当前位置:文档之家› 多元函数微分学知识点梳理

多元函数微分学知识点梳理

第九章 多元函数微分学
内容复习
一、基本概念
1、知道:多元函数的一些基本概念(n 维空间,n 元函数,二重极限,连续等);理解:偏导数;全微分.
2、重要定理
(1)二元函数中,可导、连续、可微三者的关系
偏导数连续⇒可微⎧⎨⎩函数偏导数存在
⇒连续
(2)(二元函数)极值的必要、充分条件
二、基本计算
(一) 偏导数的计算
1、 偏导数值的计算(计算),(00y x f x ')
(1)先代后求法 ),(00y x f x '=0),(0x x y x f dx d =
(2)先求后代法(),(00y x f x '=00),(y y x x x y x f ==')
(3)定义法(),(00y x f x '=x
y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim
00000)(分段函数在分段点处的偏导数) 2、偏导函数的计算(计算(,)x f x y ')
(1) 简单的多元初等函数——将其他自变量固定,转化为一元函数求导
(2) 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则(画树形图,写求导公式)
(3) 隐函数求导
求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y
∂∂∂∂ ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''⎧∂∂=-=-⎪''∂∂⎨⎪⎩
公式法:(地位平等)直接法:方程两边同时对或求导(地位不平等) 注:若求隐函数的二阶导数,在一阶导数的基础上,用直接法求。

3、高阶导数的计算
注意记号表示,以及求导顺序
(二) 全微分的计算
1、 叠加原理
),(y x f z =, dy y z
dx x z dz ∂∂
+∂∂=——dy dx ,勿丢
2、一阶全微分形式不变性
dy y z
dx x z
dz ∂∂+∂∂= 对y x ,是自变量或是中间变量均成立。

三、偏导数的应用
优化方面——多元函数的极值和最值
1、 无条件极值——利用必要条件求驻点,利用充分条件判断是否为极值点
2、 条件极值——Lagrange 乘数法
求0),(..)
,(min(max )==y x t s y x f z ϕ
),(),(),,(y x y x f y x L λϕλ+=(有几个约束条件,引进相应个数Lagrange 乘子)
3、 最值——比较区域内部驻点处函数值与区域边界上最值的大小,从而确定最值。

相关主题