赖是两个 互相独立的标准。具有无损连接性的分解不一定 能够保持函数依赖；同样，保持函数依赖的分解 也不一定具有无损连接性。
3.9.2
无损分解（续）
例：S-L（Sno， Sdept， Sloc） F={ Sno→Sdept,Sdept→Sloc,Sno→Sloc} S-L∈2NF，分解方法可以有多种： 1. S-L分解为三个关系模式： SN(Sno) ，SD(Sdept)，SL(Sloc) 2. SL分解为下面二个关系模式： NL(Sno, Sloc)， DL(Sdept, Sloc) 3. 将SL分解为下面二个关系模式： ND(Sno, Sdept) ，NL(Sno, Sloc)
（1）对关系模式R中的函数依赖集F进行“极小化” 处理，处理后的函数依赖集仍记为F；
（2）若有X→AF，且XA=U，则ρ={R}，算法终止；
（3）找出不在F中出现的属性，将它们构成一个关系 模式，并把这些属性从R中去掉，把剩余的属性仍 记为U。
算法3 转换为3NF的保持函数依赖的分解
（4）对F按具有相同左部的原则分组(假定分为k组)，
3.9.2
无损分解（续）
第3种分解方法具有无损连接性。 问题: （1）没有保持原关系中的函数依赖，即 S-L中的函数依赖Sdept→Sloc没有投影到关系模 式ND、NL上。 （2）存在冗余和操作异常。
3.9.2
无损分解（续）
4. 将SL分解为下面二个关系模式： ND(Sno, Sdept) ， DL(Sdept, Sloc) 该分解保持了函数依赖(且具有无损连接性)。
算法5 转换为BCNF的无损连接分解。
这是一个自项向下的算法。它自然地形成一棵对
R<U,F>的二又分解树。R<U,F>的分解树不一定是 唯一的。这与步骤(3)中具体选定的X→A有关。
算法5 转换为BCNF的无损连接分解。
例， 设关系模式W(CTHRSG)的属性分别表示课程 名、任课教师名、上课时间、上课教室、选修的 学生学号、成绩等含义。W上的函数依赖集F： {C → T，HR → C，TH→R，CS → G，HS → R} 显然，模式W上只有一个键，是HS。 解：要把W分解成BCNF模式集，可以首先考虑CS → G，据算法，应把CTHRSG分解成CSG和CTHRS。 为进一步分解，计算出πCSG (F)＝{CS → G }， πCTHRS (F) ＝{C → T，HR →C，TH → R，HS → R}。模式CTHRS的键是HS。
3.9
模式的分解
3.9.1 关系模式分解的标准 • 把低一级的关系模式分解为若干个高一级的关系模 式的方法并不是唯一的
• 只有能够保证分解后的关系模式与原关系模式等价， 分解方法才有意义
“等价”概念的三种定义： （1）分解具有无损连接性。 （2）分解要保持函数依赖性。 （3）分解既要保持函数依赖，又要具有无损连接性。
例1，设关系模式R(ABCDE)， F={AB→C，C→D，D→E}， R分解成 ρ={R1(ABC), R2(CD),R3(DE)}。 那么ρ相对于F是否无损分解？
算法2 判别一个分解的无损连接性 R1(ABC), R2(CD),R3(DE)
F={AB→C，C→D，D→E}
初始表： R1 R2 R3 最后结果： R1 R2 R3 A a1 b21 b31 A a1 B a2 b22 b32 B a2 C a3 a3 b33 C a3 D b14 a4 a4 D a4 1 E b15 b25 a5 E a5 2 2 a5 a5
3.9.3
保持函数依赖的模式分解（续）
例如，将S－L（Sno， Sdept， Sloc） F={ Sno→Sdept,Sdept→Sloc,Sno→Sloc} 分解为下面二个关系模式(第四种分解)： ND(Sno, Sdept) ， DL(Sdept, Sloc) 该分解保持了函数依赖(具有无损连接性)。
模式分解算法
• 算法1 判别一个二元分解的无损连接性 • 算法2 判别一个分解的无损连接性 • 算法3（合成法）转换为3NF的保持函数依赖的分 解。 • 算法4 转换为3NF既有无损连接性又保持函数依 赖的分解 。 • 算法5 （分解法）转换为BCNF的无损连接分解 • 算法6 达到4NF的具有无损连接性的分解。
算法5 转换为BCNF的无损连接分解。
显然CSG已是BCNF，而CTHRS必须进一步分 解。如考虑C→T，则把CTHRS分解成CT和 CHRS， πCT (F) ＝{C →T}， πCHRS (F) ＝{CH → R，HS → R，HR → C}。HS是 CHRS的键。
CHRS再分解一次，利用CH→R分解成CHR和 CHS，2模式均满足BCNF。 分解结束。