新教材高考数学模拟题精编详解名师猜题卷第一套试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1．若集合M ＝{x ＜|x |＜1}，N ＝{x |2x ≤x }，则M N ＝（ ）A ．}11|{<<-x xB ．}10|{<<x xC ．}01|{<<-x xD ．}10|{<≤x x 2．若奇函数f （x ）的定义域为R ，则有（ ）A ．f （x ）＞f （-x ） C ．f （x ）≤f （-x ）C ．f （x ）·f （-x ）≤０D ．f （x ）·f （-x ）＞０ 3．若a 、b 是异面直线，且a ∥平面α ，那么b 与平面α 的位置关系是（ ）A ．b ∥aB ．b 与α 相交C ．b ⊂αD ．以上三种情况都有可能4．（理）已知等比数列{n a }的前n 项和12-=n n S ，则++2221a a …2n a +等于（ ）A ．2)12(-n B ．)12(31-n C ．14-nD ．)14(31-n5．若函数f （x ）满足)(21)1(x f x f =+，则f （x ）的解析式在下列四式中只有可能是（ ） A ．2x B ．21+x C ．x -2 D ．x 21log 6．函数y ＝sin x |cot x |（0＜x ＜π ）的图像的大致形状是（ ）7．若△ABC 的内角满足sin A ＋cos A ＞0，tan A -sin A ＜0，则角A 的取值范围是（ ） A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，43π） D ．（43π，π ） 8．（理）若随机变量ξ 的分布列如下表，则E ξ 的值为（ ）ξ0 1 2 3 4 5 P2x3x7x2x3xxA ．181 B ．9 C ．9 D ．209．（理）若直线4x -3y -2＝0与圆01242222=-++-+a y ax y x 有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．-3＜a ＜7B ．-6＜a ＜4C ．-7＜a ＜3D ．-21＜a ＜1910．我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面为m 千米，远地点B 距地面为n 千米，地球半径为R 千米，则飞船运行轨道的短轴长为（ ）A ．))((2R n R m ++B ．))((R n R m ++C ．mnD ．2mn 11．某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果：①26C ；②665646362C C C C +++；③726-；④26A ．其中正确的结论是（ ）A ．仅有①B ．仅有②C ．②和③D ．仅有③12．将函数y ＝2x 的图像按向量a →平移后得到函数y ＝2x ＋6的图像，给出以下四个命题：①a →的坐标可以是（-3.0）；②a →的坐标可以是（0，6）；③a →的坐标可以是（-3，0）或（0，6）；④a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，共16分，把答案填在题中的横线上13．已知函数)1(11)(2-<-=x x x f ，则=--)31(1f ________． 14．已知正方体ABCD －A'B'C'D'，则该正方体的体积、四棱锥C'-ABCD 的体积以及该正方体的外接球的体积之比为________．15.（理）已知函数ax x x f +-=3)(在区间（-1，1）上是增函数，则实数a 的取值范围是________．16．（理）已知数列{n a }前n 项和nn n b ba S )1(11+-+-=其中b 是与n 无关的常数，且0＜b ＜1，若∞→n n S lim 存在，则∞→=n n S lim ________．三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数)R (2sin 3cos 2)(2∈++=a a x x x f ．（1）若x ∈R ，求f （x ）的单调递增区间；（2）若x ∈[0，2π]时，f （x ）的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值．18．（12分）设两个向量1e 、2e ，满足|1e |＝2，|2e |＝1，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．19甲．（12分）如图，平面VAD ⊥平面ABCD ，△VAD 是等边三角形，ABCD 是矩形，AB ∶AD ＝2∶1，F 是AB 的中点．（1）求VC 与平面ABCD 所成的角；（2）求二面角V -FC -B 的度数； （3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．20．（12分）商学院为推进后勤社会化改革，与桃园新区商定：由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓，工程于2002年初动工，年底竣工并交付使用，公寓管理处采用收费还贷偿还建行贷款（年利率5％，按复利计算），公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元．其余部分全部在年底还建行贷款． （1）若公寓收费标准定为每生每年800元，问到哪一年可偿还建行全部贷款； （2）若公寓管理处要在2010年底把贷款全部还清，则每生每年的最低收费标准是多少元（精确到元）．（参考数据：lg1.7343＝0.2391，lgl.05＝0.0212，81.05＝1.4774）21．（12分）已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-=n n a b （+∈N n ）（1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(lim +-∞→n nS b n n ．22．（14分）（理）设双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的离心率为e ，若准线l 与两条渐近线相交于P 、Q 两点，F 为右焦点，△FPQ 为等边三角形．（1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若双曲线C 被直线y ＝ax ＋b 截得的弦长为ae b 22求双曲线c 的方程．参考答案1．D 2．C 3．D 4．（理）D （文）A 5．C 6．B 7．C 8．（理）C （文）A 9．（理）B （文）D 10．A 11．C 12．D13．-2 14．6∶2∶π33 15．（文）7 （理）a ≥3 16．（文）a ≥3（理）1 17．解析：（1）a x a x x x f +++=+++=1)6π2sin(212cos 2sin 3)(．解不等式2ππ26π22ππ2+≤+≤-k x k ．得)Z (6ππ3ππ∈+≤≤-k k x k∴ f （x ）的单调增区间为3ππ[-k ，)Z ](6ππ∈+k k ．（2）∵ 0[∈x ，2π]， ∴ 6π76π26π≤+≤x ． ∴ 当2π6π2=+x 即6π=x 时，a x f +=3)(max ．∵ 3＋a ＝4，∴ a ＝1，此时6π=x ．18．解析：由已知得421=e ，122=e ，160cos 1221=⨯⨯=⋅e e ．∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+++=++⋅t t te e e t te te e e te ．欲使夹角为钝角，需071522<++t t ．得 217-<<-t ． 设)0)((722121<+=+λte e i e te ．∴ ⎩⎨⎧==λλt t 72，∴ 722=t ．∴ 214-=t ，此时14-=λ．即214-=t 时，向量2172e te +与21te e +的夹角为π ． ∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是（-7，214-） （214-，21-）． 19．解析：（甲）取AD 的中点G ，连结VG ，CG ．（1）∵ △ADV 为正三角形，∴ VG ⊥AD ．又平面VAD ⊥平面ABCD ．AD 为交线， ∴ VG ⊥平面ABCD ，则∠VCG 为CV 与平面ABCD 所成的角． 设AD ＝a ，则a VG 23=，a DC 2=．在Rt △GDC 中，a a a GD DC GC 23422222=+=+=．在Rt △VGC 中，33tan ==∠GC VG VCG ． ∴30=∠VCG ．即VC 与平面ABCD 成30°． （2）连结GF ，则a AF AG GF 2322=+=． 而 a BC FB FC 2622=+=．在△GFC 中，222FC GF GC +=． ∴ GF ⊥FC ． 连结VF ，由VG ⊥平面ABCD 知VF ⊥FC ，则∠VFG 即为二面角V -FC -D 的平面角． 在Rt △VFG 中，a GF VG 23==．∴ ∠VFG ＝45°．二面角V -FC -B 的度数为135°． （3）设B 到平面VFC 的距离为h ，当V 到平面ABCD 的距离是3时，即VG ＝3． 此时32==BC AD ，6=FB ，23=FC ，23=VF ．∴ 921==⋅∆FC VF S VFC ，2321==⋅∆BC FB S BFC ．∵ VCF B FCB V V V --=， ∴ VFC FBC S h S VG ∆∆⋅⋅⋅⋅=3131．∴93123331⋅⋅=⨯⨯h ． ∴ 2=h 即B 到面VCF 的距离为2．（乙）以D 为原点，DA 、DC 、1DD 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，设正方体1AC 棱长为a ，则D （0，0，0），A （a ，0，0），B （a ，a ，0），1D （0，0，a ），E （a ，a ，2a ），F （a ，2a ，0），G （2a，a ，0）．（1）a F D (1=，2a ，-a ），2(a EG -=，0，)2a-， ∵ 0)2)((02)2(1=--+⨯+-=⋅aa a a a EG F D ，∴ EG F D ⊥1．（2）0(=AE ，a ，2a ），∴ 02201=⨯-⨯+⨯=⋅aa a a a AE F D ．∴ AE F D ⊥1．∵ E AE EG = ，∴ ⊥F D 1平面AEG ．（3）由0(=AE ，a ，2a），B D 1＝（a ，a ，a -）， ∴ AE <cos ，111B D ⋅>=155)(40212222222=-++++-=⋅a a a a a a a ．20．解析：依题意，公寓2002年底建成，2003年开始使用．（1）设公寓投入使用后n 年可偿还全部贷款，则公寓每年收费总额为1000×80（元）＝800000（元）＝80万元，扣除18万元，可偿还贷款62万元． 依题意有 +++++2%)51(%)51(1[62 (11)%)51(500]%)51(+-+≥++n n ．化简得105.125)105.1(62+⨯≥-n n．∴ 7343.105.1≥n．两边取对数整理得28.110212.02391.005.1lg 7343.1lg ==≥n ．∴ 取n ＝12（年）．∴ 到2014年底可全部还清贷款．（2）设每生和每年的最低收费标准为x 元，因到2010年底公寓共使用了8年， 依题意有+++++-2%)51(%)51(1)[18100001000(x…97%)51(500]%)51(+≥++．化简得9805.1500105.115.10)181.0(⨯≥---x ． ∴ 992)2.8118(10)14774.14774.105.12518(10)105.105.12518(1089=+⨯=-⨯⨯+=-⨯+≥x （元） 故每生每年的最低收费标准为992元． 21．解析：（1）1112111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ，而 1111-=--n n a b ，∴ 11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n∴ {n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有n n b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ，∴ 5.311-=-n a n ． 对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数．故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3，而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1．（3）2)5)(1(2)25225)(1(1-+=-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ， ∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim1． 22．解析：（1）双曲线C 的右准线l 的方程为：x ＝c a 2，两条渐近线方程为：x aby ±=．∴ 两交点坐标为 c a P 2(，)c ab 、c a Q 2(，)cab-．∵ △PFQ 为等边三角形，则有||23||PQ MF =（如图）． ∴)(232c ab c ab c a c +=-⋅，即c ab c a c 322=-．解得 a b 3=，c ＝2a ．∴ 2==ac e ． （2）由（1）得双曲线C 的方程为把132222=-ay a x ．把a ax y 3+=代入得0632)3(2222=++-a x a x a ．依题意 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=∆≠-0)3(2412032242,a a a a ∴ 62<a ，且32≠a ．∴ 双曲线C 被直线y ＝ax ＋b 截得的弦长为 ]4))[(1())(1()()(2122122212221221x x x x a x x a y y x x l -++=-+=-+-=222242)3()1(2412)1(---+=a a a a a∵ a ac b l 1222==．∴ 224222)3(1272)1(144--+=⋅a a a a a ．整理得 0102771324=+-a a ．∴ 22=a 或13512=a ． ∴ 双曲线C 的方程为：16222=-y x 或115313511322=-y x ． （文）（1）设B 点的坐标为（0，0y ），则C 点坐标为（0，0y ＋2）（-3≤0y ≤1）， 则BC 边的垂直平分线为y ＝0y ＋1 ①)23(3200-=+x y y y ② 由①②消去0y ，得862-=x y ．∵ 130≤≤-y ，∴ 2120≤+=≤-y y ． 故所求的△ABC 外心的轨迹方程为：)22(862≤≤--=y x y ． （2）将b x y +=3代入862-=x y 得08)1(6922=++-+b x b x ．由862-=x y 及22≤≤-y ，得234≤≤x ．所以方程①在区间34[，2]有两个实根．设8)1(69)(22++-+=b x b x x f ，则方程③在34[，2]上有两个不等实根的充要条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤--≤≥++-+=≥++-+=>+--=∆⋅⋅⋅⋅⋅⋅．，，，292)1(634082)1(629)2(0834)1(6)34(9)34(0)8(94)]1(6[222222b b b f b b f b b 之得34-≤≤-b ． ∵ 7232984)]1(32[4)(||222122121--=+--=-+=-⋅b b b x x x x x x∴ 由弦长公式，得721032||1||212--=-+=⋅b x x k EF 又原点到直线l 的距离为10||b d =， ∴71)711(73202732072320||222++-=--=--=b b b b b d EF ∵ 34-≤≤-b ，∴ 41131-≤≤-b ．∴ 当411-=b ，即4-=b 时，35||max =d EF ．。