( F − 4ma)δx = 0
δx ≠ 0, F − 4ma = 0
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31
BUAA
x
§5-1 动力学普遍方程
例：图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为m，圆盘的半径为 ， 图示系统在铅垂平面内运动，各物体的质量均为 ，圆盘的半径为R， 绳索与圆盘间无相对滑动。求滑块的加速度和圆盘 的角加速度。 绳索与圆盘间无相对滑动。求滑块的加速度和圆盘C 的角加速度。
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§5-1 动力学普遍方程
轴以匀角速ω 例：已知 OA=L绕O轴以匀角速ω转动，AB=2L。求系统在图 绕 轴以匀角速 转动， 。 示位置时，力偶矩 的大小和方向（不计摩擦） 示位置时，力偶矩M 的大小和方向（不计摩擦）
A
θ = 90 0 , ϕ = 30 0
M
C2
1
ωC
m1g θ O
m2 g
2011-11-1 19
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• 结构特点
上述动力学问题的特点
– 研究对象由多个物体组成（刚体、柔性体）， 研究对象由多个物体组成（刚体、柔性体）， 结构复杂
• 运动的特点
– 刚体的运动不仅仅是定轴转动和平面运动
• 实验手段的特点
– 不仅有物理实验还有计算机仿真实验
• 研究方法的特点
– 多学科交叉（数学、物理、力学、计算机） 多学科交叉（数学、物理、力学、计算机）
•动力学普遍方程 动力学普遍方程 •第二类 第二类Lagrange方程 第二类 方程 •第二类 第二类Lagrange方程的首次积分 方程的首次积分 第二类 •第一类 第一类Lagrange方程 第一类 方程 • Hamilton方程（简介） 方程（ 方程 简介）
2011-11-1 23
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第五章 Lagrange方程 方程
α
FI
a
F
应用动力学普遍方程
MIC
FI
1 = mR 2α 2
∑ ( F + F ) ⋅ δr = 0
i =1 i Ii i
n
解：运动分析 系统自由度 系统自由度k=1
FI = ma M IC
a = αR
由动力学普遍方程得： 由动力学普遍方程得：
δx = Rδϕ
δϕ
δx
δϕ
Fδx − 3FIδx − 2M ICδϕ = 0 Fδx − 3maδx − maδx = 0
• 理论（方法）的应用 理论（方法）
– 该方法的特点（利与弊）是什么；哪类问题能用该方 该方法的特点（利与弊）是什么； 法解决。 法解决。
• 已学知识的综合应用
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本学期要用到的基础知识
• 点的速度、加速度合成定理 点的速度、 • 刚体平面运动的基础知识 • 质点系的动量、动量矩和动能定理 质点系的动量、 • 虚位移原理、达朗贝尔原理、惯性力系的简化 虚位移原理、达朗贝尔原理、 • 高等代数（线性代数）的基础知识 高等代数（线性代数）
i =1 i =1
n
n
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动力学普遍方程
§5-1 动力学普遍方程
用动力学普遍定理求解问题的基本步骤
∑ ( F + F ) ⋅ δr = 0
i =1 i Ii i
n
• 运动分析
– 系统的自由度分析、加速度和角加速度分析与计算 系统的自由度分析、
• 受力分析
– 主动力分析、惯性力分析（刚体惯性力系的简化）与 主动力分析、惯性力分析（刚体惯性力系的简化） 计算
2011-11-1 20
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• 问题（现象）的提出 问题（现象）
学习上应注意的问题
– 问题是怎样产生的；原有的方法为什么不能（不易） 问题是怎样产生的；原有的方法为什么不能（不易） 解决该问题；解决该问题的途径是什么。 解决该问题；解决该问题的途径是什么。
• 理论（方法）的形成 理论（方法）
– 力学模型如何简化；新理论或方法的基础是什么，适 力学模型如何简化；新理论或方法的基础是什么， 用条件是什么；该理论和方法能解决哪类问题。 用条件是什么；该理论和方法能解决哪类问题。
δrC
5 3 δx ≠ 0 [− a A − Rα C + g ]mδx + [−a A − Rα C + g ]mRδθ = 0 2 2 δθ ≠ 0 aA 3 5 [− a A − Rα C + g ] = 0 [− a A − Rα C + g ] = 0 αC 2 2
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工程中的动力学问题
拖车的倒车控制研究
2011-11-1
14
BUAA
二、飞行器的动力学问题
工程中的动力学问题
GPS（需要多颗卫星共同完成） （需要多颗卫星共同完成）
2011-11-1
15
BUAA
航天器对接
工程中的动力学问题
2011-11-1
16
BUAA
工程中的动力学问题
飞机起落架的动力学仿真
2011-11-1
17
BUAA
工程中的动力学问题
卫星太阳翻版展开的动力学仿真
问题1： 问题 ： 用什么方法建立系 统的动力学方程便 于编程计算？ 于编程计算？
问题2： 问题 ： 用什么方法求解系 统的动力学方程满 足精度要求？ 足精度要求？
2011-11-1 18
BUAA
工程中的动力学问题
问题3：用什么方法定性和定量地验证计算结果的正确性？ 问题 ：用什么方法定性和定量地验证计算结果的正确性？
28
BUAA
§5-1 动力学普遍方程
拉格朗日形式的达朗贝尔原理
∑ (F + F ) ⋅ δr = 0
i =1 i Ii i
n
受有理想约束的质点系，在运动过程中， 受有理想约束的质点系，在运动过程中，其上所受的主动力 和惯性力在质点系的任何虚位移上所作的虚功之和为零。 和惯性力在质点系的任何虚位移上所作的虚功之和为零。
27
BUAA
应用达朗贝尔原理： 应用达朗贝尔原理： 其中： 其中： FIi = − mi a i 应用虚位移原理： 应用虚位移原理：
若质点系所受的 约束为理想约束
§5-1 动力学普遍方程
设：质点系中第 i 个质点的质量为 mi;作用在其上的有主动力 Fi ; 作用在其上的有主动力 约束力 FNi . 质点的惯性力为 FIi Fi + FNi + FIi = 0 , (i = 1,L, n) ( Fi + FNi + FIi ) ⋅ δri = 0, (i = 1,L, n)
独立悬架
2011-11-1
共轴式悬架
5
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工程中的动力学问题
研制方法： 研制方法：计算机的引入
2011-11-1
6
BUAA
工程中的动力学问题
实验研究方法：计算机动力学仿真 实验研究方法：
2011-11-1
7
BUAA
工程中的动力学问题
车辆碰撞的计算机模拟实验
模拟实验和物理实验对比
2011-11-1
m3 g
• 应用虚位移原理：主动力的虚功之和为零 应用虚位移原理： A
θ mg 2
M
1
ωg m
O
问题2：系统中 杆匀角 问题 ：系统中OA杆匀角 B 速转动， 速转动，用什么方法求图 示瞬时，力偶 的大小 的大小？ 示瞬时，力偶M的大小？ 不计摩擦
m3 g
2011-11-1
• 应用达朗贝尔原理：主动力、约束力和惯性力构成平衡力系 应用达朗贝尔原理：主动力、约束力和惯性力构成平衡力系
1736年1月25日生于意大利的都灵 年 月 日生于意大利的都灵 日生于意大利的都灵, 1813年4月10日在法国巴黎去世， 年 月 日在法国巴黎去世 日在法国巴黎去世， 19岁当数学教授， 岁当数学教授， 岁当数学教授 为变分法奠定了理论基础， 为变分法奠定了理论基础， 是当时欧洲公认的第一流的数学家。 是当时欧洲公认的第一流的数学家。
他写的《分析力学》 出版） 他写的《分析力学》（1788出版）一书运用变 出版 分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系， 分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系， 使力学分析化。 使力学分析化。
2011-11-1 24
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问题的引出
§5-1 动力学普遍方程
1769年蒸汽机车的模型 年蒸汽机车的模型
– 矩阵的运算、矩阵的特征值与特征向量、二次齐函数 矩阵的运算、矩阵的特征值与特征向量、
• 数学分析（高等数学）的基础知识 数学分析（高等数学）
– 多元函数的偏导数、复合函数的导数、线性常微分方 多元函数的偏导数、复合函数的导数、 程的特解和通解
2011-11-1 22
BUAA
第五章 Lagrange方程 方程
车身和车轮的运动 不仅仅是平面运动
2011-11-1
• 车身作什么运动？ 车身作什么运动？ • 车轮作什么运动？ 车轮作什么运动？
2
BUAA
工程中的动力学问题
越野赛车
汽车的减振测试与疲劳测试
2011-11-1 3
BUAA
1893年生产的轿车 年生产的轿车
工程中的动力学问题
1904年生产的轿车 年生产的轿车
车轴与车体之间无减振器
车轴与车体之间有减振器
研究对象： 研究对象： 多个物体组成， 多个物体组成，结构更加复杂 研究方法： 研究方法： 由简单到复杂， 由简单到复杂，由单一到综合
2011-11-1
减振结构： 减振结构：独立悬架
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工程中的动力学问题
现代研制的轿车、吉普车减振结构： 现代研制的轿车、吉普车减振结构：独立悬架