北航理论力学第五章习题解答
l x2 l 2
x
2
2 2 v0 l 0 。将其代入直角坐标形式的 , y x3
运动微分方程可得: F m( g
2 2 v0 l l ) 1 。 3 x x
5-11
vB
O A
x
(a)
B O r
x
vA
A
(b)
2
解:假设绳子与圆盘的切点为 B,绳子相对圆盘无滑动,故 vB r 。如图(b)所示,绳 子始终处于拉直状态,因此绳上 A、B 两点的速度在 A、B 两点连线上的投影相等,即
ve
va
vr
va ve vr
如图(a)所示。将上式在垂直于 O1A 杆的轴上, 以及在 O1C 轴上投影得 (a)
va cos 30 0 ve cos 30 0 , va cos300 vr cos300
ve va R , va vr R , 1
根据加速度合成定理有
aC 2vr 8r 2 。根据加速度合成定理 aa ae ar aC
ae M
O
ar B
aC
A (b)
aa
x'
将上式在 x ' 轴上投影,可得: aa cos ae cos aC
,
由此求得: aa 14r 2 。
5-21 解:求汽车 B 相对汽车 A 的速度是指以汽车 A 为参考 系观察汽车 B 的速度。 动点:汽车 B; 动系:汽车 A( Ox' y' ) ; 定系:路面。 运动分析 绝对运动:圆周运动; 相对运动:圆周运动; 牵连运动:定轴转动(汽车 A 绕 O 作定轴转动) 。 求相对速度 根据速度合成定理
2r 4 x
(x2 r 2 )2
y
O
。
B r
ma F FN mg
将该式在 x, y 轴上投影可得直角坐标形式的运动 微分方程
F
FN
A
vA
mg
(c)
x
F cos m x F sin FN mg m y
其中, sin
r , cos x
FN
mg
y
v0 , 2ss 2 xx s
由此解得: x sv0 x
(a)
vo
v0 s ,将该式对时间求导得 (a)式可写成: xx
2 x x 2 s v0 v0 x
(b)
2 2 2 2 v0 x v0 l 将(a)式代入(b)式可得: ax 。 x 3 (负号表明滑块 A 的加速度向上) x x
将上式积分有
l 2 g cos a sin c 2
,上式可写成 其中 c 为积分常数(由初始条件确定) 。相对速度 vr l
vr2 g cos a sin c 2l
va ve
A (a)
ve OM
根据速度合成定理: va ve vr , 可得
r 2r cos 600
6
va ve tan 2 3r , vr
ve 4r 。 cos 600
加速度如图(b)所示,其中,
r 2 ae OM 2 2r 2 , 0 cos 60
t n aa ae ae a r aC
ve R 0.5 。 O1C 2 R
ar
a
aen
t e
如图(b)所示。将上式沿 aC 投影得
n aa sin 300 aet cos 300 ae sin 300 aC
aa
aC
其中, aa R , ae 2 R1 , aC 21vr 。
8
求得:
FO
mv2 (tan 2 1) 0.284 N 。 2 r cos
5-24
a
a
M
F mg
et
Fe
(a)
(b)
解:求重物相对吊车的速度,所以取吊车为动系,重物 M 为动点。如图(b)所示,由于动 系平移,根据质点相对运动动力学方程有
mar F mg Fe
将上式在切向量方向投影有
aat 16 10 rad/s 2 。 a 7 2 , 1 O1 A 3
5-20 解:取小环为动点,OAB 杆为动系。 运动分析 绝对运动:直线运动; 相对运动:直线运动; 牵连运动:定轴转动。 由运动分析可知点的绝对速度、相对速度 和牵连速度的方向如图(a)所示,其中,
M O
vr B
求相对加速度 如图(b)所示,由于相对运动为圆周运动,相对速度的大小为常值,因此有
7
ar arn
vr2 1.78 m/s 2 。 RB
5-23 O O
F
r
M
v
mg
r FO
M
v
mg
(a)
(b)
解:销钉 M 上作用有水平槽的约束力 F 和圆槽的约束力 FO (如图(b)所示) 。因为销钉 M 的运动是给定的,所以先求其加速度,再利用质点动力学方程求约束力。取销钉为动点, 水平槽为动系,绝对运动是圆周运动,相对运动是直线运动,牵连运动是匀速直线平移。 O
将上式两边对时间求导可得
( x 2 r 2 ) 2 xx 3 2 2 r 2 xx 2x x
可得 消去 2 x
x
2r 4 x
(x2 r 2 )2
(c)
由此可知滑块 A 的加速度方向向左,大小为 aA 取套筒 A 为研究对象,受力如图(c)所示, 根据质点矢量形式的动力学方程有
ve
va
vr
va ve vr
有 va cos ve 。 AB 杆平动,所以 va v ,由此可得 v cos ve 。 OC 杆的角速度为
ve l v cos 2 0 , OA ,所以 。当 45 时,OC 杆上 C 点速度的大小为 l cos OA
其中, aa
n
va2 v2 v 2 sin t n 。根据上式可求出 。 a a tan a a r r cos 2 r cos 3
t n m(aa aa ) F FO mg
根据矢量形式的质点运动微分方程有
将该式在 x 轴上投影:
n m(aat sin aa cos ) FO cos ,
y’
va
vr
ve
O (a) y’
x’
va ve vr
如图(a)所示,将上式沿绝对速度方向投影可得
va ve vr
因此
a rn
v r ve va
ve RB , vA , RA
O (b)
其中, va vB ,
x’
R 380 m/s 。 由此可得: vr B vA vB RA 9
vB vA cos
由图(b)可知: cos
(a)
x2 r 2 ,代入(a)式可得 A 点速度的大小为 x vA r
2
x x2 r 2
2
(b)
x r rx ,将该式两边平方可得 , 由于 vA x (b)式可写成: x
2 (x2 r 2 ) 2r 2 x2 x
vC a
av cos 2 450 av 。 l 2l
5-15 解:动点:销子 M 动系 1:圆盘 动系 2:OA 杆 定系:机座; 运动分析: 绝对运动:平面曲线运动 相对运动:直线运动 牵连运动:定轴转动 根据速度合成定理有
ve1
v r1
ve2
v r2
x
va1 ve1 vr1 ,
取套筒 A 为研究对象,受力如图所示,根据质点矢量形式的动力学方程有
ma F FN mg
将该式在 x, y 轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程
mg F cos m x F sin FN m y
其中, cos
x x2 l 2
, sin
at
v ,由图可知 an
av v
,
2
y
a
a n a sin
所以:
an
o x
v3 ,证毕。 av
1
5-10 解:假设初始时绳索 AB 的长度为 L , t 时刻的长度 为 s ,则有关系式
s L v0 t ,且 s l x
2 2
2
vo
F
将上面两式对时间求导得
第五章习题参考解答
5-3 解:如图所示,火箭的运动方程为: y l tan , 其中 kt 。将运动方程对时间求导并将 30 代入得
0
v y
l lk 4lk , 2 2 3 cos cos
2lk 2 sin 8 3lk 2 。 cos3 9
x2 r 2 , x
m 2 r 4 x 2
x
2r 4 x
(x 2 r 2 )2
, y 0 。代入直角坐标形式的
运动微分方程可得
F
(x2 r 2 ) 2
5
,
FN mg
m 2 r 5 x (x2 r 2 ) 2
5
。
3
5-13 解:动点:套筒 A; 动系:OC 杆; 定系:机座; 运动分析 绝对运动:直线运动; 相对运动:直线运动; 牵连运动:定轴转动。 根据速度合成定理
vr
ve va
(a)
vM vA va 2ve 2b 2 2 m/s ,