思考练习题11.答：粒子数分别为：188346341105138.21031063.6105.01063.61⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯==---λνc h q n 239342100277.51031063.61⨯=⨯⨯⨯==-νh q n 2． 答：（1）(//m n E E m m kTn n n g e n g --=）则有：1]3001038.11031063.6exp[2393412≈⨯⨯⨯⨯⨯-==---kT h e n n ν（2）K T T e n n kT h 3623834121026.61.0]1011038.11031063.6exp[⨯=⇒=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==----ν3． 答：（1）1923181221121011.3]27001038.11064.1exp[4----⨯=⨯⨯⨯-⨯=⇒=⋅⋅n n e g n g n kTh ν且202110=+n n 可求出312≈n（2）功率＝W 918810084.51064.13110--⨯=⨯⨯⨯ 4.答：（1）3173436333/10857.31063.68)106.0(2000188m s J h h c q q ⋅⨯=⇒⨯⨯⨯=⇒=---ννννρρπρπλρνπ＝自激（2）943436333106.71051063.68)106328.0(88⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==---πρπλρνπννh h c q q ＝自激5． 答：（1）最大能量J ch d r h N W 3.2106943.01031063.61010208.0004.0683461822=⨯⨯⋅⨯⋅⨯⨯⋅⋅⨯=⋅⋅⋅⋅=⋅=--πλρπν脉冲平均功率＝瓦8961030.21010103.2⨯=⨯⨯=--t W （2）瓦自自自145113.2112002021=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯==⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰-e h N P e n dt e n N t A τνττ11811852322-⨯=⋅-⨯=⋅=⋅==kTh kT h e hc c e h c c dVd dw dVd dw νννλλπλλπλρλνλρ 7.答：（1）由 33811hvkTh c eνπνρ=-可得：0))1(113(82323=⋅⋅--⋅+-=∂∂kT he e e ch kT h kT h kT h ννννννπνρ 令kT h x ν=，则上式可简化为：x x xe e =-)1(3解上面的方程可得：82.2≈x 即：1182.282.2--=⇒≈kh T kTh m mνν （2）辐射能量密度为极大值的波长m λ与m ν的关系仍为m m cλν=8．证明： 2202)2/1()(4)(τννπν+-=Af N ，由归一化条件且0ν是极大的正数得： ⇒=+-⎰∞1)2/1()(402202ντννπd A ⇒=+-⎰∞1)2/1()(4202202ντννπνd A⇒='+'⎰∞1)41(120222νπτνπd A τπτνπτπ11]'4[4202=⇒=⋅⋅∞A arctg A9． 证明：自发辐射时在上能级上的粒子数按（1-26）式变化：t A e n t n 21202)(-＝ 自发辐射的平均寿命可定义为:()dt t n n ⎰∞=2201τ式中()dt t n 2为t 时刻跃迁的原子已在上能级上停留时间间隔dt 产生的总时间，因此上述广义积分为所有原子在激发态能级停留总时间，再按照激发态能级上原子总数平均，就得到自发辐射的平均寿命。

将（1-26）式代入积分即可得出 210121A dt e t A ==⎰∞-τ0022021220)1()211)(1()1)(1(11υυυυυυυυυυυν⋅+≈⋅⋅++≈⋅-+=⋅-+=-c c c cc c c即证11． 答：Hz cccc 146801.010241.5106328.01039.01.19.01.111⨯=⨯⨯⋅=⋅=-+=-+λυυνν 同理可求：Hz c 141.010288.4⨯=-ν；Hz c 145.010211.8⨯=+ν；Hz c 145.010737.2⨯=-ν12．答：Hz c 81460680010848.81074.4108667.1)108667.11()1035601()1(⨯=⨯⨯⨯=∆⇒⨯+=⨯+=+=--νννυνν 13．答；（1）368.01)0()()0()(10001.0===⇒=⋅--ee I z I e I z I Az （2）11693.02ln 2)0()()0()(-⋅==⇒==⇒=m G e I z I e I z I G Gz思考练习题21. 利用下列数据，估算红宝石的光增益系数n 2－n 1＝5⨯1018cm -3，1/f (ν)＝2×1011s -1，t 自发＝211A -≈3⨯10-3s ，λ＝0.6943μm ，μ＝l.5，g 1＝g 2。

答：)(8)(8)(8)()(222133321333212121νπμλννμνπμννπμννμνf A n f h c h c A n G c h B A f h c nB G ⋅⋅∆=⋅⋅∆=⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=∆=11122431871.010215.18)106943.0(1031105)(---=⨯⨯⨯⋅⨯⋅⨯=cm G πν 2. He-Ne 激光器中，Ne 原子数密度n 0＝n 1+n 2＝l012 cm -3，1/f (ν)＝15×109 s -1，λ＝0.6328μm ，t 自发＝211A -=10-17s ，g 3＝3，g 2＝5，11μ≈,又知E 2、E 1能级数密度之比为4，求此介质的增益系数G 值。

答：11112211211112312210103141081021410⨯=-=∆⇒⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯=⇒⎭⎬⎫=+=-n g g n n n n E E cm n n n 比能级数密度之比为和 332121333332121888νπνπνπμh c A B c h c h B A =⇒== 192617112212172.0105.118)106328.0(1010314)(8)()(--=⨯⨯⨯⨯⨯=∆=∆=cmf A n f h c nB G πνπλννμν3. (a)要制作一个腔长L ＝60cm 的对称稳定腔，反射镜的曲率半径取值范围如何？(b)稳定腔的一块反射镜的曲率半径R 1＝4L ，求另一面镜的曲率半径取值范围。

答：（a ）R R R ==21；cm R RLR L 301)1)(1(0≥⇒≤--≤ （b ）L R L R R LR L R L 31)1(4301)1)(1(022221-≤≥⇒≤-⋅≤⇒≤--≤或 4. 稳定谐振腔的两块反射镜，其曲率半径分别为R 1＝40cm ，R 2＝100cm ，求腔长L 的取值范围。

答：cm L cm L L L R L R L 1401004001)1001)(401(01)1)(1(021≤≤≤≤⇒≤--≤⇒≤--≤或5. 试证非均匀增宽型介质中心频率处的小讯号增益系数的表达式(2-28)。

证明：2102100021000210002100)ln2( 2)()2ln (2)()( )()( )(πννμνπννννμνννμνh c B n G f f h c B n G f h cB n G D D DD D D D D ∆∆=⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∆=∆=⇒∆= 即证。

6. 推导均匀增宽型介质，在光强I ，频率为ν的光波作用下，增益系数的表达式(2-19)。

证明：220022000)2)(1()()(])2()[()()(1 )()(ννννννννννν∆++-∆+-=+=s s I I G f f I I G G 而：())()(2)2()(12)()()(2)()( )()( )(0022000000002100002100ννπνννπννννννπνννμνννμνG G f f G f f h c B n G f h cB n G ∆∆+-∆==⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∆=∆=∆≈依据上面两式可得：220002)2)(1()()()2()(νννννν∆++-∆=s I I G G ；即证。

7. 设均匀增宽型介质的小讯号增益曲线的宽度为ν∆，。

证明：（1）220002220022000)2)(1()()()2()2)(1()()(])2()[()()(1 )()(νννννννννννννννν∆++-∆=∆++-∆+-=+=s s s I I G I I G f f I I G G 当1=s I I 时，增益系数的最大值为：2)()(000ννG G =；当增益系数的最大值为增益系数的最大值的一半时，即4)()2(2)()()2()()(1 )()(0022000200ννννννννννG G f f G G =∆⋅+-∆=+=时，对应有两个频率为：νννννννννν∆'∆∴∆=∆+=2)2(2)2(2210201＝－＝－以及（2）物理意义：当光强s I I =时，介质只在ν∆2范围内对光波有增益作用，在此范围外增益可忽略不计，而光波也只在这个线宽范围内对介质有增益饱和作用。

8. 研究激光介质增，线型的受激发射截面为222(()8e c f νσνπνμτ=）。

证明：τμπνννμπντννμνπμνσννσνπμννμν222222333213332121218)()(81)(8)()()(8)()(f c f c f h c h c A n G c h B A f h cnB G e e =⋅=⋅=⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∆==∆=9. 饱和 答：(1)τνσνννπννσννμμτνπνννμνννστμνπν)()(2)()()(2)()()()()(2)(0000000021210e s e s e s h I f f h cc I f h c nB G n G B c I =⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∆=∆=⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∆=∆=∆=(2) 25322000220020000/10213.34)()(8)()()()(cmW hc h I f c h I e s e e s ⨯=∆==⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫==λνμπτνσνντμπνννστνσνν 10.实答：（1）13211421010837.1)30501(10103)1()()(----⨯=+⨯=+=cm I I D G s D D νν（2）99.0120)10910837.1exp(12)exp(43221≥⇒≥⋅⨯-⨯⇒≥-=--r r L a G r r K 内 （3）mW I A P 44.010501011.0008.0320=⨯⨯⨯⨯=⋅⋅=-τ 11.求答： 315926722222/10048.110)106328.0(1.00167.0108)(18)(8m f L Rf c a n ⨯=⨯⨯⨯⨯=-=∆--πνλτπμντμπν总阈＝12.红宝石激光器答：3341910342102103/6501031051.021********.622cm W hcn V n h P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==---λττν＝阈13. YAG 激光器答：(1)3443410163232144/21103.21075.01063.6103108.1/cm W hcn V h n P =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆=∆---λττν阈阈阈＝ (2)倍数＝65/2.1=31思考练习题31．答：Hz L cq 881035.0121032⨯=⨯⨯⨯==∆μν，210310688=⨯⨯=∆∆=q n νν，则可能存在的纵模数有三个，它们对应的q 值分别为：68141095.11031085.522⨯=⨯⨯=⨯=⇒=νμμνc L q L qc ，q ＋1=1950001，q －1＝1949999 2．答：Hz L cq 88105.11121032⨯=⨯⨯⨯==∆μν，10105.1105.189=⨯⨯=∆∆=q n νν即可能输出的纵模数为10个，要想获得单纵模输出，则：m c L Lcq 2.0105.1103298=⨯⨯=∆<∴=∆<∆νμμνν 故腔长最长不得大于m 2.0。