浅谈电场强度与电势的关系
贠锦鹏
摘要：运用电势梯度法和矢量代数法两种方法证明了电场强度与电势的关系，归纳出已知电场
强度求电势和已知电势求电场强度的方法．
关键词：电场强度； 电势；关系
引言
电场强度和电势是物理知识中的重要内容，是理解、掌握电磁学知识的基础。

在国内比较经典的几种电磁学教材中，对电场强度和电势关系的推导由于对等电势面法线方向规定的不一致，证明方法也有明显的差异[]21- ,这使得在具体教学中学生对推导过程的理解产生困难。

为此，我们运用电电势梯度法和矢量代数法两种方法给出了电场强度和电势关系的推导过程，这对实际教学有指导意义。

1．电场强度与电势的关系
1.1 电势梯度法
设在电场中，取两个十分临近的等势面1和2（如图1所示），其电势为V 和V+dV （dV ＞0）。

设1p 为等势面1上的一点，过1p 点
作等势面1的法线n ，规定其指向电势增加方向，它
与等势面2交于2p 点，场强E
与n 的方向相反。

再由1p 点向等势面2任作一条直线交于3p 点。

从1p 向3p 引一位移矢量l d
，根据电势差的定
义，并考虑到两个等势面非常接近，因此：≈E
常矢
量，则有：dl E l d E dV V V θcos )(=⋅=+-
即：dl E dV θcos =-，令θcos E E l =为场强在l d
方
向上的投影，则有：dl
dV E l -=
（图1）
电场中某点的场强沿任意l d
方向的投影等于沿该方向电势函数的空间变化率（电势函数的方向导数）的负值。

两个特殊方向：
（1）当πθ=时，l d 沿n
方向，与E 方向相反，dl
dV 有最大值，则该点电场强
度的大小为：
dn dV
E E n =
=
（2）当2/πθ=时，l d 沿τ 方向，与E 方向相垂直， dl
dV 有最小值，则该点电
场强度的大小零，即： 0=x E
定义电势梯度(gradient ）矢量：
n dn dV V gradV
=
∇=
电势梯度的大小等于电势在该点的最大空间变化率；方向沿等势面法向，指向电势增加的方向。

V
gradV n dn dV E -∇=-=-=
电场中任一点的场强E
，等于该点电势沿等势面法线方向的方向导数的负值，即E 的大小等于该点电势沿等势面法线方向的方向导数，E
的方向与法线方向相反。

在直角坐标系，有：
dx dV E x -=，dy dV E y -=，dz dV E z -=
于是电场强度与电势关系的矢量表达式可写成 )
(k z V j y V i x V E ∂∂+∂∂+∂∂-=
1.2矢量代数法
对于点电荷 3
04r
r
q E πε= 由于⎪⎭⎫
⎝⎛-∇=r r r 13 所以⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇-=00414πεπεq r q E 即 V E -∇=
在直角坐标系中，⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂∂+∂∂+∂∂-=k z V j y V i x V E
写成标量形式：x V E x ∂∂-=，y
V
E y ∂∂-=，z V E z ∂∂-=
柱坐标系中：ρ∂∂-=V E p ，ϕ
ρϕ∂∂-=V
E 1，z V E ∂∂-=ρ
球坐标系中 ：r V E r ∂∂-=，θθ∂∂-=V r E 1，ϕ
θϕ∂∂-=V
r E sin 1
2、已知电场强度求电势[]3
2.1 在单个点电荷产生的电场中任意一点的电势
空间有一点电荷q ，与它相距r 的点P 的场强：r r q E ˆ41
2
πε=
r
q dr r q dr r d E r r r p V 02
04141πεπε===⋅=⎰⎰⎰∞∞∞
2.2 在多个点电荷产生的电场中任意一点的电势
空间有n 个点电荷1q 、2q 、……n q ，求任意一点P 的电势。

这时点P 的电场强度E 等于各个点电荷单独在点P 产生的电场强度1E 、2E 、……n E 的矢量之和，及
n E E E E +++= (21)
所以点P 的电势可以表示为
()l
d E l
d E l d E l d E l
d E E E l d E n
i p
i p
n p
p
p n p
p
V
⋅=⋅++⋅+⋅=⋅+++=⋅=∑⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
=∞∞∞∞
∞∞
1
2121
2.3 在任意带电体产生的电场中任意一点的电势
一个带电体在空间某点的电场强度的大小：
⎰=
2041
r dq E πε 式中r 是电荷元dq 到所讨论的点P 的距离。

⎰⎰⎰=
⋅=⋅=2041
r
dq dr E l d E U πε
在处理具体问题时，我们可以根据电荷在带电体上的分布情况，分别引入体电荷密度 、面电荷密度 和线电荷密度 ，它们分别可写为：
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰=
==l P s
p p r
dl
r
ds
r dz
V V V λπεσπερπετ0
00414141
在计算电势时，如果已知电荷的分布，尚不知电场强度的分布，总可以利用上式直接计算电势。

对于电荷分布具有一定对称性的问题，往往先利用高斯定理求出电场的分布，然后再计算电势。

3.已知电势求电场强度
3.1 求电偶极子电场中任一点的电势和电场强度[]4 解：设A 与+q 和-q 均在xoy 平面内，A 到+q 和-q 的距离分别为r+和r-，+q 和-q 单独存在时，A 点的电
势为 ++=r q V 04πε和-
-=r q
V 04πε
由电势的叠加原理，A 点的电势为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-++--+
-r r r r q r r q V V V 004114πεπε＝＋ 对于电偶极子，r l <<，所以2
,cos r r r l r r ==--++-θ
于是2
cos 4r l q V o θ
πε=引入电偶极子的偶极矩1q p =，
电势为 图2 电偶极子示意图
()
2
/3220202044cos 41y x x p r x r p r p V +=
==πεπεθπε 因而电场强度为
()
2
/5222
2024y x x y p x V E x +--
=∂∂-=πε
()
2
/522034y x xy p y V E y +--
=∂∂-=πε
在电偶极子的延长线上：0=y ，3
01
42x p E x πε=，0=z E
在电偶极子的中垂线上：0=x ， 3
01
4y
p E x πε-=，0=z E
3.2 求一个带电细圆环轴线上的电场[]5 解1：用库仑定律直接解。

∧=e r
r
dq dE 2041
πε 其中，∧e r 是PQ 方向的单位矢量。

∧
e
r
= 一∧e
x
sin θ cos ϕ 一∧
e y sin θ sin ϕ + ∧
e z cos
θ
ϕλλRd dl dq == λ线电荷密度，r
z
=
θcos 由于电荷分布沿z 轴对称，因此场强只沿z 轴 ϕθλπεπ
d r R
E e
z
cos 4120
2
0ˆ⎰=
2
3
22030)
(224Z R Rz
r Z R E z +=⨯=
ελππελ，0=x E , 0=y E 图3 带电圆环示意图 解2: 先求电势 r
dq dU 041
πε=
其中dl dq λ=,()21
22Z R r +=代人2
1220)
(41Z R dl
dU +=λπε
则
2
12202
1220)(21)(41Z R R
dl Z R U +=
+=⎰λελ
πε
，0=∂∂-
=x E E x ， 0=∂∂-=y
U E y
参考文献：
[1]谢绍平 对马文蔚主编的《物理教程》中电场强度与电势梯度推导过程的异议[J] 凯里学院学报 2007 25（26）：24-26
[2]朱少敏 一类静电场的电场强度的变化规律[J] 丽水师院专科学校学报 1994 21（2）：71-72 [3]朱峰 大学物理[M] 北京 清华大学出版社 2004
[4]梁绍荣 刘昌年 盛正华 普通物理学（电磁学）（第三版）[M] 北京 高等教育出版社 2005 [5]马文蔚 物理学教程[M] 北京
高等教育出版社 2005
2
3220)(21Z R Rz
z U E Z +=
∂∂-
=λε。