对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则
F i ri sin i 0
i
2 F r sin ( m r i i i i i ) i i
总外力矩Mz 称为刚体对转轴的转动惯量。
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d M z J J dt
刚体定轴转动定律：刚体在做定轴转动时，刚体的角 加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动 惯量成反比。
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说明
ml mh 2 12
dx
例题3-2、试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘对垂 直于平面且过中心轴的转动惯量.
解： 取质量元为圆环
J r 2dm
m
dr
R
o r
l
r 2rdr l
R 2 0
2l r dr
3 0
R
1 4 1 R l mR 2 2 2
1 1
2 2
系统对该轴的角动量为
Lz J ii
i
且系统满足角动量定理: M dLz d z
dt
J ii dt i
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三、定轴转动刚体的角动量守恒定律
定轴转动角动量定理：
当 即
时， 有 (常量)
定轴转动角动量守恒定律：物体在定轴转动中，当 对转轴的合外力矩为零时，物体对转轴的角动量保 持不变。 适用于刚体、非刚体和物体系。
Fi sin i Fisin i mi ait mi ri 2 Fr i i sin i Fr i i sin i mi ri
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对刚体内各个质点的相应式子，相加得
2 Fi ri sin i Fi ri sin i ( mi ri ) i i i
x dx l/2
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(2)
A
m 2 (3) J B x l / 2 h l dx 2
l / 2 h
1 2 ml 3
x
l
h A
dx
B O
l
x
（1）转动惯量因转轴位置不同而变，必须指 明是关于某轴的转动惯量。 （ 2） 平行轴定理: 刚体对任一转轴的转动惯量 J 等 于对通过质心的平行转轴的转动惯量 JC 加上刚体质 量 m 乘以两平行转轴间距离 h 的平方。
刚性细棒： 3平动自由度 + 2个转动自由度 物体有几个自由度，它的运动定律就归结为几个独立 的方程。
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§3-2 力矩 转动惯量 定轴转动定律
一、力矩
F 对O点的力矩： M 0 r F
M 0 r F1 r F2
对转动无贡献 对转动有贡献
说明 1、只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力 矩Mz ，而平行于转轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则 被轴承上支承力的力矩所抵消。
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角量： 角位移
线量与角量的关系：
d 角速度 dt d 角加速度
dt
匀角加速转动： 匀加速直线运动：

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三、自由度
自由度就是决定系统在空间的位置所需要的独立坐 标的数目。 质点： (x, y, z) i=3 C(x,y,z)
做直线运动的质点： 1个自由度 做平面运动的质点： 2个自由度
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例题3-3 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质 圆盘对通过直径的转轴的转动惯量。
解：(1) 圆环： r dm
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(2) 圆盘：
O r dr d m
可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
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例题3-4 物体：m1、m2(>m1)， 定滑轮：m、r，受摩 擦阻力矩为Mr。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体 的加速度和绳的张力。 解：由于考虑滑轮的质量和所受 的摩擦阻力矩，
做空间运动的质点： 3个自由度
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自由运动刚体： 随质心的平动 + 绕过质心轴的转动 自由刚体有 6个自由度： 确定质心位置 3个平动自由度 (x, y, z) 确定过质心轴位置 2个转动自由度 ( ， ) 确定定轴转动角位置 1个转动自由度 ( ) 平动刚体： 3个平动自由度 定轴转动刚体：1个转动自由度
比较
平动： 线动量 转动：
mv
角动量
dv 平动定律 F ma m 转动定律 M z J J d dt dt 转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。
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J
四、转动惯量
定义： 刚体为质量连续体时： （ r 为质元dm到转轴的距离） 转动惯量取决于刚体本身的性质，即刚体的形状、 大小、质量分布以及转轴的位置。 单位( SI )：
第三章 刚体和流体的运动
本章教学目的及要求
1、了解刚体模型。 2、了解刚体的转动惯量。 3、掌握刚体定轴转动定律及其应用。 4、了解刚体定轴转动的功能关系、角动量定理 及角动量守恒定律。
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§3-1 刚体模型及其运动 一、刚体
刚体：既考虑物体的质量， 又考虑形状和大小，但 忽略其形变的物体模型。 刚体是一个特殊的质点系，在外力作用下，系统内任 意两点间的距离始终保持不变。
2
1
在啮合过程中，摩擦力矩做功，所以机械能不守恒， 部分机械能将转化为热能。损失的机械能为：
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例题3-9 一质量为M 、半径为R 的匀质圆盘形滑轮， 可绕一无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有轻绳，绳子 一端固定在滑轮上，另一端悬挂一质量为m 的物体， 问物体由静止落下h 高度时,物体的速率为多少？ 解法一:用牛顿第二运动定律及转动 定律求解。 对物体m用牛顿第二运动定律得
2 、转动 如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运 动，这种运动就叫做转动，这一直线就叫做转轴。 如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动。 如：门、 窗的转动等。 可以证明，刚体的一般运动可看作是平动和转动的 叠加 。 如：车轮的滚动。
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定轴转动时，刚体上各点都绕同一固定转轴做 不同半径的圆周运动。 在同一时间内，各点转过的圆弧长度不同，但 在相同时间内转过的角度相同，称为角位移，它可 以用来描述整个刚体的转动。 做定轴转动时，刚体内各点具 有相同的角量，包括角位移、角速 度和角加速度。但不同位置的质点 具有不同的线量，包括位移、速度 和加速度。
r
问题中包括平动和转动。
FT1 m1 g m1a m2 g FT2 m2 a FT2 r FT1r M r J
轮不打滑： 联立方程，可解得 FT1 ，FT2，a， 。 此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度 g
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例题3-5 一半径为R，质量为m均质圆盘，平放在粗糙 的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦因数为 ，令圆盘 最初以角速度 0 绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问 它经过多少时间才停止转动？ 解： 把圆盘分成许多环形 质元，每个质元的质量 dm=reddr ， e 是 盘 的 厚 度，质元所受到的阻力矩 为 rdmg 。 圆盘所受阻力矩为
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1. 刚体( J 不变)的角动量守恒 若 M=0，则 J =常量，而刚体的 J 不变，故 的大小，方向保持不变。 如：直立旋转陀螺不倒。
o
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2. 非刚体( J 可变)的角动量守恒
当 J 增大， 就减小，当 J 减小， 就增大。 如：芭蕾舞、花样滑冰、跳水中的转动等。
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2π R 2
3 2 t 0 2 1 μg dt R dω 0 3 2 ω0
dt
3 R t 0 4 g
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§3-3 定轴转动中的功能关系 一、力矩的功
说明 1. 平行于定轴的外力对质元不做功。 2. 由于刚体内两质元的相对距离不变，内力做 功之和为零。
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设作用在质元mi上的外力
位于转动平面内。
合外力对刚体做的元功：
刚体受到的总外力矩 刚体从 0 转到 ，所有外力做的总功为： 力对刚体所做的功用力矩与角位移乘积的积分表示， 叫做力矩的功。
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二、刚体的转动动能
刚体转动时的动能，是组成刚体的各个质点动能之和。
刚体对转轴的转动惯量J
刚体的转动动能：刚体因转动而具有的动能。
3. 物体系的角动量守恒
若系统由几个物体组成，当系统受到的外力对 轴的力矩的矢量和为零，则系统的总角动量守恒：
如：直升机机尾加侧向旋叶，是为防止机身的反转。
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例题3-8 摩擦离合器 飞轮1：J1、 1 摩擦轮2： J2、 静止，两轮沿轴向结合，求结合后两轮达到的共同角 速度。
2 1
解：两轮对共同转轴的角动量守恒
解： A O C B
(1)水平位置
方向： 垂直于 转动面向里
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(2)垂直位置
A
C O

B
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§3-4 定轴转动刚体的角动量定理和 角动量守恒定律 一、刚体的角动量
质元
mi
对O 点的角动量为
Li Ri mi vi 因 vi Ri ，所以 Li 的大小为
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三、定轴转动的动能 时，外力矩所做 元功为 ：
d M J J dt
d dA Md J dt Jd dt
则总外力矩对刚体所做功为
刚体定轴转动的动能定理 ： 总外力矩对刚体所做的功 等于刚体转动动能的增量。
线速度和角速度之间的矢量关系 ：
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三、定轴转动定律
对刚体中任一质量元 mi
受外力
Fi
和内力
Fi
应用牛顿第二定律，可得