关于多值复函数的几个问题
石 彤 菊
复变函数作为实变函数在复数域上的推广，它与实函数既有着天然的联系又有本质的区别。

这是学习复函数的关键所在。

复函数的多值性就是复函数区别实函数的一大特点，应提起重视。

本文就常见的几种复函数，分别讨论它们的一些特有的性质及与实函数不同之处。

1 复数的幅角
1).定义：复数可以用复平面上以原点为起点，以Z 为终点的向量来表示。

即oz z →
=。

定义该向量与实轴正向的夹角为复数Z 的幅角。

这里幅角有无穷多个，用Argz 表示幅角全体。

称Argz 为幅角通值。

2).幅角表示：要把所有幅角表示出来，选定幅角主值-<≤ππarg z ，
即Argz=argz+2k π ，K 为任意整数。

因此要求幅角Argz ，关键在于求出幅角主值argz 。

3). argz 的求法：argz 的值完全取决于复数Z 及Z 的位置。

由于y x arctg y x y x arctg y x
><00时，表示第一象限角时，表示第四象限角,,因此： argz=arctg y x x z arctg y x x y z arctg y x x y z >+<>-<<⎧⎨⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪00000 (,(,(位于第一、四象限）位于第二象限）位于第三象限）ππ 正确求出幅角主值是复数运算的关键，复数的乘、除、乘幂、开方等运算一般均用复数的三角形式或指数形式进行计算，而通常所给复数为代数形式。

因此，首先应把它化为三角形式：
z= |z| [cos (argz)+isin (argz)]。

4).解析性：由于argz 在原点z=0处无定义，argz 在原点处不连续。

设z 0是负实轴上 任意一点，考察：
lim arg lim ()lim ()z z y y y y z arctg y x x arctg y x x →>→<→=+=<-=-<⎧⎨⎪⎩⎪00000
00ππππ 所以argz 在原点和负实轴上不连续。

因此argz 在复平面上除原点和负实轴外均解析。

2 对数函数w=Lnz
1).定义：w=Lnz= ln|z|+iArgz = ln|z|+iargz+2k π i ，K 为任意整数。

由定义可见对数函数是多值函数。

2).特殊性质：
(1).负数可以求对数。

例：Ln(-1)=(2k+1)π i
(2).Lnz nLnz n
≠ (n>1整数)
因为：
ni
k z in z n nLnz i k z in z n i k z in z i k z i z Lnz n n n n ππππ2arg ln 2arg ||ln 2arg ln 2arg ln ++=++=++=++=
n=2时， Lnz z i z k i
Lnz z i z k i 22222224=++=++ln arg ln arg ππ
3).解析性：Lnz 的解析性由定义可知它由argz 的解析性决定。

因此Lnz 的每一单值分支在除原点和负实轴的全复平面内解析。

3 乘幂函数w z b =
1).定义：
(1).当b 为整数时，是一个单值函数z z b z i b z b b =+||(cos arg sin arg ) (2).b p q
=(p,q 为互质整数)，则 z z z p z k q i p z k q b p q p q
==+++()||[cos(arg )sin(arg )]22ππ z b 有q 个值。

是一个多值函数。

(3).b 为一般复数，定义
z e e b bLnz b z k i i z ==++(ln||arg )2π（k 为任意整数），
因此z b 有无穷多值。

2).性质：
由定义知w z b =的解析性完全由argz 的解析性决定，因此它的每一分支在除原点和负实轴的复平面上解析。