3.3.1相似三角形的判定（一）
【学习目标】
(1) 会用符号“∽”表示相似三角形如△ABC ∽ △A′B′C′; (2) 知道当△ABC 与△A′B′C′的相似比为k 时，△A′B′C′与△ABC 的相似比为1k ．
(3) 掌握两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似的判定方法。

【学习重点】理解掌握三边对应成比例的两个三角形相似的判定方法及应用．
【学习难点】 运用三边对应成比例的两个三角形相似判定三角形相似． 一、知识回顾
平行于三角形一边与其它两边（或其延长线）相交，所截得的对应线段_________。

1、如图：MN//BC,则： ①AM AN =______=______. ②AM AB =______=______. 2、如图，DE//BC ，则： ①AD
AB =______=______. ②BD
AB
=______. 3、把一个△ABC 放大后得到△A′B′C′，那么△ABC 与△A′B′C′有什么关系？
①放大后AB 边对应______，BC 边对应______，AC 边对应A
B
C
M N
C B
A A′
B′
C′
______，∠A 对应______，∠B 对应______，∠C 对应______. ②对应边有什么关系？对应角有什么关系？ 二 合作探究
阅读教材P “说一说”，思考下列问题：
1、什么叫作相似三角形？如何表示相似三角形？ 在△ABC 与△A′B′C′中，
如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且AB A ′B ′=BC B ′C ′=AC A ′C ′
=k ．
我们就说△ABC 与△A′B′C′相似，记作:△ABC ∽△A′B′C′，
对应边的比AB A ′B ′=BC B ′C ′=AC
A ′C ′
=k 叫△ABC 与△A′B′C′的相似比．
【注意】①△A′B′C′与△ABC
②两个相似三角形的相似比具有顺序性。

根据相似三角形的定义，不难得到相似三角形性质：
△ABC ∽△A′B′C′══＞⎩⎨⎧∠A=_____、∠B=_____、∠C=____.
AB A ′B ′=BC B ′C ′=AC A ′C ′
2、【问题】如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
3、【问题】已知：如图，DE//BC.求证：△AD E ∽△
ABC.
∵D E ∥BC
∴∠B=∠ADE, ∠C=∠AED
AD AB =AE AC =DE
BC
；
又：∠A=∠A
∴△ADE ∽△ABC (相似三角形定义) 【归纳总结】
相似三角形判定预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的三角形与原三角形_________.
∵D E ∥BC ∴△ABC ∽△ADE
【注意】平行截相似的三种基本图形。

【例题分析】
1. 如图，若△AB C ∽△XYZ,△DEF ∽△XYZ,求证：△AB C ∽△DEF
A
B
C Z Y
X
F
E D
分析：根据相似三角形性质，得出对应边成比例，对应角相等，再结合相似三角形的定义进行证明。

证明：∵△AB C ∽△XYZ
∴∠A=∠X,∠B=∠Y,∠C=∠Z,
且：AB XY =BC YZ =AC
XZ ①
∵△DEF ∽△XYZ
∴∠D=∠X,∠E=∠Y,∠F=∠Z,
且：DE XY =EF YZ =DF
XZ ②
∴∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
由①÷②得：AB DE =BC EF =AC
DF
∴△AB C ∽△DEF.
2.如图，DE ∥BC,EF ∥AB.求证：△ADE ∽△EFC.
A B
C
D E F
证明：
【归纳总结】
相似三角形的传递性：若△AB C ∽△XYZ,△DEF ∽△XYZ, 则△AB C ∽△DEF 【知识运用】
例1.（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在AD 上，连接CE 并延长与BA 的延长线交于点F ，若AE=2ED ，CD=3cm ，则AF 的长为（ ） A ．5cm B ．6cm C ．7cm D ．8cm
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∴△AFE ∽△DEC ， ∴AE DE =AF CD
， ∵AE=2ED ，CD=3cm ，
∴AF=2CD=6cm ． 【答案】B ．
例2.（2013•雅安）如图，在□ABCD 中，E 在AB 上，CE 、BD 交于F ，若AE BE =4
3
，且BF=2，则
DF=____________.
例3.（岳阳）如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 的中点，连接CE ，过B 作BF ⊥CE 交AC 于F ．求证：CF=2FA ．
D A
E
N
4、【探究】可否用类似于判定三角形全等的SSS 方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？
步骤：（1）任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有
同样的结论。

（2）问题：怎样证明这个命题是正确的呢？
（3）探求证明方法．（已知、求证、证明）
如图，在△ABC 和△A′B′C′中，AB A ′B ′=BC B ′C ′=AC A ′C ′
.
求证△ABC ∽△A′B′C′
【联想】我们有过得到两个三角形三边对应成比例的经验吗？其基本图形是怎么得到的？
证明 ：根据图形可知A′B′＞AB ，所以在A′B′上取一点D ，使A′D=AB,过点D 作D E ∥B′C ′，交A′C ′于点E 。

C B
A
∵D E ∥B′C ′
∴∠B′=∠A′DE, ∠C′=∠A′ED ；
A′D
A′B′=A′E A′C′=DE B′C′ 又：∠A´=∠A´
∴△A′DE ∽△A′B′C′(相似三角形定义)
由于：A′D=AB ，且A′D
A′B′=A′E A′C′=DE B′C′
∴DE=BC, A′E=AC ∴在△ABC 与△A′DE 中
⎩⎨⎧A′D=AB DE=BC A′E=AC
∴△ABC ≌△A′DE ∴△ABC △A′B′C′. （4）【归纳总结】
Ⅰ. 若一个三角形三边与另一个三角形三边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简称：三边对应成比例的两个三角形相似。

∴△ABC ∽△A′B′C′ Ⅱ. 三边对应成比例证明三角形相似类似于三边对应相等证明三角形全等。

三. 知识运用
1.如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，BF=13FC.
求证：△A D E ∽△BEF .
A
D
B
C
E
F
2. 如图，三个正方形拼成一个矩形ABEF.求证： （1）△ACE ∽△DCA （2）∠1+∠2+∠3=90°
F
E
G H
C
四. 小结巩固
（1） 谈谈本节课你有哪些收获．“三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．
（2） 相似比是带有顺序性和对应性的：
如△ABC ∽△A′B′C′的相似比AB A ′B ′=BC B ′C ′=AC A ′C ′=k ，那么
△A′B′C′∽△ABC 的相似比就是A´B´AB =B´C´BC =A´C´AC =1
k ，它们的关系
是互为倒数． 五、当堂检测
1．如图，△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ，找出对应角并写出对应边的比例式．
A
D
E
B
C
2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，找出对应角并写出对应边的比例式．
A
B C
E
D
3.（2013•平凉）如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为_____米．
4.（2013•苏州）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q 在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为____________
解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴OA=OC=2，OB=22，
∵QO=OC，
∴BQ=OB-OQ=22-2，
∵正方形OABC的边AB∥OC，
∴△BPQ∽△OCQ，
∴
BP
OC=
BQ
OQ，
即BP 2=2 2 −22， 解得BP=22-2，
∴AP=AB-BP=2–(22-2)=4-22， ∴点P 的坐标为（2，4-22）． 【答案】（2，4-22）．。