人教版数学必修五模块综合测试题 （时间120分钟，满分150分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式是 （ ）A ．()211+-nB ．cos2πn C ．cos ()21π+n D ．cos ()22π+n 思路分析：分别取n=1，2，3，4代入验证可得. 答案：B2．已知△ABC 的三边长分别为a-2，a ，a+2，且它的最大角的正弦值为23，则这个三角形的面积是 （ ） A ．415 B ．4315 C ．432 D ．4335 思路分析：先判断出a+2所对角最大，设为α，则sin α=23，∴cos α=±21. 当cos α=21时，由(a+2)2=a 2+(a-2)2-2a(a-2)·cos α，解得S=0，不合题意. 当cos α=-21时，由(a+2)2=a 2+(a-2)2-2a(a-2)·cos α，解得a=5或a=0(舍去).∴S=21 (a-2)·a ·sin α=21×3×5×23=4315.答案：B3．在等比数列{a n }中，a 9+a 10=a （a≠0），a 19+a 20=b ，则a 99+a 100等于 （ ）A ．89abB ．（ab）9C ．910abD ．（ab ）10 思路分析：∵a 19+a 20=a 9q 10+a 10q 10=q 10(a 9+a 10)(q 为公比）， ∴q 10=1092019a a a a ++=ab.又a 99+a 100=a 19q 80+a 20q 80=q 80(a 19+a 20)=(ab )8·b=89a b .答案：A4．首项为2，公比为3的等比数列，从第n 项到第N 项的和为720，则n 、N 的值分别是 （ ） A ．n=2，N=6 B ．n=2，N=8 C ．n=3，N=6 D ．n=3，N>6 思路分析：∵S N -S n-1=720，∴31)31(231)31(21------n N =720，即3N -3n-1=720.由选择肢知N=6，n=3适合上述方程. 答案：C5．设α、β是方程x 2-2x+k 2=0的两根，且α，α+β，β成等差数列，则k 为 （ ） A ．2 B ．4 C ．±4 D ．±2思路分析：α+β=2，αβ=k 2，又(α+β)2=αβ，∴4=k 2.∴k=±2. 答案：D6．等比数列{a n }中，前n 项和S n =3n +r ，则r 等于 （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．3思路分析：当n=1时，a 1=3+r ；当n ≥2时，a n =S n -S n-1=2·3n-1，要使{a n }为等比数列，则3+r=2，即r=-1. 答案：A7．在△ABC 中，AB=7，AC=6，M 是BC 的中点，AM=4，则BC 等于 （ ） A ．21B ．106C ．69D ．154思路分析：本题可以用平行四边形的结论：对角线的平方和等于四条边的平方和，或在三角形中用余弦定理求解.由平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和，得4AM 2+BC 2=2(AB 2+AC 2). ∴BC=164)3649(2⨯-+=106.答案：B8．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1=25，b 1=75，a 2+b 2=100，那么a n +b n 所组成的数列的第37项的值是 （ ） A ．0 B ．37 C ．100 D ．-37思路分析：设{a n }的公差为d 1，{b n }的公差为d 2，则a n =a 1+(n-1)d 1，b n =b 1+(n-1)d 2. ∴a n +b n =(a 1+b 1)+(n-1)(d 1+d 2). ∴{a n +b n }也是等差数列. 又a 1+b 1=100，a 2+b 2=100，∴{a n +b n }是常数列，故a 37+b 37=100. 答案：C 9．不等式组⎩⎨⎧≤≤≥++-30,0))(5(x y x y x 表示的平面区域是一个 （ ）A ．三角形B ．直角梯形C ．等腰梯形D ．矩形思路分析：原不等式组可化为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+≥+-30,0,05x y x y x 或⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+≤+-30,0,05x y x y x画出各不等式组表示的公共区域，即可看出图形的形状. 答案：C10．数列{a n }中，a n >0，且{a n a n+1}是公比为q （q>0）的等比数列，满足a n a n+1+a n+1a n+2>a n+2a n+3（n ∈N *），则公比q 的取值范围是 （ ）A ．0<q<221+ B ．0<q<251+ C ．0<q<221+- D ．0<q<251+- 思路分析：令n=1，不等式变为a 1a 2+a 2a 3>a 3a 4，∴a 1a 2+a 1a 2q>a 1a 2q 2.∵a 1a 2>0，∴1+q>q 2. 解得0<q<251+. 答案：B11．△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为23，那么b 等于 （ ） A ．231+ B ．1+3C ．232+ D ．2+3思路分析：要求b ，由条件可知2b=a+c ，21ac ·sin30°=23，可由余弦定理求解. 解：∵a 、b 、c 成等差数列，∴2b ＝a+c. 在△ABC 中，∠B ＝30°，S △ABC =21ac ·sin30°=23，∴ac ＝6. 由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac ·cos30°=(a+c)2-(2+3)ac ，即b 2=4b 2-6(2+3).∴b 2=4+23.∴b=3+1.故选B.答案：B12．某人从1996年起，每年1月1日到银行新存入a 元（一年定期），若年利率为r 保持不变，且每年到期存款自动转为新的一年定期，到2000年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数为 （ ） A ．a （1+r ）5元 B ．ra［（1+r ）5-（1+r ）］元 C ．a （1+r ）6元 D ．ra［（1+r ）6-（1+r ）］元 思路分析：1996年1月1日到1996年12月31日的钱数为a(1+r)； 1997年1月1日到1997年12月31日的钱数为［a(1+r)+a ］(1+r)；1998年1月1日到1998年12月31日的钱数为{a ［(1+r)2+(1+r)］+a}(1+r)，即a ［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］；1999年1月1日到1999年12月31日的钱数为{a ［(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］+a}(1+r)，即a ［(1+r)4+(1+r)3+(1+r)2+(1+r)］； ∴2000年1月1日可取回的钱数为a ×)1(1])1(1)[1(5r r r +-+-+=ra ［(1+r)6-(1+r)］.答案：D二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上） 13．在△ABC ，若B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，则△ABC 的面积是________.思路分析：用正弦定理求角C 是解本题的关键，然后用三角形面积公式求解. 解：由正弦定理有B AC sin =CABsin ， ∴sinC=ACB AB sin ⋅=23. 又∵AB ＞AC ，∴C ＝60°或120°.当C ＝60°时，S △ABC =21AC ·AB ·sinA=21×2×23sin90°=23； 当C ＝120°时，S △ABC =21AC ·AB ·sinA=21×2×23sin30°=3.答案：3或2314．数列{a n }的通项公式为a n =2n-49，S n 达到最小时，n 等于________.思路分析：∵a n =2n-49，∴{a n }是等差数列，且首项为-47，公差为2，由⎩⎨⎧≤--=>-=-,049)1(2,04921n a n a n n 解得n=25.∴从第25项开始为正，前24项都为负数，即前24项之和最小.答案：2415．若关于x 的方程x 2-x+a=0和x 2-x+b=0的四个根可组成首项为41的等差数列，则a+b 的值是________.思路分析：由题意知首项为41，则第四项为43，则另两根应为：41+61=125，41+61×2=127. 所以a=41×43=163，b=125×127=14435.∴a+b=163+14435=7231.答案：723116．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19km ，那么在8天内它的行程就超过2200km ，如果它每天行驶的路程比原来少12km ，那么它行驶同样的路程得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行驶的路程（km ）范围是________.思路分析：设这辆汽车原来每天行驶的路程为xkm ，则⎩⎨⎧+<->+),19(8)12(9,2200)9(8x x x解之，得256<x<260. 答案：256<x<260三、解答题（本大题共6个小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且8sin 22CB +-2cos2A=7， （1）求角A 的大小；（2）若a=3，b+c=3，求b 和c 的值. 思路分析：(1)由已知条件式可用角A 表示角2CB +，统一角，再用三角公式求出角A 的一个三角函数值，进而求出角A.（2）可由余弦定理先解出bc ，再联立b ＋c ＝3，求出b 、c.解：（1）∵A+B+C=180°，∴2C B +=90°-2A.∴sin 2C B +=cos 2A.由8cos 22A -2cos2A=7， 得4(1+cosA)-2(2cos 2A-1)=7，即(2cosA-1)2=0. ∴cosA=21.∵0°<A<180°，∴A=60°. （2）∵a=3，A=60°，由余弦定理知a 2=b 2+c 2-2bccosA ，∴3=b 2+c 2-bc=(b+c)2-3bc=9-3bc. ∴bc=2.又b+c=3，∴b=1，c=2或b=2，c=1．18．（12分）写出数列13+2，13+6，13+12，13+20，13+30，…的一个通项公式，并验证2563是否为数列中的一项.思路分析：数列每项由两个数的和组成，第一个数都是13，第二个数分别是2，6，12，20，30，…，都是两个连续自然数的乘积：1×2，2×3，3×4，4×5，5×6，…. 解：该数列的一个通项公式为a n =13+n(n+1).令13+n(n+1)=2563，则n 2+n-2550=0，解得 n=50或n=-51（舍）.∴2563是该数列的第50项.19．（12分）在△ABC 中，若sinA=2sinBcosC ，且sin 2A=sin 2B+sin 2C ，试判断△ABC 的形状.思路分析：利用正弦定理结合三角形中的边角关系，对△ABC 的形状作出准确判断. 解：∵A 、B 、C 是三角形的内角， ∴A=π-(B+C).∴sinA=sin ［π-(B+C)］=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC. ∴sinBcosC-cosBsinC=0.∴sin(B-C)=0.∴B-C=0.∴B=C. ∴A=π-2B.∴sin 2A=sin 22B=sin 2B+sin 2C=2sin 2B. ∵B=C ，∴B 是锐角.∴sin2B=2sinB. ∴2sinBcosB=2sinB. ∴cosB=22，∴B=C=4π，A=2π. ∴△ABC 是等腰直角三角形.20．（12分）数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1，a n+1=nn 2+S n （n=1，2，3，…），求证： （1）数列{nS n}是等比数列； （2）S n+1=4a n .证明：（1）a n+1=S n+1-S n ，a n+1=nn 2+S n ， ∴(n+2)S n =n(S n+1-S n ). 整理得nS n+1=2(n+1)S n ，∴11++n S n =2n Sn . 故{nSn }是以2为公比的等比数列.（2）由（1）知11++n S n =411--n Sn (n ≥2)，于是S n+1=4(n+1)11--n Sn =4a n (n ≥2).又a 2=3S 1=3，故S 1=a 1+a 2=4，因此对于任意整数n ≥1，都有S n+1=4a n .评注：本题求证的结论含有S n ，一般先用公式a n+1=S n+1-S n 把题中所给的关系式转化为含S n 的递推关系式，这是本题的一个灵活之处，考查了同学们灵活运用所学知识的能力，而第二问又考查了分析问题和逻辑推理的能力.21．（12分）一个公差不为0的等差数列{a n }共有100项，首项为5，其第1、4、16项分别为正项等比数列{b n }的第1、3、5项. （1）求{a n }各项的和S ； （2）记{b n }的末项不大于2S，求{b n }项数的最值N ； （3）记{a n }前n 项和为S n ，{b n }前n 项和为T n ，问是否存在自然数m ，使S m =T n .解：设{a 1}的公差为d ，a 1=5，a 4=5+3d ，a 16=5+15d 分别为{b n }的第1、3、5项，∴(5+3d)2=5(5+15d)，即d=5或d=0(舍). （1）S=100×5+299100⨯×5=25250. （2）∵b 1=a 1=5，b 3=a 4=20， ∴q 2=13b b =4. ∴q=2或q=-2(舍)，b n =5·2n-1． 令5·2n-1≤225250， ∴2n≤5050.又212<5050<213，即n<13，且212=4096<5050， ∴n 的最大值N=12. （3）设有S m =T N 即5m+2)1(-m m ×5=5(212-1)， 整理得m 2+m-8190=0.∴m=90<100或m=-91（舍），即存在m=90使S 90=T 12.22．（14分）某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t 需耗A 种矿石10t ，B 种矿石5t ，煤4t ；生产乙种产品1t 需耗A 种矿石4t ，B 种矿石4t ，煤9t ；每1t 甲种产品的利润是600元，每1t 乙种产品的利润是1000元，工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A 种矿石不超过300t ，B 种矿石不超过200t ，煤不超过360t.那么甲、乙两种产品各生产多少（准确到0.1t ），才能使利润总额达到最大？ 思路分析：将已知数据列成下表：甲产品(1t) 乙产品(1t) 资源限额(t) A 种矿石(t) 10 4 300 B 种矿石(t) 5 4 200 煤(t) 4 9 360 利润(元) 600 1000解：设生产甲、乙两种产品分别为xt ，yt ，利润总额为Z 元，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+≤+,0,0,36094,20045,300410y x y x y x y xZ=600x+1000y ，作出以上不等式组所表示的平面区域（如图）即可行域.作直线L ：600x+1000y=0，即作直线L ：3x+5y=0，把直线L 向右上方平移至L 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时Z=600x+1000y 取最大值， 解方程组⎩⎨⎧=+=+,36094,20045y x y x 得M 的坐标为x ＝29360≈12.4，y=291000≈34.5.答：生产甲产品约12.4吨，乙产品约34.5吨时，能使利润总额达到最大.。