b
J 0 x = ∫ y 2 dm = ∫ 2b y 2 ⋅ σady =
− 2
σab 3 1 = Mb 2 12 12 1 Ma 2 12
1 M (a 2 + b 2 ) 2
同理可得 J 0 y =
∫x
2
dm = ∫ x 2 ⋅ σbdx =
b 2 b − 2
图 3.34 题 3.11 图
J 0 Z = ∫ r 2 dm = ∫ ( x 2 + y 2 ) dm = J 0 x + J 0 y =
1
减小，而两船之外的压强几乎不变，这压强差的存在就可使两船彼此靠近，且这种 现象会继续下去。若不及时改变船向，必将发生船体相撞。
* * * * * * 3.8 转速为 2940 转／分的砂轮，制动后于 2 分 20 秒内停止转动。求： (1)砂轮的平均角加速 度；(2)在制动过程中砂轮转过的转数。 解：已知 ω0 = 2940 × （1） β =
T1 = m1 ( g + a1 ) =
3.14 一匀质 圆盘 ，半 径 为 R = 0.20m ，质量为 M = 2.50kg ，可绕中心轴转动，如 图 3.37 所示，在圆盘的边缘上绕一轻绳，绳的一端挂一质量 m = 0.50kg 的砝码。试求：
4
（1）计算绳的张力和圆盘的角加速度； （2）作用在圆盘上的力矩在 2.0s 内所作的功以及圆盘所增加的动能。 解：
第 3章
刚体和流体
3.1 在描述刚体转动时，为什么一般都采用角量，而不采用质点力学中常采用的线量?
θ ,ω , β）都相同， 答：对于刚体，用角量描述方便可行，这是因为对刚体上的各点角量（ ∆ r,υ , a ）均不相同，这对其运动的描述带来麻烦， 若采用线量描述，由于刚体上各点线量（ ∆
（2） θ = ω0 t +
3.9 一飞轮以 n =1500转 / 分 的转速转动，受到制动后均匀地减速，经 t = 50s 后静止。(1) 求角加速度和制动后 25s 时飞轮的角速度； (2)从制动到停止转动，飞轮共转了多少转 ?(3)若飞轮 半径为 r = 0.5m ，求 t = 25s 时，飞轮边缘上一点的速度和加速度。 解：已知 ω0 = 1500 × （1） β = 当 t1 = 25s 时 （2）
（3） υ = rω1 = 0.5 × 78.6 = 39.3m / s ， υ 2 = rβ = −0.5 × 3.14 = −1.57 m /ω12 = 0.5 × 78.6 2 = 3089m / s 2 r
3.10 一砂轮的直径为 20 厘米，厚为 b = 2.5 厘米，砂轮的密度为 ρ= 2.4 克／厘米 3。求：(1) 砂轮的转动惯量；(2)当转速为 2940 转／分 时，砂轮的转动动能(砂轮可当作实心圆盘)。 解：已知 R =
m1 m2 2 (m1 − m2 ) g − 2h( 2 − 2 ) R t1 t2 J= 1 1 2h( 2 − 2 ) t1 t 2
在实验过程中，假定摩擦力不变，绳子质量可忽略不计，绳子长度不变。 解：设绳中弹力为 T， 对 m 有：
mg −T = ma
（1 ） （2 ） （3 ）
2
示，设薄板的质量为 M，则薄板对 OX 轴、 OY 轴和 OZ 轴的转动惯量分别为 J 0 x =
1 Mb 2 ， 12
J0y =
1 1 Ma 2 ， J 0 Z = M ( a 2 + b 2 ) ， 证明此结论，并给出 J ox , J oy , J oz 之间的关系。 12 2 M ab
证明：设单位面积薄板的质量 σ =
1 Jω 2 知，转动动能增加一倍。 2
3.4 什么是流体?流体为什么会流动? 答：具有流动性的物体叫流体。 流体之所以会流动是由于构成流体的分子间的作用很小，可以忽略，使得流体 中的各分子可以自由运动。 3.5 连续性原理和伯努利方程成立的条件是什么?在推导过程中何处用过? 答：连续性方程成立的条件是理想流体作稳定流动（其核心是不可压缩性
T1 − m1 g = m1 a1 m 2 g − T2 = m 2 a 2
（1 ） （2） （3）
T2 R − T1 r = ( J 1 + J 2 ) β a1 = rβ a 2 = Rβ
(1)----(5)联立解之得
（4）
图 3.36 题 3.13 图
(5)
β=
(m2 R − m1 r ) g (m2 R − m1 r ) gr (m2 R − m1 r ) gR a = a = 2 2 ， 1 2 2 ， 2 J 1 + J 2 + m2 R + m1 r J 1 + J 2 + m1 r + m2 R J 1 + J 2 + m1 r 2 + m2 R 2 J 1 + J 2 + m2 R( R + r ) J + J 2 + m1 r ( R + r ) T = m2 ( g − a 2 ) = 1 2 2 ， 2 J 1 + J 2 + m1 r + m2 R J 1 + J 2 + m1r 2 + m 2 R 2
图 3.37 题 3.14 图
(1) T =
J mg = mg = × 0.5 × 9.8 = 3.5 N 1 1 J + mR 2 2 2 MR + mR × 2.5 + 0.5 2 2
mg 1 MR + mR 2 = 0.5 × 9.8 1 × 2.5 × 0.2 + 0.5 × 0.2 2 = 14rad / s 2
关系为： J 0 Z = J 0 x + J 0 y 正交轴定理
3.12 一圆盘半径为 R，装在桌子边缘上，可绕一水平中心轴转动。圆盘上绕着细线，细线的 一端系一个质量为 m 的重物， m 距地面为 h，从静止开始下落到地面，需时间为 t ，如图 3.35 所示，用此实验来测定圆盘的转动惯量，测得当 m = m1 时， t = t1 ； m = m 2 时 t = t 2 ， 证明：
2h ( J + m1 R 2 ) 2 t1 2h ( J + m2 R 2 ) 2 t2
（6）
当 m = m 2 时有：
R 2 m2 g =
（7 ）
由（6）式减（7）整理得
m1 m2 2 (m1 − m2 ) g − 2h( 2 − 2 ) R t1 t2 J= 1 1 2h( 2 − 2 ) t1 t 2
mg −T = ma TR = Jβ
（1 ） （2）
a = Rβ
联立解得：
mgR （3） J + mR 2 J T= mg （4） J + mR 2
β=
而
J = ∫ r 2 dm = ∫ σ r 2 2πrdr =
0
R
M 1 1 ⋅ 2π ⋅ R 4 = MR 2 2 4 2 πR 1 × 2.5 2
0 R
=
（2） E k =
3.14 × 2.4 ×10 3 × 0.14 × 2.5 ×10 −2 = 9.42 ×10 −3 kg ⋅ m 2 2
1 1 2π 2 Jω 2 = × 9.42 ×10 −3 × (2940 × ) = 446 J 2 2 60
3.11 一块均匀的长方形薄板，边长为 a、b，中心 O 取为原点，坐标为 OXYZ，如图 3.34 所
s1υ1 ∆t = s 2υ2 ∆t ）。伯努利方程成立的条件是：理想流体，稳定流体，同一流线。在
推导中按理想稳定流体对待（未考虑粘滞力，考虑不可压缩性流线上的速度不随时 间改变）。 3.6 为什么从消防栓里向天空打出来的水柱 ,其截面积随高度增加而变大 ?用水壶 向水瓶中灌水时,水柱的截面积却愈来愈小? 答：从救火筒理向天空打出来的水柱，其截面随高度增加而变大，是由于从高 度的增加，水流的速度变小，由连续性方程就决定了液面截面积要增加。同理，用水 壶向水瓶中灌水时，水柱的截面积愈来愈小（由于速度增大）。 3.7 两船同向并进时,会彼此越驶越靠拢,甚至导致船体相撞,这是为什么? 答：这是由于在两船间，水流的截面变小，流速增大，从而据伯努利方程知压强
20 = 10cm = 0.1m ， b = 2.5cm = 2.5 ×10 −2 m ， 2 R4 πρR 4 b = 4 2
ρ = 2.4 g / cm 3 = 2.4 ×10 3 kg / m 3
（1） J = ∫ r 2 dm = ρ∫ r 2 dV = ρ∫ r 2 ⋅ 2πrdrb = 2πρb
对于圆盘有： TR = Jβ 由于绳子长度不变， a = Rβ （1），（2）、（3）联立解得
a=
由 h=
R2 mg J + mR 2
（4）
1 2 at 得： 2
a=
2h t2
（5）
图 3.35 题 3.12 图
∴
R 2 mg =
2h ( J + mR 2 ) t2
3
当 m = m1 时有
R 2 m1 g =
（3） 由 υ = 2ah 得
2
υ = 2×
m M +m 2
gh = 2
mgh M + 2m
（4） 由 h =
1 2 at 得 2
t=
2h = a
2π = 307.9rad / s 60
ωt = 0 ， t = 2 × 60 + 20 = 140s
ω − ω0 − 307.9 = = −2.2rad / s 2 t 140
1 1 β t 2 = 307.9 ×140 − × 2.2 ×140 2 = 21546rad = 3429 （转） 2 2
2π = 157.1rad / s ， ωt = 0 ， t = 50 s 60