w r1r2 e
i[ 2( n1n ) ] 1 2 2 2
r1r2 e
i[ 2 k ] 1 2 2
,
当k取0,1,时函数w有两个不同值，故其为二值函数。 支点为z=±i两点，无穷远点不是该函数的支点。 因为绕无穷远点旋转一周后： 1 2 1 2 4 ,
Y
解： z a r1 ei(1 2 n1 ) , z b r2 ei(2 2 n2 ) , 令
则w 3 r1r2 e
i[ 2 ( n1 n ) ] 1 2 2 3
3 r1r2 e
i[ 2 k ] 1 2 3
,
c3
c1
a 1
w1.
说明函数w并没有回到起始值。 l l2 当变量z从起始值沿着包围原点 z0=0的闭合回路l2再运行一周回到起始点，相应的函数w由 w2 变为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱl1
0
w3 e
i (argz 4 ) 2
e
i ( 1 arg z 2 ) 2
e
i 1 arg z 2
w1.
i[ 2 ] 1 2 3
,
当宗量绕z=a点沿c1再旋转一周后， 1 2 1 4 , 2不变；
w3 3 r1r2 e
i( 4 ) 1 2 3
,
当宗量绕z=a点沿c1旋转三周后， 1 4 1 6 , 2不变, w3 w1.
w1 r1r2 e
i( ) 1 2 2
w2 r1r2 e
i( 4 ) 1 2 2
.
Ⅰ Ⅱ
因此黎曼面的割线是 连接两支点z=±i的线段。
例3：讨论函数
课堂练习。
z 1 w ln 3 z
的多值性,并求出全部支点。
答案：支点为z=1和z=3两点的多值函数。 解题过程： 令 z 1 1e , 3 z 2e
若函数w=f(z)的自变量z绕某点z0旋转一周回到起始点后，而函 数值f(z起点)≠ f(z终点)，则称z0为函数的支点。 当自变量z绕某点z0旋转n周后有f(z起点)= f(z终点)，则称z0为函数 的n-1阶支点。 阶数为有限的支点称为代数支点，阶数为无限的支点称为超 越支点。 支点通常为函数的奇点、零点或无穷远点。
w2 3 r1r2 e
i( 8 ) 1 2 3
i[ 4 ] 1 2 3
,
w3 3 r1r2 e
, w1 ,
绕第三周， w3 3 r1r2 e 可见，无穷远点也是 该函数的二阶支点。 黎曼面的割线为a→∞ 和b →∞两条射线和a b 线段 。
i( 8 ) 1 2 3
可见z=a点是函数的二阶支点。
同理， z=b点也是函数的二阶支点。（自证） 当绕无穷远点旋转时，相对于反绕所有支点旋转，故转一周后
1 2 1 2 4 , 则w1 3 r1r2 e
再绕一周， w2 3 r1r2 e
i[ 4 ] 1 2 3
i( ) 1 2 3
§1.6 多值函数
本 节 内 容
从根式函数引出多值函数
支点及其分类
黎曼面及割线
多值函数的应用举例
一、多值函数的引出
令z r ei (arg z 2 n ) ,
讨论根式函数 w z .
则w r e
i (argz 2 n ) 2
ei
i arg z 2 , w1 e i w e 2 (arg z 2 ) . 2
i1 i 2
1ei 1 w ln ln i (1 2 ). i 2e 2
1 2
2
C1 Z C2
当绕z = 3点一周（如图C2）：
1
1 3
2 2 2 , 1不变， 1 w w1 ln i (1 2 2 ) w, 函数的模是否不变？ 2
四、另一支点 z=∞点也是上面根式的一阶支点。 证明： 令z 1t ,
t R e ,
i
z
e
i(- )
R
,
w
e
i - 2
R
.
当t绕着t=0(即z=∞)点一周回到原处时：
e -i z1 R
w1 e
i - 2
e -i( 2 ) z2 R
w2 e
w4 3 r1r2 e
i( 12 ) 1 2 3
Ⅰ Ⅱ
a1
b1
a2
a3
b2
b3
Ⅲ
2 例2：讨论函数 w z 1 的多值性,并求出全部支点。
解： w z 2 1 ( z i )( z i ),
令z i r1 ei(1 2 n1 ) , z i r2 ei(2 2 n2 ) ,
当绕z = 3点无数周后，函数值均不同，
说明 z=3为函数支点，且为超越支点。
同理可知z=1也是函数的超越支点。
不过，z=∞不是函数的支点。 因为绕无穷远点旋转一周后： 1 1 2 , 2 2 2，
1 - 2 (1 2 ) (2 2 ) 1 - 2，
说明变量z绕着包围原点z0的区域旋转两周后，函数w在其相应的复 平面内旋转一周后回到起始点，可见单值分支首尾相连。
当变量z绕着不包围原点z0的区域l’旋转一周后，其辐角并未经过 2变化，即始、末的辐角不变，即函数w也不发生变化。说明在这 样的区域变化时，函数不会从一个单值分支转到另一单值分支。
二、支点
i - 2 ( 2 )
e i(- 2 ) , R
e
i ( 2 2
)
R
R
R
.
当再绕一周后函数值回到起始值。说明z=∞点也是支点。 注：绕z=∞点旋转，相当于绕着z=0点逆转。 通常，根式函数、对数函数和反三角函数都是多值函数。
五、举例 例1：讨论函数 w 3 ( z a)( z b) 的多值性,并求出全部支点.
w1≠w2，故称w为多值 函数、w1和w2为多值函 数的两个单值分支。
两个单值分支是相互联系、不可分割的。 当变量z从起始值 z 出发，沿着 包围原点z0=0的闭合回路l1运行一周 回到起始点，相应的函数w由起始值
z
w1 e
i arg z 2
, 变为w2 e
i (argz 2 ) 2
z
b
2
当k取0,1,2时函数w有三个不同值， 故其为三值函数。 当宗量绕z=a点沿c1旋转一周后，
c2 0 X
1 1 2 , 2不变； w1 3 r1r2 e 则
则w2 r1r2 e
3
i[ 2 ] 1 2 3
i( ) 1 2 3
w2 3 r1r2 e
1ei 1 w ln ln i (1 2 )=w1 , i 2e 2
1 2
表明 z=∞不是函数的支点。
作业P27：(2),(3)
三、黎曼面 定义:将多值函数的自变量与函数变为一对一映射关系的平面。 单值分支上函数与自 变量是一一对应的，但
L1 v w1 u L2 w2
在分支首尾连接处并非
如此，因此我们如右图 构造黎曼面。
z平面
w平面
仍以上面的根式函数 为例。规定自变量的范围, Ⅰ支:0≤Argz<2; Ⅱ支:2≤Argz< 4 . 这样，双叶曲面的上叶便与函数平面不包括负实轴的上半平面一 一对应，同样下叶与函数平面不包括正实轴的下半面一一对应。 自变量只有经过支点与无穷远点形成的上下叶分割线时，才会 从一叶变到另一叶。（实际上无穷远点也是该函数支点）