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等离子体物理讲义04_动理学理论矩方程
=1 ,
,, d
,
定义粒子的无规热运动速度为
,
,
则有
=1
,
,
,,
,
,
,,
·
·
不考虑碰撞作用时,相体积元变化粒子数不变,因此
,,
dd
,,
·
·
dd
保留一阶 近似和相体积元体积不变
·
·
dd
dd
因为 相体积元d d 的任意性,得到
·
·
此即关于粒子分布函数演化的支配方程,称为动理学方程,在 1872 年由 L. E. Boltzmann 首先提出,也称为 Boltzmann 方程。
如果不减少维数,要在给定时间 绘制出 , 的图是不可能的.在
一维系统中, , 能被描述为一个曲面.这个曲面和 常数平
面的交线是速度分布 .这个曲面和 常数平面的交线给出给
定 的粒子密度分布.如果所有曲线 碰巧有相同的形状,通过
峰值的曲线应当表示密度分布.图中的虚线是曲面和 常数平面的
交线:它们是水平曲线成常 曲线.这些曲线在
的位于相空间体积元d d 中的
粒子数目,且有
,
与此同时,在时间 ~
内,因为粒子相互作用(碰撞),使得一
部分粒子进入新相体积元d d ,而另一部分粒子离开旧相体积元
d d ,两相抵扣为因为碰撞作用进入新相体积元d d 的净粒子数目
dd
9
考虑粒子运动和碰撞引起的分布函数变化
,, dd
,,
dd
dd
在这个过程中,相体积元发生变形,新旧相体积元的关系为
的粒子数。如果粒子的质量为 ,则粒子的质量密度或体密度为
,
,
因为等离子体中包含多种带电粒子,至少一种以上的正电荷离子
和带负电荷的电子,所以要将分布函数加以区别,必须对每个种类考
虑其分布函数,设 类粒子的分布函数为 , , ,这种处理称为
动理学理论1(kinetic theory).一般地可以对函数 ,定义速度矩
4
可以是标量,矢量,也可以是张量。
1.1 Maxwell 分布
统计力学证明,达到热力学平衡的系统满足一个特别重要的分
布函数,Maxwell 分布
/
exp 2
其中
,
2
用定积分
exp
d√
很容易证明 对d d d 的积分为 .
服从 Maxwell 分布有几种常用的平均速度.均方根速度为
/
3
/
平均速度大小可按下式求出:
12
自洽场。
1.3 速度矩
在等离子体物理中,研究的是宏观平均物理量而不是分布函数的
详细形式,一般说来,物理上有意义的只有
1,
,
1
2
这三种,分别与质量,动量和能量相联系。对于普通流体,用三种矩
方程可以得到流体力学方程租。
实际上有物理测量意义的分别为一阶矩,二阶矩和三阶矩的一部
分。当
时,速度分布的一阶矩为粒子的平均速度
1.1 Maxwell 分布 ............................................................................... 5 1.2 动理学方程 ................................................................................. 9 1.3 速度矩 ....................................................................................... 13 §2 流体模型方程 .................................................................................. 17 2.1 双流体方程 ............................................................................... 17 2.2 磁流体模型 ................................................................................ 22 2. 3 流体漂移 ................................................................................... 27 §3 等离子体输运 .................................................................................. 31 3.1 BGK 方程.................................................................................... 32 3.2 双极扩散 ................................................................................... 38 3.2 经典扩散 ................................................................................... 40 习题 4 ..................................................................................................... 42
典型等离子体密度可以达到每立方米包含10 10 个离子— 电子对.每个粒子都遵循一条复杂的轨道,跟踪每一条轨道导出等离 子体的行为将是一个无望的工作,幸好这通常是不必要的。出人意外 的是,一个看似粗糙的模型能解释实际实验中所观察到的 80%的等 离子体现象,这就是流体力学的连续介质模型,它忽略了个别粒子的 本性,而只考虑流体质点的运动,粒子间的频繁碰撞使得流体质点中 的粒子一起运动.在等离子体情形中,流体还要包含电荷,这样一个 模型适用于一般不发生频繁碰撞的等离子体。
平面上的投影
将给出 的拓扑映射图.这样的图对于获得等离子体具有怎样行为的
初步观念是很有用的。
7
如果考虑在空间给定 点的 ,则能得到另一种 形式的有关 的等值线 图.例如如果运动是二维的, 且 对 , 是各向同性的, 则 , 的等值线将是 圆.各问异性的分布会有椭 圆等值线.一个漂移 Maxwell 分布会有偏离原点的圆周等值线,而一 个在 方向传播的粒子束应当作为一个独立的尖峰而显示出来.
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因为等离子体中包含多种粒子,不妨设为 种,那么描写这个粒 子体系的相空间是6 维的
, , 1,2, , 对于第 种粒子的分布函数 , , 在相空间中演化的动理学 方程为
·
·
其中, 表示第 种粒子所受的外力场,包括外场和等离子体内部的 平均场(自洽场),而碰撞作用项为
,
表示因碰撞引起的单位时间内第 种粒子的净增加数,是各类粒子碰 撞作用的总和,也包括同类粒子之间的碰撞。特别需要指出的是,碰 撞项依模型或近似方法不同而不同,既可以是积分算子,也可以是微 分算子,统称为碰撞算子。
流体模型能用于等离子体的一个原因是:在某种意义上磁场起到 了碰撞的作用.例如,当粒子被电场加速时,如果许可粒子自由流动, 就会连续地增加速度.当存在频繁的碰撞时,粒子就达到一个与电场 成正比的极限速度,磁场通过使粒子以 Larmor 轨道回旋,能限制粒 子自由流动.等离子体中的电子也以正比于电场的速度一起漂移.在 这个意义上,一个无碰撞等离子体的行为类似于一个有碰撞流体.当 然,粒子可以沿着磁场方向自由运动,流体模型对此并不特别合适.对 于垂立于磁场的运动,流体理论是一种很好的近似.
1
||
|| d
由于 是各向同性的,在 空间,用球坐标很容易作出积分.因为
每个球壳的体积元是4
,得到
|| 2
/
exp
4 / exp
5
4d 2
d √
其中用分部积分求出定积分的值为 1/2.这样
2 || 2
在单个方向的速度分量,譬如说 ,
它的平均就有所不同.当然,对各
向同性分布 等于零,但是| |不为 零
1
||
||
d 2
2| | exp
d
exp
d
exp
d
方括号里面的二个积分分别都等于√ ,最后一个积分简单,值为
。这样得到
||
=2
/
/
从假想平面的一边穿越到另一边的无规则运动通量为
1
1
||
||
2
4
概括地说,对于 Maxwell 分布而言,
3
,| |
2 2
,| |= 2
/
,
0
对于类似麦克斯韦的各向同性分布,能定义另一个函数 ,它
,, d
1
,, d
,
,, d
其中尖括号 · 表明对速度分布求平均。理论上,函数 是任意的,
1 Kinetic 原译为“运动的”,有鉴于“动力的”,前者与 kinematic 混淆,后者与 dynamic 混淆,2002 年中国物理学会物理名词委员会协商,将 Kinetic 译为“动理的”。于是,kinetic theory of gases 原定名为“分子运动论”更名为“分子动理学理论”。
等离子体物理学讲义
No. 4
马石庄
2012.02.29.北京
1
第 4 讲 动理学理论和矩方程
教学目的:学习从动理学方程建立等离子体宏观模型的方法,建立粒 子轨道与等离子体整体行为之间的联系,熟悉双流体模型的基本特征, 从等离子体的广义 Ohm 定律认识磁化等离子体的各向异性。 主要内容: §1 分布函数 ............................................................................................ 4