重庆市江北中学高级高三（下）模拟考试（4月月考）数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共计60分。

在每小题列出的4个选项中，只有一项符合题目要求。

1．i i i i ++-1)21)(1(,复数为虚数单位等于（ ）A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +2 2．已知向量在则),0,3(),1,2(-=-=方向上的投影为 （ ）A ．5-B ．5C ．—2D ．2 3．函数x x x x f 2cos cos sin 3)(+=的单调增区间为（ ）A ．Z k k k ∈+-],6,3[ππππ B ．Z k k k ∈+-],62,32[ππππC ．Z k k k ∈+-],12,125[ππππD ．Z k k k ∈+-],12,1252[ππππ4．已知)2,1(),1,2(-N M ，在下列方程的曲线上，存在点P 满足|MP|=|NP|的曲线方程是（ ）A ．013=+-y xB ．03422=+-+x y xC ．1222=+y xD ．1222=-y x 5．若两个平面βα与相交但不垂直，直线m 在平面βα则在平面内,内 （ ）A ．一定存在与直线m 平行的直线B ．一定不存在与直线m 平行的直线C ．一定存在与直线m 垂直的直线D ．一定不存在与直线m 垂直的直线6．已知)tan(,cos )sin(),2(,53sin βααβαπβπβ+=+<<=则且= （ ）A ．1B ．2C ．—2D ．2587．已知圆xx g x x f y x y x C 2)(,log )()0,0(4:222==≥≥=+与函数的图象分别交于 22212211),,(),,(x x y x B y x A +则等于 （ ）A ．16B ．8C ．4D ．28．已知等差数列30,240,18,}{49===-n n n n a S S S n a 若项和为的前，则n 的值为（ ） A ．18 B ．17 C ．16 D ．15 9．用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ） A ．288个 B ．240个 C ．144个 D ．126个 10．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为)0,5()0,5(和-，点P 在双曲线上，PF 1⊥PF 2，且△PF 1F 2的面积为1，则双曲线的方程为（ ）A ．13222=-y x B ．12322=-y x C ．1422=-y x D ．1422=-y x 11．设椭圆0),0,(,21)0,0(122222=-+=>>=+c bx ax c F e b a by a x 方程右焦点的离心率的两个根分别为),(,2121x x P x x 则点在 （ ）A ．圆222=+y x 内 B ．圆222=+y x 上C ．圆222=+y x 外D ．以上三种情况都有可能12．设q p m q mx x x e x f p x 是则内单调递增在,5:,),0(12ln )(:2-≥+∞++++=的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．已知y x z y y x y x +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+300632则的最大值为 。

14．一个三棱锥S —ABC 的三条侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，且长度均为1，已知该三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为 。

15．设nx x )3(2131+的二项展开式中各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若h+t=272，则二项展开式为x 2项的系数为 。

16．已知定义域为D 的函数D x x f ∈对任意),(，存在正数K ，都有K x f ≤|)(|成立，则称函数)(x f 是D 上的有“有界函数”。

已知下列函数：①x x f sin 2)(=；②21)(x x f -=；③xx f 21)(-=；④1)(2+=x xx f ，其中是“有界函数”的是 （写出所有满足要求的函数的序号）。

三、解答题：本大题共6小题共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知a 、b 、c 成等比数列，公比为q ，且.43cos =B （I ）求q 的值；（II ）求C A cot cot +的值。

18．（本小题满分12分）甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立。

根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6，0.5，0.4，能通过面试的概率分别是0.5，0.6，0.75。

（I ）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；（II ）设经过两次考试后，能被该高校予录取的人数为ξ，求随机数量ξ的期望E （ξ）。

19．（本小题满分12分）正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 与BB 1的中点。

（I ）求证：EF ⊥平面A 1D 1B ；（II ）求二面角F —DE —C 的正切值；（III ）若AA 1=2，求三棱锥D 1—DEF 的体积。

20．（本小题满分12分）已知数列).)((2,1,}{*2111N n a a a na a a n n n ∈+++==+ 中（I ）求432,,a a a ；（II ）求数列n n a a 的通项}{；（III ）设数列).(1:,1,21}{211k n b b b a b b b n n n kn n ≤<+==+求证满足 21．（本题满分12分）过双曲线3322=-x y 的上支上一点P 作双曲线的切线交两条渐近线分别于点A ，B 。

（I ）求证：OB OA ⋅为定值；（II ）若AM OB =，求动点M 的轨迹方程。

22．（本小题满分14分）设函数2)2(12)(223=->-+---=x m m x m mx x x f 的图象在其中处的切线与直线125+-=x y 平行。

（I ）求m 的值；（II ）求函数)(x f 在区间[0，1]的最小值；（III ）若1,0,0,0=++≥≥≥c b a c b a 且，根据上述（I ）、（II ）的结论， 证明：.109111222≤+++++cc b b a a参考答案一、选择题：C D A C C C C D B C A D 二、填空题13．9 14．π3 15．1 16．①②④ 三、解答题：17．（I ）∵a 、b 、c 成等比数列 ac b =∴2…………1分 由余弦定理：B ac c a b cos 2222-+=…………2分 ac c a b B 2343cos 222-+=∴=…………3分0522232222=-+-+=∴ac c a ac c a ac 即0252,242=+-∴==q q aq c aq b…………4分222,2122或的值是非负考虑到或q q q ∴=∴ …………6分（II ）47sin 43cos =∴∆=B ABC B B 的内角是且 …………7分 由正弦定理：BbC c A a sin sin sin ==…………8分ac b Bb C A ac ==∴222sin sin sinB C A 2sin sin sin =∴…………10分CA B C A C A CA AC A C C C A A C A sin sin sin sin sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos cot cot =+=+=+=+∴774471sin 1sin sin 2====B B B …………12分18．解：（I ）分别记甲、乙、丙三个同学笔试合格为事件A 1、A 2、A 3；E 表示事件“恰有一人通过笔试”则)()()()(321321321A A A P A A A P A A A P E P ++=4.05.04.06.05.04.06.05.06.0⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==0.38 …………6分（II ）解法一：因为甲、乙、丙三同学经两次考试后合格的概率均为P=0.3 …………9分所以9.03.03)(),3.0,3(~=⨯==nP E B ξξ故…………12分解法二：分别记甲、乙、丙三个同学经过两次考试后合格为事件A ，B ，C ， 则3.0)()()(===C P B P A P9.0027.03189.02441.01)(:027.03.0)3(,189.07.03.03)2(441.03.0)3.01(3)1(322=⨯+⨯+⨯=====⨯⨯===⨯-⨯==∴ξξξξE P P P 于是有两人被该高校预录取的概率.189.07.03.03)2(2=⨯⨯==ξP …………12分 19．方法一：（I ）∵E 、F 分别为AB 与BB 1的中点∴EF ∥AB 1，而AB 1⊥A 1B ，∴EF ⊥A 1B又D 1A 1⊥平面ABB 1A 1，∴D 1A 1⊥EF ，∴EF ⊥平面AD 1B 1 …………2分 （II ）设CB 交DE 的延长线于点N ，作BM ⊥DN 于M 点，连FM∵FB ⊥平面ABCD ，∴FM ⊥DN ，∴∠FMB 为二面角F —DE —C 的平面角 …………5分设正方体棱长为a ，则EBN Rt aFB ∆=在,2中， ,25tan ,,55,25,,2==∠∆=⋅=∴===BM FB FMB FBM Rt a EN BN EB BM a EN a BN a EB 中在∴二面角F —DE —C 的正切值为.25…………8分（III ）连结DB ，∵BB 1∥DD 1131,111111DD S V V V V S S DEB DEBD DB DE DF D E DEF D DB D DF D ⋅====∴=∴∆----∆∆ .322)22221(31=⋅⋅⋅=…………12分方法二：如图所示，分别以DA 、DC 、DD 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系 D —ACD 1，不妨令正方体的棱长为2。

（I ）∵E 、F 分别为AB 与BB 1的中点∴E （2，1，0），F （2，2，1），A 1（2，0，2）D 1（0，0，2），B （2，2，0），)2,2,0(),1,1,0(1-==∴B A EF ， )0,0,2(11-=D A ，…………2分111111,,0,0D A EF B A EF D A A ⊥⊥∴=⋅=⋅∴，（II ）显然，平面DEC 的法向量为).2,0,0(1=DD,02202,00,,),1,2,2(),0,1,2(),,,1(⎩⎨⎧-++=+⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅∴⊥⊥===z y y z y DEF 即而的法向量为设平面解得).2,2,1(-=…………6分记二面角F —DE —C 的平面角为α，35sin ,32234||||cos 11==⨯==∴ααDD n ， …………7分.25tan =∴α故二面角F —DE —C 的正切值.25…………8分 20．解：（I ）4,3,2432===a a a…………2分（II ）)(2)1()(2121211-++++=-+++=n n n n a a a a n a a a na①—②得nn a a a n na a a n na n n n n n n n 1,)1(:2)1(111+=+==--+++即……4分 所以)(),2(123121*121321N n n a n n n na a a a a a a a n n n n ∈=≥=-==-所以 ……6分 （III ）由（II ）得：01,2111211>>>>>+==-+b b b b b kb b n n n n n ， 所以}{n b 是单调递增数列，故要证：1)(1<≤<k n b k n b 只需证…………8分 若n n n n n n b b b kb b k b k b k +<+=≥<==++121111,2;121,1则若显然成立则所以kb b n n 1111->-+ …………10分因此：11,1211)11()11(11121<+<+=+-->+-++-=-k k b k k k k b b b b b b k k k k 所以 所以)(1k n b n ≤<…………12分21．解：（I ）设直线AB ：0,>+=b b kx y)3)(3(4)2(,03032)3(33222222222=---=∆≠-=-++-⎩⎨⎧=-+=b k kb k b kbx x k x y b kx y 得由 322=+∴b k…………3分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=⎩⎨⎧-=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=⎩⎨⎧=+=>>k b y k b x x y b kx y k b y k b x x y b kx y y y y x B y x A 333333330,0),,(),,(2211212211得由得由3||30,03,3,13212121222221212221=⋅=⋅∴>>==-=-=⋅x x y y y y x y x y k b x x 且22121=⋅+⋅=⋅∴y y x x OB OA…………6分（II ）AM = ，所以四边形BOAM 是平行四边形OM +=∴…………8分M(x,y)，由（*）得bkk kb x x x 232221=--=+=， ①b kb y y y 636221=-=+= ②由①②及141232222=-=+x y b k 得 …………11分060>=∴>by b ，所以M 的方程)0(141222>=-y x y ……12分 22．解：（I ）因为2243)(m mx x x f ---='，所以5812)2(2-=---='m m f…………2分 解得m=—1或m=—7（舍），即m=—1…………4分（II ）由31,1,0143)(212===-+-='x x x x x f 解得 …………5分列表如下：…………7分所以函数)(x f 在区间[0，1]的最小值为2750)31(=f …………8分（III ）因为)2)(1(22)(223x x x x x x f -+=+-+-=由（II ）知，当)2(502711,2750)2)(1(,]1,0[22x xx x x -≤+≥-+∈所以时， 31),(3222)()](2[5027)]()(2[502711110,10,10,1,0,0,0)2(50271222222222222222222222≥++++≤+++++=++++-=++-++≤+++++≤≤≤≤≤≤=++≥≥≥-≤+c b a c b a ca bc ab c b a c b a c b a c b a c b a c c b b a a c b a c b a c b a x x xx 所以又因为所以时且当所以故109)312(5027111222=-≤+++++cc b b a a （当且仅当31===c b a 时取等号）…………14分。