6 s
部分分式展开 5 1 −4 Y(s) = + + s+3 s+2 s
∴ y (t ) = −4e −3 t + 5e −2t + 1 , t ≥ 0
已知控制系统的微分方程(或微分方程组) B2.9 已知控制系统的微分方程(或微分方程组)为
式中r(t)为输入量，y(t)为输出量， (t)、 (t)和 式中r(t)为输入量，y(t)为输出量，z1(t)、z2(t)和z3(t) r(t)为输入量 为输出量 为中间变量， 均为常数。 为中间变量，τ、β、K1和K2均为常数。 试求： a)各系统的传递函数Y(s)/R(s)；(b)各系统含 各系统的传递函数Y(s)/R(s) 试求：(a)各系统的传递函数Y(s)/R(s)；(b)各系统含 有哪些典型环节? 有哪些典型环节?
在图B2.4所示的电路中电压u (t)为输入量 B2.4所示的电路中电压 为输入量， B2.4 在图B2.4所示的电路中电压u1(t)为输入量，试以电 (t)或 (t)作为输出量 分别列写该系统的微分方程。 作为输出量， 压u2(t)或uC2(t)作为输出量，分别列写该系统的微分方程。
B 2.4解： u 2作为输出，应用网络的 复阻抗法： 作为输出， 复阻抗法： Q U 2 (s ) = U 1 (s ) 1 R1 1 C1s + R2 + 1 C 2s R1 + C1s 1 (R 2 + ) C 2s
B2.8 设系统的微分方程为
试用拉氏变换法进行求解。 试用拉氏变换法进行求解。
B 2.8解： 进行拉氏变换 & s 2 Y(s) - (sy(0) + y(0)) + 5sY(s) - 5y(0) + 6Y(s) =
代入初值整理 2s 2 + 12s + 6 Y(s) = 3 s + 5s 2 + 6s
Y
G 1G 5 + G 1G 2G 3G 4 Y(s ) = R(s ) 1 + G 1G 2 H 1 + G 2G 3 H 2 + G 1G 5 H 3 + G 1G 2G 3G 4 H 3 1 + G 1G 2 H 1 + G 2G 3 H 2 E(s ) = R(s ) 1 + G 1G 2 H 1 + G 2G 3 H 2 + G 1G 5 H 3 + G 1G 2G 3G 4 H 3
x3
x2
x1
B2.23（1）解：取积分器的输出 变量为状态变量
& x1 = x 2 & & x 2 = x 3 + x 3 − 5x 2 x = −2x + x − ( 2x + x ) + r &2 2 3 1 & 3
& x1 = x 2 & x 2 = − x 1 − 3 .5 x 2 + x 3 + 0 . 5 r & x 3 = − x + 0 . 5 x 2 + 0 . 5r
j
-1
0
B2.15 已知控制系统的结构图如图 已知控制系统的结构图如图B2.15所示，试应用结 所示， 所示 构图等效变换法求各系统的传递函数。 构图等效变换法求各系统的传递函数。 B2.15解： 解 R(s) G2(s) Y(s) G1(s)
G2(s) H(s)
R(s)
Y(s) G1(s) G2(s) HG2(s)
G1 + G 2 G (s) = 1 + HG 2
B2.17 求图 求图B2.17所示闭环控制系统的传递函数 所示闭环控制系统的传递函数Φ(s)=Y(s)/R(s) 所示闭环控制系统的传递函数 和Φe(s)=E(s)/R(s)。 。
B2.17 解：由梅森公式 : 1 n T = ∑ p k ∆ k , 这里n = 4 ∆ k =1 L 1 = −G 2 H 1 , L 2 = −G 4 H 2 , L 3 = −G 6 H 3 , L 4 = −G 3 G 4G 5 H 4 , L 5 = − G 1G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 H 5 , L 6 = −G 7 G 3 G 4 G 5 G 6 H 5 , L 7 = − G 1G 8 G 6 H 5 L 8 = G 8 H 1H 4 , L 9 = G 7 H 1G 8 G 6 H 5 ,
作为输出， 复阻抗法： u c 2作为输出，应用网络的 复阻抗法： (R 2 + Q U1 (s ) − U1 (s )( 1 1 C1s + 1 R1 ) ) = Uc2
1 + R2 + 1 C 2s C1s + R1 1 C1s + 1 R1 )
(R 2 + = U1 (s )(1 − 1
) = Uc2 1 + R2 + 1 C 2s C1s + R1 U (s ) C1 R 1s + 1 ∴ c1 = U 1 (s) R 1 R 2C1C 2s 2 + ( R 1C 2 + R 2C 2 + C1 R 1 )s + 1
U c 1 (s ) C1 R 1s + 1 ∴ = U 1 (s) R 1 R 2C1C 2s 2 + ( R 1C 2 + R 2C 2 + C1 R 1 )s + 1 && & & R 1 R 2C1C 2u c1 + ( R 1C 2 + R 2C 2 + C1 R 1 )u c1 + u c1 = C1 R 1u1 + u1
图B2.4 电路原理图
[T1T2s 2 + (T1 + T2 )s + 1]U1 (s ) = T1T2s 2 + (T1 + T2 + R 1C 2 )s + 1
其中： T2 = R 2C 2 其中： T1 = R 1C1 , && & && & ∴ T1T2u 2 + (T1 + T2 + R 1C 2 )u 2 + u 2 = T1T2u1 + (T1 + T2 )u1 + u1
G2 G3 H2 H3
G5 + G4 G 2G 3
Y
R
E - G1
G 2G 3 1 + G 1G 2 H 1 G 2G 3 1+ H2 1 + G 1G 2 H 1
G5 + G4 G 2G 3
Y
H3 R
G 1G 5 + G 1G 2G 3G 4 1 + G 1G 2 H 1 + G 2G 3 H 2 + G 1G 5 H 3 + G 1G 2G 3G 4 H 3
已知控制系统的结构图，如图B 18所示 要求： 所示。 B2.18 已知控制系统的结构图，如图B2.18所示。要求：(1) 分别应用结构图等效变换法和梅森公式求各闭环系统的传递 函数Y(s)/R(s) E(s)/R(s)； Y(s)/R(s)和 欲使图B 18(a) (a)系统的输 函数 Y(s)/R(s) 和 E(s)/R(s)；(2) 欲使图 B2.18(a) 系统的输 Y(s)不受扰动D(s)的影响 试问其条件是什么? 不受扰动D(s)的影响， 出Y(s)不受扰动D(s)的影响，试问其条件是什么?
B2.18解 B2.18解： 求各闭环系统的传递函数Y(s)/R(s)和E(s)/R(s) 求各闭环系统的传递函数Y(s)/R(s)和 Y(s)/R(s) H1 R E - G1 G1 G2 H2 H3 G5 D G3 G4 Y
Байду номын сангаас
H1 G2 R E - G1 G1 G2 H2 H3 G5 D(s) G3 G4 Y
P1 = G 1G 2G 3G 4G 5G 6 , P2 = G 7G 3G 4G 5G 6 , P3 = G 1G 8G 6 , P4 = −G 7 H 1G 8G 6 ,
∆ 1 = 1, ∆2 = 1 ∆ 3 = 1 + G 4H 2 , ∆ 4 = 1 + G 4H 2
G 1G 2 G 3 G 4 G 5 G 6 + G 7 G 3 G 4 G 5 G 6 C(s ) / R(s ) = ∆ (G 1G 8G 6 − G 7 H 1G 8G 6 )(1 + G 4 H 2 ) + ∆
对上式求拉氏变换 1 R(s) = s 1 1 2 3s + 2 Y (s ) = + − = 3 s s + 1 s + 2 s + 3 s2 + 2 s 3s + 2 3s + 2 s3 + 3 s2 + 2 s = ∴ G (s ) = 1 s2 + 3 s + 2 s -2 3 (s + 0.6667) = (s + 2) (s + 1)
第二章 部分习题及解答
B2.2
求下列函数的拉氏反变换： 求下列函数的拉氏反变换：
s (s + 1)2(s + 2)
(4)F(s) =
( 4)解： F (s ) = s 2 2 −1 + − = (s + 1) 2 (s + 2) (s + 1) 2 s + 1 s + 2 t≥0
∴ f (t ) = −te − t + 2e − t − 2e − 2 t
G5 R E - G1 1 1 + G 1G 2 H 1
G2 G3 H2 H3
G4
Y
G5 G 2G 3