安阳师范学院本科学生毕业论文微分中值定理及其应用作者张在系（院）数学与统计学院专业数学与应用数学年级2008级学号06081090指导老师姚合军论文成绩日期2010年6月学生诚信承诺书本人郑重承诺：所成交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作即取得的研究成果。

尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表的或撰写的研究成果，也不包括为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所需用过的材料。

与我一同工作的同志对本研究所作出的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。

签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。

签名：导师签名：日期微分中值定理及其应用张庆娜（安阳师范学院 数学与统计学院, 河南 安阳455002）摘 要：介绍了使用微分中值定理一些常见方法,讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用.关键词：连续；可导；微分中值定理；应用1 引言人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下论：“抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes )正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积.意大利卡瓦列里(Cavalieri ) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦,这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理.人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.1637,著名法国数学家费马(Fermat ) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle ) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy ) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部巨著《分析教程》、《无穷小计算教程概论》 (1823年)、《微分计算教程》(1829年),以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在《无穷小计算教程概论》中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在《微分计算教程》中将其推广为广义中值定理—柯西定理.从而发现了最后一个微分中值定理.近年来有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.由于微分中值定理是高等数学的一个重要基本内容,而且无论是对数学专业还是非数学专业的学生,无论是研究生入学考试还是更深层次的学术研究,中值定理都占有举足轻重的作用,因此有关微分中值定理应用的研究显得颇为必要.2 预备知识由于微分中值定理与连续函数紧密相关,因此有必要介绍一些闭区间上连续函数的性质、定理.定理2.1[1](有界性定理) 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有界.即常数0M > ,使得x [,]a b 有|()|f x M ≤.定理2.2（最大、最小值定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在[,]a b 上有最大值与最小值.定理2.3（介值性定理） 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()()f a f b ≠.若μ为介于()f a 与()f b 之间的任意实数(()()f a f b μ<<或()()f b f a μ<<),则至少存在一点0(,)x a b ∈使得0()f x μ= .定理2.4（根的存在定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,且()f a 与()f b 异号（即()()0f a f b <）.则至少存在一点0(,)x a b ∈使0()0f x =, 即方程()0f x =在开区间(,)a b 内至少有一个根.定理 2.5（一致连续性定理） 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则()f x 在闭区间[,]a b 上一致连续.定理 2.6 设区间1I 的右端点为1,c c I ∈；区间2I 的左端点也为2,c c I ∈（其中1I ,2I 可分别为有限或无限区间）.若()f x 分别在1I 和2I 上一致连续,则()f x 在12I I 上也一致连续.定理 2.7（比较原则） 设n u ∑和n v ∑是两个正项级数,如果存在某正数N ,对一切n N >都有n n u v ≤,则（1）若级数n v ∑收敛,则级数n u ∑也收敛； （2）若级数n u ∑发散,则级数n v ∑也发散.定理2.8 绝对收敛的级数一定收敛. 3 相关的几个重要定理定理3.1（费马定理） 设函数()f x 在点0x 的某邻域内有定义,且在点0x 可导,若点0x 为()f x 的极值点,则必有0()0f x '=.定理3.2（罗尔中值定理） 若函数()f x 满足如下条件： （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导； （3）()()f a f b =,则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()0f ξ'=.定理3.3（拉格朗日中值定理） 若函数()f x 满足如下条件： （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续； （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导； 则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()()()f b f a f b aξ-'=-.定理3.4（柯西中值定理） 若函数()f x ,()g x 满足如下条件： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）()f x ',()g x '不同时为零； （4）()()g a g b ≠；则在开区间(),a b 内存在一点ξ,使得()()()()()()f f b f ag g b g a ξξ'-='-. 注 上面各定理的条件是充分的,但不是必要的. 4 微分中值定理的应用 4.1 证明有关等式在证明一些出现导数的等式时,进行适当的变形后,考虑应用微分中值定理加以证明.还有,就是我们在证明一些与中值定理有关的题目时,构造辅助函数是解决问题的关键.在证明题中巧妙选用和构造辅助函数,进行系统分析和阐述,从而证明相关结论.例 4.1.1[5]()f x 是定义在实数集R 上的函数,若对任意,x y R ∈,有2()()()f x f y M x y -≤-,其中M 是常数,则()f x 是常值函数.证明 对任意x R ∈,x 的改变量为x ∆,由条件有2()()()f x x f x M x +∆-≤∆,即()()f x x f x M x x+∆-≤∆∆,两边关于0x ∆→取极限得0()()0limlim 0x x f x x f x M x x∆→∆→+∆-≤≤∆=∆ 所以()0f x '=.由中值定理()(0)()0f x f f x ξ'-==,即()(0)f x f =, 故在R 上()f x 是常值函数.思路总结 要想证明一个函数()f x 在某区间上恒为常数一般只需证明该函数的导函数()f x '在同一区间上恒为零即可.例4.1.2[2] 设()f x =112112321343x x x x x x ------,证明：存在(0,1)ξ∈,使得()0f ξ'=.证明 由于()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,111(0)1220133f --=--=--,11(1)111121f =--0= .符合罗尔中值定理的条件,故存在ξ(0,1)∈,使()0f ξ'=例 4.1.3 若()f x 在[0,1]上有三阶导数,且(0)(1)f f =0=,设3()()F x x f x =,试证在(0,1)内至少存在一个ξ,使()0F ξ'''=.证明 由题设可知()F x ,()F x ',()F x '',()F x '''在[0,1]上存在,又(0)(1)F F =,由罗尔中值定理,∃1ξ(0,1)∈使1()0F ξ'=,又230(0)[3()()]|0x F x f x x f x =''=+=可知()F x '在上1[0,]ξ满足罗尔中值定理,于是21(0,)ξξ∃∈,使得2()0F ξ''=,又230(0)[6()6()()]|0x F xf x x f x x f x ='''''=++=对()F x ''存在21(0,)(0,)(0,1)ξξξ∈⊂⊂,使'''=. Fξ()0例4.1.4[4]（达布定理的推论） 若函数()f x 在[,]a b 内有有限导数,且()()0f a f b +-''< ,则至少存在(,)c a b ∈,使得()0f c '=.证明 ()()0f a f b +-''<,不妨设()0f a +'<,()0f b -'>,因为()lim[()()]/()0x af a f x f a x a ++→'=--<由极限的局部保号性可知,∃1δ0>,当1(,)x a a δ∈+时,()()0f x f a -<,即()()f x f a <.同样∃20δ>,当2(,)x b b δ∈-时,()()0f x f b -<,即()()f x f b <.取12min{,,}2b aδδδ-=,于是在(,)a a δ+,(,)b b δ-中,分别有 ()()f x f a <和()()f x f b <.故()f a ,()f b 均不是()f x 在[,]a b 中的最小值,最小值一定是在内部的一点处取得,设为c 由费马定理可知,()0f c '=.小结 证明导函数方程()()0n f x =的根的存在性的证明方法有如下几种：①验证函数()f x 在[,]a b 上满足罗尔中值定理的三个条件,由此可直接证明()0f ξ'=. ②在大多数情况下,要构造辅助函数()F x ,验证在[,]a b 上满足罗尔中值定理的三个条件,证明()0F ξ'=,进而达到证明问题的目的.③验证x ξ=为函数的极值点,应用费马定理达到证明问题的目的.例 4.1.5 设()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,0a b <<,试证：,(,)a b ξη∃∈使()()2a bf f ξηη+''=.证明 由于0a b <<,2(),()f x g x x =,()20g x x '=≠,(,)x a b ∈由于(),()f x g x 在[,]a b 上满足柯西中值定理 ,所以(,)a b η∃∈使22()()()2f f b f a b a ηη'-=- ()()()()()2f f b f a b a f b aηξη'-'⇒+==-,(,)a b ξ∈由上面二式可得,(,)a b ξη∃∈使得：()()2a bf f ξηη+''=.例4.1.6 设函数()f x 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且(0)0,(1)1f f ==.试证：对任意给定的正数,a b 在(0,1)内不同的ξ,η使()()a ba b f f ξη+=+''. 证明 由于,0a b >所以01aa b<<+. 又由于()f x 在[0,1]上连续且(0)0,(1)1f f ==.由介值性定理,(0,1)τ∃∈使得()a f a bτ=+, ()f x 在[0,],[,1]ττ上分别用拉格朗日中值定理有()(0)(),(0,)f f f ττξξτ'-=∈即()(),(0,)f f ττξξτ'=∈(1)()(1)(),(,1)f f f ττηητ'-=-∈即1()(1)(),(,1)f f ττηητ'-=-∈于是由上面两式有1()1()()()f bf a b f ττηη--==''+ ()()()()f a f a b f ττξξ==''+将两式相加得1()()()()a ba b f a b f ξη=+''++即()()a ba b f f ξη+=+''. 小结 大体上说,证明在某区间内存在,ξη满足某种等式的方法是： ①用两次拉格朗日中值定理.②用一次拉格朗日中值定理,一次罗尔中值定理. ③两次柯西中值定理.④用一次拉格朗日中值定理,一次柯西中值定理. 4.2 证明不等式在证明不等式时,可以考虑从微分中值定理入手,找出切入点,灵活运用相关微分中值定理,进行系统的分析,从而得以巧妙解决. 例4.2.1[3] 设 ⑴(),()f x f x '在[,]a b 上连续；⑵()f x ''在(,)a b 内存在； ⑶()()0;f a f b ==⑷在(,)a b 内存在点c ,使得()0;f c >求证在(,)a b 内存在ξ,使()0f ξ''<.证明 由题设知存在1(,)x a b ∈,使()f x 在1x x =处取得最大值,且由⑷知1()0f x >,1x x =也是极大值点,所以1()0f x '=.由泰勒公式：211111()()()()()(),(,)2!f f a f x f x a x a x a x ξξ'''-=-+-∈. 所以()0f ξ''<.例4.2.2 设0b a <≤,证明ln a b a a ba b b--≤≤. 证明 显然等式当且仅当0a b =>时成立. 下证 当0b a <<时,有ln a b a a ba b b--<<① 作辅助函数()ln f x x =,则()f x 在[,]b a 上满足拉格朗日中值定理,则(,)b a ξ∃∈使ln ln 1a b a b ξ-=- ②由于0b a ξ<<<,所以111a bξ<< ③ 由②③有1ln ln 1a b a a b b-<<-,即ln a b a a ba b b--<<. 小结 一般证明方法有两种①利用泰勒定理把函数()f x 在特殊点展开,结论即可得证. ②利用拉格朗日中值定理证明不等式,其步骤为：第一步 根据待证不等式构造一个合适的函数()f x ,使不等式的一边是这个函数在区间[,]a b 上的增量()()f b f a -；第二步 验证()f x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,并运用定理,使得等式的另一边转化为()()f b a ξ'-；第三步 把()f ξ'适当放大或缩小.4.3 利用微分中值定理求极限及证明相关问题例 4.3.1 设函数在0x x =点的某一邻域内可导,且其导数()f x '在0x 连续,而0n n x αβ<<当n →∞时00,n n x x αβ→→,求 ()()lim n n n n nf f βαβα→∞--.解 设00{},{}()n n u x αβ⊂,则由拉格朗日中值定理有()()(),()n n n n n n n nf f f βαξαξββα-'=<<-.已知0()n x n ξ→→∞,又()f x '在0x 连续,即00()lim ()x x f x f x →''=,所以0()()limlim ()lim ()()n n n n n x x n nf f f f x f x βαξβα→∞→∞→--'''===.例4.3.2 若()f x 在(,)a +∞内可导,且lim[()()]0x f x f x →∞'+=,求lim ()x f x →∞.分析 由式[()()][()]x x f x f x e f x e ''+=,引进辅助函数()(),()x x F x f x e g x e ==,显然()0g x '≠.解 由lim[()()]0x f x f x →∞'+=,知0ε∀>,0X ∃>当x X >时()()f x f x ε'+<,令()()x F x f x e =,()x g x e =对x X >,在[,]X x 上利用柯西中值定理有()()()()()()F x F X F g x g X g ξξ'-='-,(,)X x ξ∈即()()[()()]x X x X f x e f X e f f e e e e ξξξξ'-+=-,亦有[()()]()()1X xX xf x f X e f f e ξξ---'=+-,或|()||()||()()|(1)X x X x f x f X e f f e ξξ--'≤+++由于lim 0X x x e -→+∞=,所以1,x X ∃>当1x x >时有X x e ε-<和1X x e -<,于是1x x ∀>,使|()||()|2f x f X εε≤+即lim ()x f x →∞0=.小结方法1 选择适当的函数和区间利用拉格朗日中值定理并结合导函数的特点及极限的迫敛性求的最终结果.方法2 选择适当的函数和区间利用柯西中值定理结合具体题意求的最终结果. 4.4 证明零点存在性在证明方程根的存在性时,出现满足中值定理的相关条件时,可以考虑运用微分中值定理加以解决.从某种意义来说,微分中值定理为证明方程根的存在性提供了一种方法.例4.4.1 设i a R ∈且满足120 (0231)n a a aa n ++++=+,证明方程12012...0n n a a x a x a x ++++=在(0,1)内至少有一个实根.证明 引进辅助函数231012() (231)n n x x x F x a x a a a n +=+++++,显然(0)(1)0F F ==,()F x 又是多项式函数在[0,1]上连续,在(0,1)可导,()F x 满足罗尔中值定理的条件,故存在(0,1)ξ∈使()0F ξ'=而12012()...n n F x a a x a x a x '=++++故方程12012...0n n a a x a x a x ++++=在(0,1)内至少有一个实根ξ.注 本题构造()F x 的依据是使()F x 得导数恰好是所证方程的左边. 例4.4.2 证明：方程510x x +-=有唯一正根. 证明 （存在性）令5()1f x x x =+-,显然()f x 是连续函数,取区间[0,]N 则()f x 在[0,]N 上连续,在(0,)N 内可导,且4()510f x x '=+>,由连续函数的零点定理,知存在0x (0,)N ∈使0()0f x =即方程有正根(0)N >. （唯一性）下面用反证法证明正根的唯一性,设处0x 外还有一个10x >不妨设01x x <使1()0f x =则()f x 在01[,]x x 上满足罗尔中值定理条件,于是存在01(,)x x ξ∈使()0f ξ'=这与上面的4()510f x x '=+>矛盾.所以,方程有唯一的正根.例 4.4.3 设(),(),()f x g x h x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,证明(,)a b ξ∃∈使()()()()()()0()()()f ag ah a f b g b h b f g h ξξξ='''并由此说明拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是它的特例. 证明 作辅助函数()()()()()()()()()()f ag ah a F x f b g b h b f x g x h x =由于()()0F a F b ==,由罗尔中值定理知(,)a b ξ∃∈使()()()0()()()()()()()f a g a h a F f b g b h b f g h ξξξξ'==''', ①若令()1h x =,则由①式有()()10()()()1()()0f ag a F f b g b f g ξξξ'=='', ② 由②式可得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-此即柯西中值定理.若令()1h x =,()g x x =由①式有()10()()1()10f a a F f b b f ξξ'==', ③由③可得()()()f b f a f b aξ-'=-此即为拉格朗日中值定理.此类型题的一般解题方法小结 证明根的存在性有以下两种方法 （1）构造恰当的函数()F x ,使()()F x f x '=；对()F x 使用洛尔定理即可证得结论存在ξ,使得()0f ξ=；（2）对连续函数()f x 使用介值定理；证明根的唯一性一般用反证法,结合题意得出矛盾,进而结论得证. 4.5 函数的单调性例4.5.1[6] 证明：若函数()f x 在[0,)a 可导,()f x '单调增加,且(0)0f =,则函数()f x x在(0,)a 也单调增加.证明 对任意12,(0,)x x a ∈,且12x x <,则()f x 在1[0,]x 与12[,]x x 均满足拉格朗日中值定理条件,于是分别存在11212(0,),(,)c x c x x ∈∈,使111()(0)()0f x f f c x -'=-,21221()()()f x f x f c x x -'=-,由于()f x '单调增加,且(0)0f =,所以121121()()()f x f x f x x x x -≤-, 从而1212()()f x f x x x ≤, 即函数()f x x在(0,)a 也单调增加.证明函数为单调函数一般有两种方法： （1）利用函数单调的定义来证明；（2）利用导函数()f x '来证明.若在该区间上恒有()0f x '≥则()f x 为单增函数；若在该区间上恒有()0f x '≤则()f x 为单减函数. 4.6 导数的中值估计例 4.6.1[7] 设()f x 在[,]a b 上二次可微, ()()0f a f b ''==,则至少存在一点(,)a b ξ∈,使得22()()()()f f b f a b a ξ''≥--. 证明 因为函数()f x 在[,]2a b a +与[,]2a bb +上可导,所以由中值定理有11()()2(),(,),22a b f f a a b f c c a a b a +-+'=∈+- （1）22()()2(),(,),22a bf b f a b f c c b a b b +-+'=∈+- （2） (1)(2)+,并整理得212()()[()()]f c f c f b f a b a''+=--, （3）又()()0f a f b ''==,且()f x 在[,]a b 上二次可微,则分别在1(,)a c 与2(,)c b 内至少存在1ξ与2ξ,使11111()(),(,),f c f a c c aξξ'''=∈- （4）22222()(),(,),f c f c b c bξξ'''=∈- （5）(4)(5)+,并整理得211122()()()()()(),f c f c f c a f c b ξξ''''''+=-+- （6）将（6）式代入（3）式得11222()()()()()()f b f a f c a f c b b aξξ''''-=-+-- 令12()max{(),()}f f f ξξξ''''''=,则11222()()()()f b f a f c a f c b b aξξ''''-≤-+--()f b a ξ''≤- 即22()()()()f f b f a b a ξ''≥--,(,)a b ξ∈.解题方法小结选择适当的区间分别利用拉格朗日中值定理并进行适当处理,再结合具体题目采用适当的手段最终证得所求结论.4.7 证明函数在区间上的一致连续例4.7.1 设函数()f x 在(0,1]内连续且可导,有0lim ()0x x +→'=,证明：()f x 在(0,1]内一致连续.证明 由函数极限的局部有界性知,存在0M >和(0,1)c ∈,使(),(0,]x M x c '≤∈于是12,(0,]x x c ∀∈,且12x x ≠不妨设12x x <由柯西中值定理,12(,)x x ξ∃∈,有()ξ''==即221x x x =+-≤-故0,ε∀>2min{(),}2c Mεδ∃=,当12,(0,]x x c ∈,且21x x δ-<时,由上面两式得到21()()22f x f x Mε-≤≤于是知()f x 在(0,]c 上一致连续,由于()f x 在(0,1]上连续,所以()f x 在[,1]c 上一致连续, 由定理知()f x 在(0,1]内一致连续.证明函数在区间上的一致连续解题小结：利用一致连续的定义并结合有关一致连续的定理即可证得结论成立. 4.8 用来判定级数的敛散性例 4.8.1 设函数()f x 在点0x =的某邻域内有二阶连续导数,且0()lim0x f x x→=,证11()n f n ∞=∑绝对收敛.证明 由0()lim0x f x x→=且()f x 在0x =可导,知(0)0,(0)0f f '==故()f x 在点0x =处的一阶泰勒公式为：2211()(0)(0)()()2!2!f x f f x f x f x ξξ'''''=++=,(0,)x ξ∈ 因()f x M ''≤,故221()()2!2M f x f x x ξ''=≤. 取1x n=有 211()()2M f n n≤ 由于211()2n M n ∞=∑收敛,由比较判别知11()n f n ∞=∑绝对收敛.定理[8] 已知()f x 为定义在[1,)+∞上的减函数,()F x 为定义在[1,)+∞上的连续函数,且()()0F x f x '=>,(1,)x ∈+∞.⑴当极限lim ()n F n →∞存在时,正项级数1()n f n ∞=∑收敛,设其和为a ,则lim ()(1)lim ()(1)(1)n n F n F a F n F f →∞→∞-≤≤-+；⑵当极限lim ()n F n →∞=∞时,正项级数1()n f n ∞=∑发散.证明 下面只证定理的前半部分.因为函数()F x 在区间[,1]k k +上满足中值定理的条件（其中1k ≥）,所以在(,1)k k +内至少存在ξ使得(1)()()F k F k f ξ+-=成立,又()f x 为减函数,故有(1)(1)()(),1,2,,f k F k F k f k k n +<+-<=⋅⋅⋅.将上述n 个不等式相加得(2)(3)...(1)(1)(1)(1)(2)...()f f f n F n F f f f n ++++<+-<+++.令(1)(2)...()n S f f f n =+++, 则(1)(1)(1)(1)n n S f f n F n F S -++<+-<,（1）因极限lim ()n F n →∞存在,()f x 为减函数,从而数列{()}F n 有界,(1)(1)f n f +<,所以数列{}n S 单调递增且有上界,故极限lim n n S →∞存在,即级数1()n f n ∞=∑收敛.从而lim ()0n f n →∞=,由（1）可得1lim ()(1)()lim ()(1)(1)n n n F n F f n F n F f ∞→∞→∞=-≤≤-+∑.例4.8.2 判定级数21n n n e∞=∑是否收敛？若收敛,请估计其和.解 令2()x f x x e -=,2()(22)x F x x x e -=-++,则()()F x f x '=,()(2)x f x x x e -'=-,故当2x ≥时,()0f x '≤,此时()f x 为减函数,又lim ()n F n →∞0=,由定理知级数21n n n e∞=∑收敛,且22lim ()(2)lim ()(2)(2)n n n n n F n F F n F f e∞→∞→∞=-≤≤-+∑, 所以210(2)(1)0(2)(2)(1)n n n F f F f f e∞=-+≤≤-++∑即2212111014n n n e e e e e∞----=+≤≤+∑.判定级数的敛散性的一般解题方法方法一 一般先运用泰勒定理并结合题意,再运用比较判别法即可得到所要证明的结论；方法二 先验证级数满足相关定理的条件,即可得到相应结论； 5 总结人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代,对微分中值定理的研究从微积分建立之始就开始了.至今有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果,相比之下,对有关中值定理应用的研究尚不是很全面.讨论了洛尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理在证明中根的存在性、不等式、等式及判定级数的敛散性和求极限等方面的应用,最后通过例题体现微分中值定理在具体问题中的应用.参考文献[1]华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京:高等教育出版社第三版,2001.[2]孙清华,孙昊编. 数学分析内容、方法与技巧（上）[M]. 武汉:华中科技出版社, 2003.[3]钱吉林.数学分析题解精粹第二版[M]. 武汉: 湖北长江出版集团,2009.[4]邓乐斌编. 数学分析的理论、方法与技巧[M]. 武汉:华中科技出版社,2005.[5] 王宝艳.微分中值定理的应用[J].雁北师范学院学报,2005,2：59~61.[6]贾田田,刘伟伟,霍丽元. 微分中值定理的应用及其在特定条件下问题的思路分析[J].工程科技Engineering Technolofy,2009,2下：182.[7] 罗群. 微分中值定理及其应用[J].肇庆学院学报,2003,24（5）：31~36.[8]刘章辉. 微分中值定理及其应用[J].山西大同大学学报(自然科学版),2007,2（27）:9~81.The Differential Mean-value Theorem and It’sApplicationZhang Qing-na(School of mathematics and statistics,Anyang NormalUniversity, Anyang,Henan 455002)Abstract:The paper introduces some common methods of using Rolle Theorem ,Lagrange Theorem and Cauchy Theorem of Mean-value ,in which the problems of testify being ,issue of judging convergence or divergence of series and the application of testify inequality or equality and of seeking limit are presend .This article also introduces the application of differential Mean-value Theorems in sloving problems by some examples.Key words：continuation ; derivable ; the theorem of differential median ; reply（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。