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文科数学学霸笔记26 基本不等式
3. 检 验 等 号 是 否 成 立 , 完 成 后 续 问 题 .
例 3 : 已 知 等 差 数 列 {an} 中 , a3 = 7 , a9 = 19 , Sn 为 数 列 {an}
考 点 26 基 本 不 等 式 一、基本不等式
1. 基 本 不 等 式 :
ab
a+b ≤
2
(1) 基 本 不 等 式 成 立 的 条 件 : a ≥ 0 , b ≥ 0. (2) 等 号 成 立 的 条 件 : 当 且 仅 当 a = b 时 取 等 号 .
a+b (3) 其 中
称为正数 a , b 的算术平均数,
ab
称为正数
2
a , b 的几何平均数 . 2. 两 个 重 要 的 不 等 式 (1)a2 + b2 ≥ 2ab(a , b ∈ R) , 当 且 仅 当 a = b 时 取 等 号 .
a+b 2
(2)ab ≤ 2
(a , b ∈ R) , 当 且 仅 当 a = b 时 取 等 号 .
3. 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 已知 x ≥ 0 , y ≥ 0 ,则 (1) 如 果 积 xy 是 定 值 p , 那 么 当 且 仅 当 x = y 时 , x + y 有 最 小 值 是 2 p ( 简 记 : 积 定 和 最 小 ). (2) 如 果 和 x + y 是 定 值 s , 那 么 当 且 仅 当 x = y 时 , xy 有
使积式中的各项之和为定值 . ( 3 )若一次应用基本不等式不能达到要求,需多次应用 基本不等式,但要注意等号成立的条件必须要一致 . 注: 若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用函数单 调性求解 .
例 1 : 设 0<x< 3 , 则 函 数 y = 4x(3 - 2x) 的 最 大 值 为 ________. 2
2. 根 据 实 际 问 题 抽 象 出 函 数 的 解 析 式 后 , 只 需 利 用 基 本 不
等式求得函数的最值 .
3. 在 求 函 数 的 最 值 时 , 一 定 要 在 定 义 域 ( 使 实 际 问 题 有 意
义的自变量的取值范围 ) 内求解 .
四、基本不等式的综合应用
基本不等式的应用非常广泛,它可以和数学的其他知识交
( 4 )在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到, 可利用函数的单调性求解 . 例 2 : 运 货 卡 车 以 每 小 时 x 千 米 的 速 度 匀 速 行 驶 130 千 米 , 按 交 通 法 规 限 制 50 ≤ x ≤ 100( 单 位 : 千 米 / 时 ). 假 设 汽 油
x2 2+ 的 价 格 是 每 升 2 元 , 而 汽 车 每 小 时 耗 油 360 升 , 司 机 的
当且仅当
=
x
,
x
360
即 x = 18 10 时 等 号 成 立 .
故 当 x = 18 10 千 米 / 时 , 这 次 行 车 的 总 费 用 最 低 , 最 低
费 用 的 值 为 26 10 元 .
规律方法:
1. 设 变 量 时 一 般 要 把 求 最 大 值 或 最 小 值 的 变 量 定 义 为 函 数 .
二、利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值的常用技巧: ( 1 )若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等 式. ( 2 )若不直接满足基本不等式条件,则需要创造条件对 式子进行恒等变形,如构造“ 1 ”的代换等.常见的变形 手段有拆、并、配 . ①拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分 离成整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对 整式进行拆项,为应用基本不等式凑定积创造条件. ②并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式,或分组后先 由一组应用基本不等式,再组与组之间应用基本不等式得 出最值. ③配——配式配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值,常常需要根据题 设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相 乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,
工 资 是 每 小 时 14 元 . (1) 求 这 次 行 车 总 费 用 y 关 于 x 的 表 达 式 ; (2) 当 x 为 何 值 时 , 这 次 行 车 的 总 费 用 最 低 , 并 求 出 最 低 费 用的值 .
解:Βιβλιοθήκη (1)设所用时间为
t
130 =
(h) ,
x
x2
y
130 =
×
2
×
2+ 360
汇考查,解决这类问题的策略是:
1. 先 根 据 所 交 汇 的 知 识 进 行 变 形 , 通 过 换 元 、 配 凑 、 巧 换
“ 1 ”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解,这是
难点 .
2. 要 有 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 的 意 识 , 善 于 把 条 件 转 化 为
能利用基本不等式的形式 .
解 析 : y = 4x(3 - 2x) = 2[2x(3 - 2x)]
2x+(3-2x) 2
≤2
2
9 =,
2
当 且 仅 当 2x =
3
- 2x , 即
x
3 =
时,等号成立 .
4
3 ∵
3 0, ∈ 2,∴
函数
y
=
4x(3
0<x<3
- 2x)
2
9 的最大值为
.
4
2
9 答案:
2
三、基本不等式的实际应用 有关函数最值的实际问题的解题技巧: ( 1 )根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不 等式求得函数的最值. ( 2 )设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为 函数. ( 3 )解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值 范围.
x
+
14
130 ×,
x
∈ [50 ,
100].
x
所以,这次行车总费用
y
关于
x
的表达式是
y
130×18
=
+
x
2×130 x , x ∈ [50 , 100] 360
(
或
y
2 340 =
13 +
x , x ∈ [50 , 100]).
x
18
(2)y
130×18 2×130
=
+
x
≥ 26
10
,
x
360
130×18 2×130
s2 最大值是
4
( 简 记 : 和 定 积 最 大 ).
4 .常用结论
b (1)
a +
≥ 2(a , b 同 号 ) , 当 且 仅 当 a = b 时 取 等 号 .
ab
a+b 2
( 2 ) ab ≤ 2
a2+b2
≤
.
2
2 ( 3 )1 1
+
≤
ab
≤ a+b 2
≤
ab
a2+b2 2
(a>0 , b>0).