第十四章 耦合电感和理想变压器14－1 耦合电感及其伏安关系一、单个线圈的电感11()i f i N N Lid diu Ldtdtψψφψφψ=====设单个线圈的磁链为，它是电流的函数若线圈匝数为，则磁链与磁通（）的关系为磁通的参考方向与电流的参考方向采用关联方向，即符合右手螺旋定则。

如图14.1-1所示。

二、耦合电感当两个线性的时不变电感线圈L 1与L 2相距很近时，就有磁场的耦合作用，每个线圈的磁链不仅与该线圈本身的电流也与邻近线圈的电流有关，即在满足条件1）两个电感线圈都是线性的时不变电感线圈； 2）线圈周围媒质为非铁磁性物质；3）磁通与电流参考方向关联（符合右手螺旋定则）有111122222211()()()()()()t L i t M i t t L i t M i t ψψ=±=±其中：1）M 12、M 21称为互感，单位为亨（H ）。

可以证明M 12=M 21121122222()()d di diu t L M dt dt dtd di diu t L M dt dt dt ψψ==±==±当电压、电流参考方向关联，自磁通与互磁通参考方向一致（磁通相助）时，互感电压项取正；当自磁通与互磁通参考方向不一致（磁通相消）时，互感电压项取负。

自感电压总带正号。

2）同名端当电流分别从两线圈各自的某端同时流入(或流出)时，若两者产生的磁通相助，则这两端称为两互感线圈的同名端， 用标志“·”或“*”表示。

如图14.1-3和14.1-4所示若电流的参考方向由线圈的同名端指向另一端，那么，这个电流在另一线圈内产生的互感电压参考方向也应由该线圈的同名端指向另一端。

这就是说：电流i 1与 1di M dt 的参考方向对同名端一致。

如果i 1指向相反，则 1diM dt的指向也必须相反 。

对图14.1-3有1211di di u L M dt dt =+ 2122di di u L M dt dt=+对图14.1-4有1211di di u L M dt dt =- 2122di di u L M dt dt=-结论：当电压、电流均采用关联的参考方向时，若电流(i 1、i 2)皆由同名端入(出)，M 为正；电流(i 1、i 2)是一入一出，则M 为负。

例14.1 图14.1-5(a )所示电路，已知R 1=10Ω，L 1=5H, L 2=2H, M =1H ，i 1(t )波形如图14.1-5(b )所示。

试求电流源两端电压u ac (t )及开路电压u de (t )。

图14.1-5解 由于第2个线圈开路，其电流为零，所以R 2上电压为零，L 2上自感电 压为零，L 2上仅有电流i 1在其上产生的互感电压。

这一电压也就是d , e 开路时的电压。

根据i 1的参考方向及同名端位置，可知1()()de di t u t Mdt = 11()()bc di t u t L dt= 1111()()()()()ac ab bc di t u t u t u t R i t L dt=+=+在0≤t ≤1 s 时1()10i t t A =11111()()1010100()5(10)50()()()10050(10)()110ab bc ac ab bc de u t R i t t t V di du t L t V dt dtu t u t u t t V di d t u t M V dt dt==⋅=====+=+===在1≤t≤2s 时1()1020i t t A =-+V dtt d dt di Mt u V t t u t u t u V t dtddt di L t u V t t t i R t u dc bc ab ac bc ab 10)2010(1)(150100)()()(50)2010(5)(200100)2010(10)()(11111-=+-==+-=+=-=+-==+=+-⋅==在t ≥2s 时0)(1=t i0,0,0,0====de ac bc ab u u u u⎪⎩⎪⎨⎧+-+=015010050100)(V t Vt t u ac 其余s t s t 2110≤<≤<⎪⎩⎪⎨⎧-=01010)(V V t u de 其余s t s t 2110≤<≤<14－2 耦合电感线圈间的串联和并联一、耦合电感的等效电路 1.耦合电感的时域模型 对14.2-1有 dt di M dt di L u 2111+= dtdiM dt di L u 1222+=对图14.2-3有dt di M dt di L u 2111-= dtdiM dt di L u 1222-=2.相量模型2111I M j I L j U ωω±= 1222I M j I L j U ωω±=对图14.2-1，i 1、i 2都从同名端流入，则表达式为1112U j L I j MI ωω=+ 2221U j L I j MI ωω=+相量模型如图 14.2-5所示对图14.2-3，i 1从同名端流入，i 2从同名端流出，则表达式为：1112U j L I j MI ωω=+ 2221U j L I j MI ωω=+相量模型如图14.2-6所示二、耦合电感的串联1. 顺接串联：异名端相接，如图14.2-7（a ），等效电路如图14.2-7 （b ）121212()(2)2di di di di u t L M L M dt dt dt dtdi diL L M L dt dtL L L M =+++=++==++其中：称为等效电感2. 反接串联，同名端相接，如图14.2-8（a ），等效电路如图14.2-8（b ）121212()(2)2di di di diu t L M L M dt dt dt dtdi diL L M L dt dtL L L M =-+-=+-==+-其中：称为等效电感注：1）由于电感为储能元件，储能不能为负值，即21210202L w Li L L L M=>≥+≥，所以电感为正值，故或 2）正弦稳态时，耦合电感的电压相量表示为121212121212(2)22(2)22MMM U j L j L j M IZ j L j L j M Z Z Z U j L j L j M IZ j L j L j M Z Z Z Z j Mωωωωωωωωωωωωω=++=++=++=+-=+-=+-=顺接时：反接时：其中3）对耦合电感运用相量法时，要注意电路的互感现象，把互感电压作为附加电源等效，仍可用相量法来分析电路。

三、耦合电感的并联1. 同名端相并联，如图14.2-9（a ），相应的相量模型如图14.2-9（b ）所示112211222112()j L I j L I U j MI j L I j L j L I j MI j MI I I I ωωωωωωωω-=--++=-=-122122121221212(2)()22U L L M I j L L M L L M Z j L L M L L M L L L Mωω+-=--=+--=+-解得：等效阻抗为等效电感为2. 异名端并联221212121222L L M L L M Z j L L L M L L Mω--==++++同理可得 3.耦合系数14－3 空芯变压器电路的分析一、回路分析法当输入信号u s 为正弦信号时，其相量图如图14.3-2所示，由图可得11121222()()0sL R j L I j MI U j MI R R j L I ωωωω⎫++=⎪⎬+++=⎪⎭令 1111Z R j Lω=+ 12Z j M ω= 21Z j M ω= 2222L Z R R j L ω=++解得122222221221122122111221112212221212122221122122111220s s ss s U Z Z Z U Z U I Z Z Z Z Z Z M Z Z Z Z Z U j MU Z I I Z Z Z Z Z Z Z M ωωω===-+--===-+221221122()()()L sL R R j L U I R j L R R j L M ωωωω++=++++ 2221122()()sL j MU I R j L R R j L M ωωωω-=++++11221)2)I j M j M I I j M j M I ωωωω对初级回路电流，是以平方形式出现，所以无论为正还是负都一样；对次级回路电流，是以形式出现，随前符号的改变，的符号也要改变。

二、含互感电路的等效分析（用反映阻抗）初级等效电路222111112222()S i LU M M Z Z R j L I Z R j L R ωωωω==+=++++ 1) Z i 由两部分组成11112222222222()()LZ R j L M M Z R j L R M Z ωωωωω=+=++称为初级回路的自阻抗称为次级回路对初级回路的反映阻抗，在数值上等于2) 次级回路对初级回路的影响可用反映阻抗来表示22211111222211112222222222()()()S i LLU M M Z Z R j L I Z R j L R Z R j L M M Z R j L R M Z ωωωωωωωωω==+=++++=+=++称为初级回路的自阻抗称为次级回路对初级回路的反映阻抗，在数值上等于3) 初级等效电路及1I 计算 由图14.3-2（a ），得122111122ssrU U I MZ Z R j L Z ωω==+++3. 次级等效电路 由图14.3-2（b ），得212112222LZ j MI I I Z R j L R ωω-==++12111222123LI j MI I j MI I R j L R I ωωω-=-++）初级回路对次级回路的影响，是以反映出来，不用反映阻抗；），为等效电压源，必须在求得的前提下，才能应用上式求出；）等效电源的极性、大小及相位与耦合电感的同名端、初、次级电流的参考方向有关。

三、应用戴维南定理分析图（a ）中，101011oc sU j MI U I R j L ωω=-=+ 图（b ）中，2222'0222221111f M M Z Z j L j L Z Z R j L ωωωωω=+=+=++22211f M Z Z ω=初、次级等效电路如图14.3-4所示0222222f L Z j L Z Z R R j L ωω=+=++其中例14.3-1 图14.3-5(a )所示互感电路，已知R 1=7.5Ω, ωL 1=30Ω11C ω=22.5Ω, R 2=60Ω, ωL 2=60Ω, ωM =30Ω, s U =15∠0°V 。