空间平行与垂直专题1.已知E F , G, H 是空间四点，命题甲： E , F , G H 四点不共面，命题乙：直线 EF 和GH 不相交，则甲是乙成立的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 E, F , G H 四点不共面，则直线 EF 和GH 肯定不相交，但直线 EF 和GH 不相交，E , F , G H 四点答案：Ba // 3 , a // Y ，^ U 3 // Y其中正确命题的序号是（ A .①③ B.①④ C.②③ D .②④解析：对于®』因为平行于同一个平面的两个平面相互平行』所叹①正确j 对于②，当直线用位于平面# 內J 且平行于平面為0的交线时，满足条件，但显然此时用与平面弄不垂直』因此②不正确.对于®』在 平面厲内取直线丘平行于flb 则宙ml a,曲"心得"丄fib 又n 申 因此有厲丄0，③正确；对于④，直线 曲可能位于平面口内，显然此时用与平面《■不平行，因此®不正确.综上所述，正确命題的序号是①③,答案：A3 .如图，在三棱锥 P — ABC 中，不能证明 API BC 的条件是（）A. API PB AP I PC可以共面, 例如 EF// GH 故选B.解析：若2 .设m n 是不同的直线,3 , 丫是不同的平面，有以下四个命题:①若 ②若 a 丄 3, m /a,贝 y m 丄 3 ③若 m± a , mil 3，贝U a④若 m//n , n? a ,贝Um//B. API PB BC ^ PBC. 平面 BPQ_平面 APC BCL PCD. API 平面 PBC解析：A 中，因为AP I PB API PC PBn PC= P ,所以API 平面PBC 又BC ?平面PBC 所以API BC 故A 正确；C 中，因为平面 BPCL 平面APC BC! PC 所以BCL 平面APC AP ?平面APC 所以AP I BC 故C 正 确；D 中，由A 知D 正确；B 中条件不能判断出 API BC 故选B. 答案：B4 •设m n 是两条不同的直线， a , 3是两个不同的平面，给出下列四个命题:其中真命题的个数为（ A . 1 B . 2 C. 3 D . 4解析：对于0由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于②，平面a 与f 可能平行或相交，故②错 误；对于®,直线斤可能平行于平面0,也可能在平面0内，故③错误；对于⑨ 由两平面平行的判定定理 易得平面5平行，故®错误.综上所述，正确命题的个数为I,故选A. 答案；A5•如图，在下列四个正方体中， A, B 为正方体的两个顶点,解析：B 选项中，AB// MQ 且AB?平面MNQ MQ 平面MNQ 则AB//平面MNQ C 选项中，AB// MQ 且AB ?平面MNQ MQ 平面MNQ 则AB//平面 MNQ D 选项中，AB// NQ 且AB?平面MNQ NC ?平面MNQ 则AB//平面MNQ 故选A.答案：A 6.如图所示,直线 PA 垂直于O O 所在的平面，△ ABC 内接于O O,且AB 为O O 的直径，点 M 为线段PB 的中①若 m// n ,②若 m//a ,m//3 ,贝U a // 3 ； ③若 m// n , m// 3 ,贝 U n // ④若 ml a中，直线 AB 与平面MNQT 平行的是（. _________ B AAT-?M N, Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体AiM点.现有结论：①BC X PC ②OM/平面APC ③点B 到平面PAC 的距离等于线段 BC 的长.其中正确的是（）解析：对于①，••• PA ±平面ABC二 PA X BC ••• AB 为O O 的直径，••• BCI AC 又••• PA n AC= A , ••• BC 丄平面PAC 又 PC ?平面 PAC •- BC X PC对于②，•••点 M 为线段PB 的中点, ••• OM/ PA •/ PA ?平面 PAC OM 平面 PAC ••• OM/平面 PAC 对于③，由①知 BC X 平面PAC•••线段BC 的长即是点B 到平面PAO 的距离，故①②③都正确. 答案：BA ,若直线a , b 与平面a 所成角都是30°,则这两条直线平行、相交、异面，故A 错;对于B ,若直线a , b 与平面a 所成角都是30°,则这两条直线可能垂直,如图，直角三角形 ACB 的直角顶点C 在平面a 内，边AC BC 可以与平面a 都成30°角，故B 错;A . ①②B .①②③ C. ① D .②③7.已知平面a 及直线 a , b,则下列说法正确的是 （）A .若直线 a , b 与平面 (X所成角都是30°,则这两条直线平行 B .若直线 a , b 与平面(X所成角都是30°,则这两条直线不可能垂直C.若直线 a , b 平行，则这两条直线中至少有一条与平面 a 平行D.若直线 a , b 垂直，则这两条直线与平面 a 不可能都垂直解析：对于 H对于D,假设直线a, b与平面a都垂直，则直线a，b平行，与已知矛盾，则假设不成立, 故D正确，故选D.答案：D 8.三棱柱ABO A B C中，△ ABC为等边三角形，AA丄平面ABC AA= AB M N分别是AB, AQ的中点,则BM与AN所成角的余弦值为（）1 A.-B.7C.ioD.解析：取BC的中点O连接NO AO MN因为BC綊BC, OB= -BC 所以OB/ BC , OB= ^BC ,因为M N 分别为AB , AC的中点，所以MN/ B I C , MN= q BC,所以MN綊OB所以四边形MNO是平行四边形，所以NO/ MB所以/ ANC或其补角即为BM与AN所成角，不妨设A N+O N— A O在^ ANC中 ,由余弦定理可得cos / AN Q —2A r O^ =AB= 2,则有AO^^/a , ON= , AN=J5 ,5+ 5 — 3 7 …I T亍=10.故选C.2X p5 X y/ 510答案：C9 .在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑,在鳖臑A- BCD中 , AB1平面BCD 且BDI CD AB= BD= CD点P在棱AC上运动，设CP的长度为x,若^ PBD的面积为f（x）,贝U f（x）的图象大致是（）C显然错误;解析:如图，作 PQL BC 于Q 作QRL BD 于R 连接PR 贝U PQ/ AB QR CD 设 AB= BD= CD= 1 ,厂 x PQ 口口x则A "，百彳，即PQ^，QR BQ — X —=BC r 乖所以所以= ^3^2x 2- ^/3x + 3,答案：A10.如图，四边形 ABCDK AD // BC AD= AB / BCD= 45°,/ BAD= 90°,将^ABDL 平面BCD 构成三棱锥 A- BCD 则在三棱锥 A- BCD 中，下列命题正确的是 （T yy /\y■TfJXi 0 JfC2晶 + 3,其图象是关于直线 x =申对称的曲线，排除 B 、C D,故选A.AD 册BD 折起，使平面所以f (x )=A .平面 ABD_平面ABCB .平面 ADC_平面BDCC.平面 ABC_平面BDCD.平面 ADC_平面 ABC解析：T 在四边形 中,ADIIBC, AD=AB, Z5CD=45*, 二丄CD-又平面虚D 丄 平面BCD,且平面ABDCl 平面£仞=£0」• •仞丄平面ABD,则⑷丄曲.又血丄曲，川DPI 仞=0，二肋 丄平面 QG 又血匸平面血G 二平面 MGL 平面肋& 故选D 一 答案：D答案 A答案 C11. I l , I 2表示空间中的两条直线, 若 P ： I 1, 12是异面直线，q : I 1, I 2不相交，则（A . P 是q 的充分条件，但不是 q 的必要条件B . P 是q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 C. P 是q 的充分必要条件D. P 既不是q 的充分条件，也不是 q 的必要条件解析 由I l , I 2是异面直线，可得I l , I 2不相交,所以P ? q ；由 I l , I 2不相交，可得 I 1, I 2是异面直线或I 1/ I 2,所以q ?p •所以P 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件. 故选 A.12.设a, b 是平面a 内两条不同的直线，I 是平面 a 外的一条直线，贝y“l 丄a ,I 丄b ” “I 丄a”的（）A .充要条件B .充分而不必要条件 C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件解析若a , b 是平面 a 内两条不同的直线, I 是平面 a 外的一条直线，I 丄a , I 丄b, a // b ,贝U I 可以与平面 a 斜交，推不出丄 a, a , b 是平面a 内两条不同的直线，I 是平面a外的一条直线，则I 丄 a , I 丄 b. •••“I 丄 a , I 丄 b ” 是 “I 丄 a” 的必要而不充分条件，故选 C.,3是空间两个平面，则下列命题中不正确的是（A . 若 n ? a , n // a ，则 n // mB . 若 n ? a , m 丄 3，则 a 丄3C. 若 n 丄 a , n 丄 3，则 a / 3D. 若 n ? a , n 丄a ，则 ml n答案 A13 .设m n 是空间两条直线，a解析 A 中，若m ? a, n //a,贝y n // m 或 m , n 异面.故不正确；B , C , D 均正确.故选 A.14•将正方体的纸盒展开如图，直线AB CD 在原正方体的位置关系是（）B .垂直15.如图，四边形 ABCDK AD // BC AD= AB / BCD= 45°,/ BAD= 90°，将△ ADE 沿 BD 折起，使平面ABD L 平面BCD 构成三棱锥 A- BCD 则在三棱锥 A- BCD 中 ,下列命题正确的是 （）A .平面 ABD_平面ABCB .平面 ADC_平面BDCC.平面 ABC_平面BDCD.平面 ADC_平面ABC答案 D 解析 因为在四边形 ABCD^ , AD// BC AD= AB / BCD= 45°, / BAD= 90°,所以 BD 丄 CD 又平面 ABDL 平面BCD 且平面 ABD T 平面BC P BD, CD ?平面BCD 所以CDL 平面 ABD 贝U CD L AB, 又 AD L AB ADA CD= D,所以 AB!平面 ADC 又AE ?平面ABC 所以平面 ABCL 平面 ADC 故选D.C.相交成60°角D.异面且成60°角答案 D解析如图，直线AB CD 异面.因为CE// AB 所以/ ECD 即为直线AB CD 所成的角，因为△ CDE 为等边三角形，故/ ECD= 60°.CA .平行16•如图，在空间四边形 ABC 呼，点 M AB 点N € AD 若MM=需则直线MNf 平面BDC 勺位置关系是答案 ,AM AN H由ME T N D 得 MN/ BD而BD ?平面BDC MN 平面BDC所以MN/平面BDC 17.正方体 ABCD-ABCD 中，E 为线段BD 上的一个动点，则下列结论中正确的是 ①AC 丄BE ②BE//平面ABCD ③三棱锥E - ABC 的体积为定值; ④直线BiEl 直线BC .答案①②③ 解析 因AC!平面BDEB i ，故①正确；因 BD //平面ABCD 故②正确；记正方体的体积为 V 则V E -ABC ^V ,6 为定值，故③正确； BE 与BC 不垂直，故④错误.18.下列四个正方体图形中，点 A, B 为正方体的两个顶点，点 M N P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB 解析对于①J 注意到该正方体的面中过直线AB 的侧面与平面如平行J 因此直线AB 平行于平面砂;对于②，注意到直线心和过点』的一个与平面M2平行的平面相交，因此直线血与平面两相交；对 于③「注意到此时直线M 与平面砂内的一条直线A/P 平行』且直线曲位于平面两外，因此直线AB 与平面AW 平行；对于®、易知此时AB 与平面ACVP 相交・综上所述,能得岀直线AB 平行于平面丽 的團形解析//平面MNP 勺图形的序- 号是（写出所有符合要求的图形序号 ）.答案①③■~n；1/ 1J X■ ■■ BJ-t -JC平行“A的库号是①③•学！科网19 .如图，在正方体 ABC —ABCD 中，点 M N P 分别为棱 AB BQ CD 的中点.⑵平面BBDD L 平面CMN证明 （1）在正方体 ABC —ABCD 中, 因为点M P 分别为棱AB CD 的中点,所以AM= PC .又 AM/ CD PC // CD 故 AM/ PC , 所以四边形 AMCP 为平行四边形. 从而AP// CM又AP ?平面CMN C i M?平面CMN 所以AP//平面CMN⑵连接AC 在正方形 ABCDK AC! BD又点M N 分别为棱AB, BC 的中点，故 MN/ AC 所以MNL BD在正方体 ABC —ABCD 中，DD 丄平面ABCDC求证：（1）AP//平面CMN又MN ?平面ABCD 所以DD 丄MN 而 DD n DB= D,DD , DB ?平面 BBDD,所以MNL 平面BBDD, 又MN ?平面CMN ， 所以平面BBDD 丄平面CMN 20.—个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.（2）解 平面BEG/平面ACH 证明如下: 因为ABC —EFGH 为正方体, 所以 BC// FG BC= FG 又 FG// EH FG= EH 所以 BC// EH BC= EH 于是BCH 为平行四边形. 所以BE// CH又CH ?平面ACH BE ?平面ACH所以BE//平面ACH 同理BG/平面ACH ， 又 BE n BG= B , 所以平面BEG/平面ACH(3)证明连接FH, SD.因为为正方体」 所以丄平面肋 因为迟Gu 平面EFG/?,所以DR 丄EG-(1)G H 标记在正方体相应的顶点处 （不需说明理由）； (2)判断平面 BEG 与平面ACH 的位置关系•并证明你的结论; (3)证明：直线DF 丄平面BEG (1)解点F , G H 的位置如图所示. CA请将字母 F , C£y EGlFH, EGiWH=O,所以.£G丄平面EW2D 又。