R
r
x
P
dr
课堂练习 求均匀带电细杆延长线上一点P的电势。已知 q ,L,a
x dx
O
L
P
a
X
课堂练习 求均匀带电细杆中垂线上一点P的电势。已知细杆的 的电量为q ,长度为L, P点与细杆的距离为a。
P
a
O dx
Lx
X
如图所示，取无穷远处的电势为零，求Ｐ、Ｑ两点的电势。若 取Ｂ点的电势为零又如何？
++ +
+
E
+ +q
+R
+
+
r
+
+
+
+++ +
例. 求均匀带电球体电场的空间电势分布。已知q , R
0
2 0 R
dE y
＋
＋
＋
dEx
－
－
dE y
－
dE
例求均匀带电圆盘轴线上任一点的电场。
已知：q、 R、 x 求：Ep
解：细圆环所带电量为
dq 2rdr
q
R2
由上题结论知：
dE 1
xdq
4 0 (r 2 x 2 )3 2
4
x 2rdr 0 (r 2 x2 )3
2
E dE
R 0
x rdr 20 (r 2 x2 )3
已知： q 、R 、 x。
dq
y
R
r
d Ey p
d Ex
x
d Ey
x
dE
课堂练习：
1.求均匀带电半圆环圆心处的 E，已知 R、
dq
电荷元dq产生的场 dE 4 0 R2
Y
根据对称性 dEy 0
dq
dEx
d
E
dEx
dE
sin
0
Rd 4 0 R2
sin
dE
oR
X
4 0R2
( cos )
q
O
2q
3q
例题、点电荷q位于圆心Ｏ点处，Ａ、Ｂ、Ｃ、 Ｄ为圆周上的四个点，将试验电荷q0从圆周上 的Ａ点分别移动到Ｂ、Ｃ、Ｄ各点，所作的功 如何？
Ｄ
Ａ q0
q
Ｃ Ｂ
例、如图所示，将一试验电荷q在点电荷＋Q产生的 电场中从a点沿着半径为R的3/4圆弧轨道移动到b点 的过程中电场力所作的功为__________；从b点移 到无穷远处电场力所作的功为___________。
R
＋Q
b
q a
例题：
MO
N
D
-q
q0
+q
例、如图所示，在点电荷＋q的电场中，若取图中 的N点处为电势零点，则M点的电势为多少？
＋q
N
M
a
a
例题、在点电荷q的电场中，选取以q为中心、 半径为Ｒ的球面上的一点Ｐ为电势零点，则与 点电荷q距离为r的Ｑ点的电势为多少？
Ｐ
Ｒ q
Ｑ
Ｗ
r
例2 求一均匀带电圆环轴线上任一点 P处的电势。
下面举例说明
第一种情形：电场呈现球对称分布
例1. 均匀带电球面的电场。已知R、 q>0
解: 对称性分析 E具有球对称 作高斯面——球面
rR
电通量
e E1 dS E1 dS E1 4r 2
++ E
+ +
R
+
r
++q +
s1
电量 qi 0
用高斯定理求解
+
+
+
+
+++ +
E14r2 0 E1 0
已知： q 、R 、 x。
dq
y
r
R
p
xx
x
z
例、如图所示，一半径为R的均匀带电圆环， 带电量为Q，水平放置，在圆环轴线上方离圆 心为R处，有一质量为m、带电量为q的小球， 当小球由静止下落到圆环的圆心位置O时，它 的速度为多少？
m q
R
Q OR
例3 求均匀带电圆盘轴线上任一点的电势。
已知：q、 R、 x 求：Up
+
R
Ox
P
电场强度的计算方法之三 利用电场强度与电势梯度的关系
在直角坐标系中，电势V是坐标X、Y、Z的函数，因此， 我们可以把X、Y、Z轴的正方向取作dl的方向，这样就可得 电场强度在X、Y、Z三个方向上的分量分别为：
Ex
V x
Ey
V y
V Ez z
于是电场强度与电势的关系就各表示为：
E
(
s
E dS
1
0
qi
1 . 利用高斯定理求某些特殊情况下的电通量
例：如图所示，在半球面的球心处有一点电荷q，计 算通过该半球面的电通量。
E
q
O
E
q
O
E
例:如图所示，正方形面ABCD的边长为a，点电 荷q在面ABCD的中垂线上，且与面ABCD的距 离也为a，求通过面ABCD的电通量。
B
a/2 A a
s
上底
下底
侧面
l
0 0 E2rl
qi 0
E0
高 斯 面
r E
r
dS E
r
l
dS E
例3：求无限长均匀带电圆柱体的场强分布，已知
圆柱体的半径为R，单位长度的电量为。
高
斯
面
r E
l
r
dS E
r
l
dS E
例4. 如图所示的无限长均匀同心带电圆柱面，内 外圆柱面的半径分别为R1和R2，沿轴线方向单位 长度的带电量分别为1和2，求区域I、II和III的 场强分布。
E
E
E
R
均匀带电球面
E
E
E
dS
E
r
高斯面
E
E
E
E
E
dS
rE
E
高斯面
E
R
E
E
rR
e
qi
E2 q
dS E2 dS E2 4r 2
s2
E2 4r 2 q 0
+
+ +
+ R
E2
q
4 0r 2
+ +
++
O
++
E
+ +
r
q
+ +
+
E
1
q
r2
4 0 R2
r
O
R
例2. 均匀带电球体的电场。已知q,R
E1
E
P E2
3. 连续带电体的电场
dE
dq
40r 2
er
E
dE
1
4 0
drq2 er
dq
P
r
体电荷 dq dV
Ex dEx Ey dEy Ez dEz
在正方形的顶点处放置等量的点电荷，要求中 心P处的场强和电势都等于零，应如何放置？
度分布为 ,若在球体内挖去一个半径为r的小球
体，求两球心O和O’处的场强。两球心间的距离为 d。
O d rr
O，
R
O
d
r
O，
R
O R
d r
O，
第二种情形：电场呈现轴对称分布
例1、如图所示，一无限长直均匀带电线，单位长 度的电量为 ，求其空间电场分布。
r
r
h
dS
E
例． 如图所示，一宽度为a的无限长均匀带电
0
S2
S侧 S1
E
σ
2 0
E
S
S E
+
+
+
A
B
C
D
例、 A、B为真空中两个无限大的带电平面，两平
面间的电场强度大小为E0，两平面外侧的电场强 度大小为E0/3，则两平面上的电荷面密度为多少？
A
B
E0/3
A
E0/3
B
E0
E1
2
0
E2
2
0
(1
x) R2 x2
E E1 E2
x
2 0 R2 x2
曲面的通量由曲面内的电荷决定。当通过髙斯面的
电通量等于零时，并不意味着曲面上各点的电场强
度等于零。
b.当通过髙斯面的电通量为正时，表示该髙斯面内
的净电荷为正，从髙斯面内出来的电力线多于进入
髙斯面内的电力线；反之，当通过髙斯面的电通量
为负时，则进入面内的电力线多于出来的电力线。
四、高斯定理的应用
e
R1
R2
2 1 I II III
第三种情形：电场呈现面对称分布（镜像对称）
例1. 均匀带电无限大平面的电场，已知电荷面密度为 解: E具有面对称 高斯面:柱面
e E dS E dS E dS E dS
高
S1
S2
S侧
斯
ES1
2ES
ES2
1 S
0
1 S
0 E
面
S E
场强的大小，这样的一组曲线称为电力线。 E
我们可以在电场中取一个垂直于电场方向的小面 元dS，通过该小面元的电力线根数与该面元的面积 的比值称为电力线密度。我们规定电场中某点的场 强的大小在数值上必须等于该点的电力线密度。
dS
E
E dN dS
总结：
E
方向：切线方向
大小： E dN =电力线密度