深圳大学研究生课程论文题目不同借贷利率下的安全第一模型成绩专业应用数学课程名称、代码投资组合管理模型年级2010级姓名周理园学号2100090208 时间2011 年12 月不同借贷利率下的安全第一模型周理园深圳大学数学与计算科学学院摘要：在现实市场运作中，由于投资者往往要求比储蓄更高的借入利率,因此一般情况下无风险资产借入利率要大于贷出利率。
本文提出含有无风险资产且借贷利率不同的TSF模型，推导出TSF模型的两个等价形式，采用遗传算法求TSF模型的最优解并给出求解TSF模型遗传算法的具体步骤。
关键词：借贷利率；安全第一准则；遗传算法；投资组合；1、引言Markowitz于1952在《金融期刊》发表了一篇题为“资产组合选择”的论文，首次提出了均值方差模型，开创了现代投资组合理论的先河。
然而，均值方差模型并没有考虑到投资者对风险的承受能力，这一缺陷对厌恶型投资者来说，尤为明显。
安全第一模型则正好能弥补均值方差模型的不足，将投资者风险限制在某一灾难水平上，给出对风险厌恶型投资者更有价值的投资组合模型。
安全第一模型由Roy首次提出，他认为投资者为了避免某些“灾难”水平的损失发生，在资产配置时会力图使这种水平发生的概率最小。
该模型不仅反映了资产损益的分布情况，而且还可以直接根据模型的目标函数求得最优投资策略，不需要选择无差异曲线，因此它比一般的投资组合模型更有意义。
正是由于安全第一模型的优越性，基于安全第一模型的投资组合研究得到快速发展。
Telser 和Kataoka先后提出了不同准则下的安全第一模型。
这三种模型都有相同亏损约束但有不同最优化目标的最优化模型，其中Telser提出的安全第一模型（TSF模型）以最大化投资组合期望收益率为目标，实际应用价值最高，被研究最多。
Pyle 和Turnovsky使用几何方法分析了安全第一模型和均值-方差模型之间的联系。
Arzac和Bawa研究了TSF模型的特征与最优解的存在性。
Engels详细比较了均值-方差模型与TSF模型,并分别应用直观解法和分析解法给出了一般情况下与含无风险资产的TSF模型的最优解。
然而大多数研究含有无风险资产的安全第一模型都是假定无风险资产借贷利率相同，这在现实的市场运作中是无效的。
一般情况下，投资者往往要求比储蓄更高的借入利率,因此借入利率大于贷出利率。
国内学者针对无风险资产具有不同借贷利率的摩擦市场进行了深入的研究，并详细探讨了在该条件下的投资组合模型。
于培民和屠新曙运用一种几何方法给出了不同借贷利率下均值方差模型的有效前沿。
初叶萍和张鹏分析了含有无风险资产且借贷利率不同的效用最大化的投资组合模型。
Zhang，Wang 和Deng详细研究了不同借贷利率下的均值方差投资组合模型。
姚海洋和李仲飞研究了含有无风险资产且具有不同借贷利率时投资组合选择的效用最大化模型。
余湄和汪寿阳给出了在无风险借贷利率不同的情况下投资组合的有效边界。
考虑到安全第一模型也是一种重要的投资组合模型，并且大多数研究安全第一模型都是假定无风险资产借贷利率相同，这在现实的市场运作中是无效的。
一般来说，无风险资产借入利率要大于贷出利，正是基于这个原因，探讨含有无风险资产不同借贷利率下的安全第一模型具有重要的现实意义。
由于Telser 提出的安全第一模型（TSF 模型）实际应用价值最高，被研究最多，故本文考提出含有无风险资产且借贷利率不同的TSF 模型，假设风险资产收益率服从椭球分布，首先给出TSF 模型定义及记号，其次推导出TSF 模型的两个等价形式，最后运用遗传算法求解TSF 模型。
2、TSF 模型首先，为了讨论问题的方便，在本文中不考虑交易成本和税收。
一般情况下，投资者往往要求比储蓄更高的借入利率，因此无风险资产借入利率大于贷出利率。
其次，考虑一个单期的投资组合，设有n 种风险资产和1种无风险资产可供选择，投资者打算在投资期0时刻把初始财富投资于n 种风险资产和1种无风险资产中，在1时刻获取收益。
n 种风险资产的收益率为随机向量()12,,,Tn r r r r = ，其中i r 表示第i 种风险资产的收益率，()1,2,i n = 。
n 种风险资产的期望收益率为随机向量()12,,,T n μμμμ= ，其中()i i E r μ=()1,2,i n = 。
n 种风险资产之间的协方差矩阵为(cov(,))i j n n r r ⨯∑=。
无风险资产的收益率为()r x 。
记b r 和l r 分别为无风险资产的借入利率和贷出利率，一般情况下，无风险资产借入利率大于贷出利率，即b l r r ≥。
由于投资者1n +种资产，因此考虑一种投资组合，n 种风险资产的投资比例向量为()12,,,T n x x x x = ，其中i x 表示第i 种风险资产的投资比例，无风险资产的投资比例为y ，它满足预算约束1T e x y +=，其中()1,1,,1Te = 。
则1n +种资产投资组合的收益率为()T x r x r yr x =+，其中(),0,0l b r y r x r y ≥⎧=⎨<⎩。
当0y ≥时，投资者将卖空风险资产并将所得投资于无风险资产，即贷出无风险资产，则()l r x r =；当0y <时，投资者卖空无风险资产并将资金投资于风险资产，即从银行借入无风险资产，则()b r x r =。
故1n +种资产投资组合的期望收益率()T x x yr x μμ=+，其方差为2T x x x σ=∑。
在TSF 模型中，投资者的目标是使1n +种资产的投资组合的期望收益率最大化，即max ()T x x yr x μμ=+，同时投资者又希望1n +种资产的投资组合收益率()T x r x r yr x =+不超过给定回报水平b 的概率不超过概率α，即()P x r b α≤≤。
于是Telser 的安全第一模型为：max ()T x x yr x μμ=+，s.t. ()P x r b α≤≤ （2.1） 大多数风险资产收益率具有尖峰厚尾特征，假设风险资产收益率服从椭球分布更加符合现实，设n 种风险资产收益率服从n 维椭球分布，记(),,n n r E g μΩ ， 其密度函数为1/211()()()2T X n n f x c g x x μμ--⎡⎤=Ω-Ω-⎢⎥⎣⎦，其中μ为风险资产的期望收益率向量，Ω为风险资产的方差矩阵，同时它也是正定矩阵。
n g 为密度发生器，并且满意/210()n n x g x dx ∞-<∞⎰。
而n c 满足1/21/20(/2)()(2)n n n n n c x g x dx π-∞-Γ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰。
由椭球分布性质知，1n +种资产投资组合的收益率x r 服从如下形式的椭球分布：()11(,,)T T x x r x r yr x E x x g μ=+Ω ，其中()T x x yr x μμ=+，2T x x x ω=Ω，则资产组合收益率x r 的密度函数为2111()()2x X x x x c f x g μωω⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，其中11/211111/200(1/2)()()(2)n c x g x dx x dx π--∞∞-Γ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰。
由于投资组合收益率x r 服从椭球分布，因此()x P r b ≤等价于2111()()2b x x x x x c P r b g dx μωω-∞⎡⎤-≤=⎢⎥⎣⎦⎰（2.2） 令x x x z μω-=，则x x x z ωμ=+，x dx dz ω=,故22111111()22x x x x b b x x x c P r b g z dz c g z dz μμωωωω---∞-∞⎡⎤⎡⎤≤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ （2.3） 定义分位数k α为21112k c g z dz αα-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰。
因此TSF 模型的概率约束可以表示为()xx x x x b P r b k b k ααμαωμω-≤≤⇒≤⇒-≤ （2.4）故TSF 模型又等价于：max ()T x x yr x μμ=+，s.t. x x b k αμω≥- 1T e x y += （2.5）令x x z k ααωσ=，由于211112c g z dz +∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰，因此z α和k α与12α-的符号相同。
当12α>时，0z α>；当12α<时，0z α<；当12α=时，0z α=。
因此TSF 模型又等价于 max ()T x x yr x μμ=+，s.t. x x b k αμω≥- 1T e x y += （2.6）由于本文中无风险资产借贷利率不同，因此TSF 模型等价于下面两个模型： (P1) max T x l x yr μμ=+，s.t. x x b k αμω≥-，0y ≥， 1T e x y += (2.7) (P2) max T x b x yr μμ=+, s.t. x x b k αμω≥-,0y <， 1T e x y += (2.8)3、算法对于模型(P1)、(P2)本质上就是三个带约束的多变量非线形规划问题，而运用传统的数学方法求解上述模型，例如拉格朗日乘数法、直观解法、分析解法较为困难，特别是当风险资产收益率不服从正态分布时,运用传统方法求解显得更加困难。
本文考虑到一般情况,采用遗传算法来求解TSF 模型。
遗传算法是一类借鉴生物界自然选择和自然遗传机制的随机搜索算法，是近几年发展起来的一种崭新的全局优化算法，被广泛应用于各种传统方法无法求解的优化模型中。
本文模型(P1)、(P2)中都满足预算约束1T e x y +=，根据这个特点，首先取12(0,1),(0,1),,(0,1),(0,1)n x u x u x u y u ==== ，其中函数(,)u a b 表示区间[],a b 上的均匀分布的随机数，并对()12,,,,n x x x y 进行处理得到符合预算约束1T e x y +=的染色体()''''12,,,,n x x x y ，用染色体()''''12,,,,n X x x x y = 作为模型的解。
其次看这些染色体是否可行，如果不可行，拒绝；如果可行则接受它作为种群的一名成员。
这就是本文针对模型(P1)、(P2)所采取的初始化产生种群的过程。
再次按照设计好的适应函数[]()eval X M （即模型(P1)中的目标函数）计算出每个染色体的适应度，最后进行种群进化，记录最好的染色体。
下面以模型(P1)为例，给出遗传算法的具体步骤，以求解模型(P1)。
步骤1初始参数：种群规模M ，交叉概率c P ,变异概率m P，最大进化迭代代数T 次；步骤 2 初始化：随机生产M 个染色体作为初始种群。