也可以对x值确定y的长度
如下图。
写二次积分有个技巧是内积分的上下限的字母和内积分的积分字母不同，和外积分的字母相同。
前面的概念，黎曼积分忽略。
二重积分与积分运算相同，二重积分化成二次积分
这个函数一个是y=2x,一个是y=3-x, 而z=x²y
那积分可以是对于不固定的y值来确定x的长度
y的值得范围是从0到2，那x的长度是3-y与0.5y的差
绿线就是x的有效长度，是dx的上下限，但是不固定，是3-y和0.5y的差
这时候把y当做常数
两个根不同
两个根相同
出现了复数i
上面是齐次方程的解，非齐次方程的解是再加上一个特解
欧拉方程记公式。
5、
运算和性质和平面向量类似，多了坐标分解式，分向量，方向余弦，
坐标分解式
方向余弦
数量积和平面相同 运算相同
向量积要注意 ，模长
这个是线性代数的知识，是按照第一行把行列式展开
这个定理是 行列式等于它的任意行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和
比如 ..这个空间图形在zx轴或zy轴的剖面图就是题目给的那两个函数。所以就是绕z转，就把另一个换成 就行了。
这一章的特点是知识点难但考题简单。
还有其他零散的知识：
投影柱面投影曲面
二次曲面椭圆抛物面
双曲抛物面
椭球面
单叶双曲面
双叶双曲面
若在一点偏导存在，只能说明在这一点函数有定义，不能说明有极限。
全微分直接求
1、
一阶微分方程思路是令因变量自变量分离，再两边积分得到y关于x的方程，是上学期积分知识的拓展和延伸。
期末的重点一般是在3，所以通解公式要记住。
2
3、
4
两边同时除以
令
2、
2、
3、
上述三个类型中y均可降价，在令 后降价有两种类型
不同之处是上面一种把y当做了自变量，下面一种是x当做了自变量。
3、
求解极值的方法：
1、解 得到驻点
2、令
3、把驻点带入，若
若
若
最值问题步骤
1、先按照上面的办法求极值
2、用一个未知数把另一个未知数替换掉，得到了一个一元函数，例
3、再求这个一元函数的最值，比较得到的最值和之前求到的极值的大小关系。
条件极值
拉格朗日乘数法
求出的驻点就是函数在 条件下的可能极值点
到了二重积分了
线性相关可以理解成向量里面的平行，在线性代数里会学。
叠加原理，线性不相关的两个特解得线性组合是原方程通解，
就是说解出了满足式子的两个解 和 ，那通解就是
非齐次方程的通解 =对应齐次方程的通解 +一个特解
另外，非齐次方程的两个特解之差等于对应齐次方程的特解。
4、
特征方程解的结构
特征方程的两个根
方程 的通解
6、
平面一般方程 ，点 到这个平面的距离是
点到直线的距离，要先求过这一点与直线垂直的平面，再求直线和平面的交点，交点和给的点的距离就是所求。或者直接把直线化成参数方程形式，用两点距离公式再用不等式求最小值。
过原点的平面设为 过x轴的平面设为 ，与x轴平行的平面设为
7、
ZX轴上的曲线 绕z轴旋转的得到的曲面方程是 ,.