一、带电粒子在复合场中的运动专项训练1.如图甲所示,空间存在一范围足够大的垂直于xOy 平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B .让质量为m ,电荷量为q (q >0)的粒子从坐标原点O 沿xOy 平面以不同的初速度大小和方向入射到磁场中.不计重力和粒子间的影响.(1)若粒子以初速度v 1沿y 轴正向入射,恰好能经过x 轴上的A (a ,0)点,求v 1的大小;(2)已知一粒子的初速度大小为v (v >v 1),为使该粒子能经过A (a ,0)点,其入射角θ(粒子初速度与x 轴正向的夹角)有几个?并求出对应的sin θ值;(3)如图乙,若在此空间再加入沿y 轴正向、大小为E 的匀强电场,一粒子从O 点以初速度v 0沿y 轴正向发射.研究表明:粒子在xOy 平面内做周期性运动,且在任一时刻,粒子速度的x 分量v x 与其所在位置的y 坐标成正比,比例系数与场强大小E 无关.求该粒子运动过程中的最大速度值v m .【来源】2013年全国普通高等学校招生统一考试理科综合能力测试物理(福建卷带解析) 【答案】⑴;⑵两个 sin θ=;⑶+.【解析】试题分析:(1)当粒子沿y 轴正向入射,转过半个圆周至A 点,半径R 1=a/2由运动定律有2111v Bqv m R =解得12Bqav m=(2)如右图所示,O 、A 两点处于同一圆周上,且圆心在x =2a的直线上,半径为R ,当给定一个初速率v 时, 有2个入射角,分别在第1、2象限.即 sinθ′=sinθ=2a R另有2v Bqv m R=解得 sinθ′=sinθ=2aqBmv(3)粒子在运动过程中仅电场力做功,因而在轨道的最高点处速率最大,用y m 表示其y 坐标,由动能定理有 qEy m=12mv2m-12mv2由题知 v m=ky m若E=0时,粒子以初速度v0沿y轴正向入射,有 qv0B=m2vR在最高处有 v0=kR0联立解得22()mE Ev vB B=++考点:带电粒子在符合场中的运动;动能定理.2.如图所示,一半径为R的光滑绝缘半球面开口向下,固定在水平面上.整个空间存在磁感应强度为B、方向竖直向下的匀强磁场.一电荷量为q(q>0)、质量为m的小球P在球面上做水平的匀速圆周运动,圆心为O′.球心O到该圆周上任一点的连线与竖直方向的夹角为θ(02πθ<<).为了使小球能够在该圆周上运动,求磁感应强度B的最小值及小球P 相应的速率.(已知重力加速度为g)【来源】带电粒子在磁场中的运动【答案】min2cosm gBq Rθ=cosgRvθθ=【解析】【分析】【详解】据题意,小球P在球面上做水平的匀速圆周运动,该圆周的圆心为O’.P受到向下的重力mg 、球面对它沿OP 方向的支持力N 和磁场的洛仑兹力f =qvB ①式中v 为小球运动的速率.洛仑兹力f 的方向指向O’.根据牛顿第二定律cos 0N mg θ-= ②2sin sin v f N mR θθ-= ③ 由①②③式得22sin sin 0cos qBR qR v v m θθθ-+=④由于v 是实数,必须满足222sin 4sin ()0cos qBR qR m θθθ∆=-≥ ⑤由此得B ≥⑥可见,为了使小球能够在该圆周上运动,磁感应强度大小的最小值为min B =⑦此时,带电小球做匀速圆周运动的速率为min sin 2qB R v m θ=⑧由⑦⑧式得v θ=⑨3.如图,空间存在匀强电场和匀强磁场,电场方向为y 轴正方向,磁场方向垂直于xy 平面(纸面)向外,电场和磁场都可以随意加上或撤除,重新加上的电场或磁场与撤除前的一样.一带正电荷的粒子从P (x =0,y =h )点以一定的速度平行于x 轴正向入射.这时若只有磁场,粒子将做半径为R 0的圆周运动;若同时存在电场和磁场,粒子恰好做直线运动.现在,只加电场,当粒子从P 点运动到x =R 0平面(图中虚线所示)时,立即撤除电场同时加上磁场,粒子继续运动,其轨迹与x 轴交于M 点.不计重力.求: (1)粒子到达x =R 0平面时速度方向与x 轴的夹角以及粒子到x 轴的距离; (2)M 点的横坐标x M .【来源】磁场 【答案】(1)20122R H h at h =+=+;(2)22000724M x R R R h h =++- 【解析】 【详解】(1)做直线运动有,根据平衡条件有:0qE qB =v ①做圆周运动有:200qB m R =v v ②只有电场时,粒子做类平抛,有:qE ma =③00R t =v ④ y v at =⑤解得:0y v v =⑥ 粒子速度大小为:22002y v v v v =+=⑦速度方向与x 轴夹角为:π4θ=⑧ 粒子与x 轴的距离为:20122R H h at h =+=+⑨(2)撤电场加上磁场后,有:2v qBv m R=⑩解得:02R R =⑾. 粒子运动轨迹如图所示圆心C 位于与速度v 方向垂直的直线上,该直线与x 轴和y 轴的夹角均为4π,有几何关系得C 点坐标为:02C x R =⑿02C R y H R h =-=-⒀ 过C 作x 轴的垂线,在ΔCDM 中:02CM R R ==⒁2C R CD y h ==-⒂) 解得:22220074DM CM CD R R h h =-=+- M 点横坐标为:22000724M x R R R h h =+-4.如图1所示,宽度为d 的竖直狭长区域内(边界为12L L 、),存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向上的周期性变化的电场(如图2所示),电场强度的大小为0E ,0E >表示电场方向竖直向上。
0t =时,一带正电、质量为m 的微粒从左边界上的1N 点以水平速度v 射入该区域,沿直线运动到Q 点后,做一次完整的圆周运动,再沿直线运动到右边界上的2N 点,Q 为线段12N N 的中点,重力加速度为g ,上述d 、0E 、m 、v 、g 为已知量。
(1)求微粒所带电荷量q 和磁感应强度B 的大小; (2)求电场变化的周期T ;(3)改变宽度d ,使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域,求T 的最小值。
【来源】2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)理综【答案】(1)02E B v=;(2)122d v T t t v g π=+=+;(3)min 1min 2(21)2v T t t g π+=+。
【解析】 【分析】根据物体的运动性质结合物理情景确定物体的受力情况。
再根据受力分析列出相应等式解决问题。
【详解】(1)根据题意,微粒做圆周运动,洛伦兹力完全提供向心力,重力与电场力平衡, 则mg=qE 0 ①∵微粒水平向右做直线运动,∴竖直方向合力为0. 则 mg+qE 0=qvB ② 联立①②得:q=③B=④(2)设微粒从N 1运动到Q 的时间为t 1,作圆周运动的周期为t 2, 则=vt 1⑤qvB=m⑥2πR=vt 2 ⑦联立③④⑤⑥⑦得:t 1=,t 2=⑧ 电场变化的周期T=t 1+t 2=+⑨(3)若微粒能完成题述的运动过程,要求 d≥2R ⑩ 联立③④⑥得:R=,设N 1Q 段直线运动的最短时间t 1min ,由⑤⑩得t 1min =,因t 2不变,T 的最小值 T min =t 1min +t 2=。
答:(1)微粒所带电荷量q 为,磁感应强度B 的大小为。
(2)电场变化的周期T 为+。
(3)T 的最小值为。
【点睛】运动与力是紧密联系的,通过运动情况研究物体受力情况是解决问题的一个重要思路。
5.如图所示,在 xOy 坐标平面的第一象限内有一沿 y 轴负方向的匀强电场,在第四象限内有一垂直于平面向里的匀强磁场,现有一质量为m 、电量为+q 的粒子(重力不计)从坐标原点 O 射入磁场,其入射方向与x 的正方向成 45°角.当粒子运动到电场中坐标为(3L ,L )的 P 点处时速度大小为 v 0,方向与 x 轴正方向相同.求: (1)粒子从 O 点射入磁场时的速度 v ;(2)匀强电场的场强 E 0 和匀强磁场的磁感应强度 B 0. (3)粒子从 O 点运动到 P 点所用的时间.【来源】海南省海口市海南中学2018-2019学年高三第十次月考物理试题【答案】(1)02v ;(2)02mv Lq;(3)0(8)4L v π+【解析】 【详解】解:(1)若粒子第一次在电场中到达最高点P ,则其运动轨迹如图所示,粒子在 O 点时的速度大小为v ,OQ 段为圆周,QP 段为抛物线,根据对称性可知,粒子在Q 点时的速度大小也为v ,方向与x 轴正方向成45︒角,可得:045v vcos =︒ 解得:02v v =(2)在粒子从Q 运动到P 的过程中,由动能定理得:2201122qEL mv mv -=-解得:202mv E qL=又在匀强电场由Q 到P 的过程中,水平方向的位移为:01x v t = 竖直方向的位移为:012v y t L == 可得:2QP x L =,OQ L =由2cos 45OQ R =︒,故粒子在OQ段圆周运动的半径:2R L = 及mv R qB = 解得:02mvB qL=(3)在Q 点时,0045y v v tan v =︒=设粒子从由Q 到P 所用时间为1t ,在竖直方向上有:10022L L t v v ==粒子从O 点运动到Q 所用的时间为:204Lt v π=则粒子从O 点运动到P 点所用的时间为:t 总120002(8)44L L L t t v v v ππ+=+=+=6.如图甲所示,在直角坐标系中的0≤x≤L 区域内有沿y 轴正方向的匀强电场,右侧有以点(2L ,0)为圆心、半径为L 的圆形区域,与x 轴的交点分别为M 、N ,在xOy 平面内,从电离室产生的质量为m 、带电荷量为e 的电子以几乎为零的初速度从P 点飘入电势差为U 的加速电场中,加速后经过右侧极板上的小孔Q 点沿x 轴正方向进入匀强电场,已知O 、Q 两点之间的距离为2L,飞出电场后从M 点进入圆形区域,不考虑电子所受的重力。
(1)求0≤x≤L 区域内电场强度E 的大小和电子从M 点进入圆形区域时的速度v M ;(2)若圆形区域内加一个垂直于纸面向外的匀强磁场,使电子穿出圆形区域时速度方向垂直于x 轴,求所加磁场磁感应强度B 的大小和电子在圆形区域内运动的时间t ; (3)若在电子从M 点进入磁场区域时,取t =0,在圆形区域内加如图乙所示变化的磁场(以垂直于纸面向外为正方向),最后电子从N 点飞出,速度方向与进入圆形磁场时方向相同,请写出磁场变化周期T 满足的关系表达式。
【来源】【省级联考】吉林省名校2019届高三下学期第一次联合模拟考试物理试题 【答案】(1)2U E L =,M eUv m=v M 的方向与x 轴的夹角为θ,θ=45°;(2)2M mv mv B eR L e ==,3348M R L m t v eUππ==3)T 的表达式为22T n emU =(n =1,2,3,…) 【解析】 【详解】(1)在加速电场中,从P 点到Q 点由动能定理得:2012eU mv = 可得02eUv m=电子从Q 点到M 点,做类平抛运动, x 轴方向做匀速直线运动,02L m t L v eU==y 轴方向做匀加速直线运动,2122L eE t m=⨯ 由以上各式可得:2U E L=电子运动至M 点时:220()M Ee v v t m=+即:M eUv m=设v M 的方向与x 轴的夹角为θ,02cos 2M v v θ== 解得:θ=45°。