第一讲有理数的相关概念
【知识要点及巩固】
一、有理数基本概念
1、正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。

在小学学过的数，除0外都是正数。

正数都
大于0。

2、负数：像-1、-3.12、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做负数。

负数都
小于0。

0既不是正数，也不是负数。

如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。

注意：正数和负数是表示相反意义的量。

如：南为正方向，向南km
1表示为km
-。

3表示为km
3
1
+，那么向北km
3、有理数：整数与分数统称为有理数。

4、无理数：无限不循环小数，如π。

5.有理数的分类：
6.几个重要概念：
注意：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数。

例1：判断下列说法正确与否
⑴ 一个有理数不是整数就是分数 （ ） ⑵ 一个有理数不是正数就是负数 （ ） ⑶ 一个整数不是正的，就是负的 （ ） ⑷ 一个分数不是正的，就是负的 （ ） 例2：
1、（2016山东德州）把下列各数填入表示相应集合的大括号中：
-7.2，4
3
，-9, 1.4，0, 3.14，π，5
412，-2.5，Λ121121112.0，3
6
整数集合{ } 正数集合{ } 分数集合{ } 有理数集合{ } 非正数集合{ } 负分数集合{ } 想一想：a +一定是正数吗？a -一定是负数吗？
例3：（2014七中嘉祥）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：
（1）在A 处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A 、B 、C 、D 中的什么位置？
（3）第2014个数是正数还是负数？排在对应于A 、B 、C 、D 中的什么位置？
例4：（2014七中嘉祥）观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请根据你探索的规律接着写出后面的3个数，并尝试写出第100个数、第301个数。

1、6
151-4
131-2
1
1、、、、、 ，_____,_______,_________，...；
第100个数是_________，第301个数是________。

2、,12,10,8,6,4,2---____________，___________，__________，...，
第100个数是_____________，第301个数是_____________。

3、,8
6,7
5,64,5
3,42,3
1---___________，___________，__________，...，
第100个数是___________，第301个数是______________。

二．数轴
数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。

三．相反数与倒数
相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0。

几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。

求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－” 号即可。

多重符号的化简
倒数：乘积为1的两个数互为倒数。

负倒数：乘积为-1的两个数互为负倒数。

【知识巩固】 一．有理数的相关概念
例1：判断下列说法正确与否
⑴ 一个有理数不是整数就是分数 （ ） ⑵ 一个有理数不是正数就是负数 （ ） ⑶ 一个整数不是正的，就是负的 （ ） ⑷ 一个分数不是正的，就是负的 （ ） 例2：
1、（2016山东德州）把下列各数填入表示相应集合的大括号中：
-7.2，4
3
，-9, 1.4，0, 3.14，π，5
412，-2.5，Λ121121112.0，3
6
整数集合{ } 正数集合{ } 分数集合{ } 有理数集合{ } 非正数集合{ } 负分数集合{ }
例3：（2014七中嘉祥）将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：
（1）在A 处的数是正数还是负数？ （2）负数排在A 、B 、C 、D 中的什么位置？
（3）第2014个数是正数还是负数？排在对应于A 、B 、C 、D 中的什么位置？
例4：（2014七中嘉祥）观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律？请根据你探索的规律接着写出后面的3个数，并尝试写出第100个数、第301个数。

1、6
151-4131-211、、、、、-，_____,_______,_________，...；
第100个数是_________，第301个数是________。

2、,12,10,8,6,4,2---____________，___________，__________，...，
第100个数是_____________，第301个数是_____________。

3、,8
6,7
5,64,5
3,42,3
1
---___________，___________，__________，...，
二．数轴
例1.⑴画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“＜”连接。

11
+--
5, 3.5,,1,4,0,2.5
22
例2 .
⑴数轴上点A对应的数为-3，那么与A相距1个单位长度的点B所对应的数是____。

⑵数轴上的点A对应的数是-1，一只蚂蚁从A点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B点后，用2秒的时间吃光了B点处的蜜糖，又沿着原路返回A点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B点与A点的距离是多少个单位长度？B点对应数是多少？
-，将点P向右移动3个单位长1、（2016江苏泰州市）如图，数轴上的点P表示的数是1
度得到点P'，则点P'表示的数是：．
2、（2015盐城中考改编）数轴上的点A、B分别表示数-3和1，点C是AB的中点，则点C 所表示的数是_______．
3、如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为____ ．
三．相反数和倒数 1、下列正确的是( )
A ．一个数的相反数一定是负数
B ．π和-3.14互为相反数
C ．所有的有理数都有相反数
D ．13和31互为相反数
2、如果0a <，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数。

①()a -+； ② ()a --； ③()a -+-⎡⎤⎣⎦；
④()a ---⎡⎤⎣⎦； ⑤(){}
a -+--⎡⎤⎣⎦
3、3-的倒数是( ) A ．13
-
B ．13
C ．3-
D ．3
例2 ⑴
37与_________互为相反数；1
2
a -是_________的相反数。

⑵2()--的相反数是_________；4
b ＋是_________的相反数
⑶
(){}
4=⎡-+-⎤⎣⎦-__________。

⑷(){}
5--+-⎡⎤⎣⎦与_________互为相反数，()a b ---与___互为相反数，7[()]b c +--+-与_________互为相反数。

【随堂巩固】
1．到原点距离为3的整数有 ．
到原点距离小于3的整数有 ． 不大于+3的非负整数数有 ．
2.把下列各数用数轴上的点表示出来，并用“＜”号把它们连接起来：
516, 4.5,3,0,,4,22
---
3.指出下列数轴上A 、B 、C 、D 、E 、各点分别表示的是什么数，并指出各数的相反数。

4.已知23n -与-5互为相反数,求n 的值.
5. 对下列带有多重符号的数进行化简．
（1）
1
---2
3
⎡⎤
⎛⎫
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
（2）
1
+--3
2
⎡⎤
⎛⎫
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
（3）()
{}
--+-2
⎡⎤
⎣⎦
（4）
1
+-+4
2
⎡⎤
⎛⎫
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
（5）
1
+---
3
⎧⎫
⎡⎤
⎛⎫
⎨⎬
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
⎩⎭
（6）()
{}
-+-+1
⎡⎤
⎣⎦
【方法点拨】：
（1）有理数大小比较方法：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的数大。

正数大于0，负数小于0，正数大于负数。

（2）在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等。

（3）符号化简规律：一个数前面的“+”号，不管多少，都可省略不写；一个数前面
的“-”号，要省去只能每次省去偶数个
【家庭作业】
1.把下列各数分别填在题后相应的集合中：
5
7
0-1,0.73,2-5-29.52,28,0.12122122228-+⋅⋅⋅，，，，，。

（1）正数集合：{ }
（2）负数集合：{ }
（3）整数集合：{ }
（4）分数集合：{ }
（5）正整数集合：{ }
（6）负整数集合：{ }
（7）正分数集合：{ }
2.化简下列各数：
（1）)21
3(--； （2）)]6([++-； （3）)]6([--+；
（4）[(8)]+--； （5）)]([a +--； （6）)]([b a ---。