三力平衡问题的几种求解方法
云南云天化中学张宝权
三力平衡问题是共点力平衡问题的重点，因而也就成了人们经常注意的问题。

如何求解三力平衡问题？一般来讲，有如下几种基本的求解方法：(1)正交分解法；
(2)正弦定理法；(3)相似比法；(4)力矩平衡；(5)余弦定理法。

如何灵活、熟练地运用以上这些方法，使三力平衡问题顺利、简捷地得以解决，这就要理解和掌握这些方法的内容、特点及条件。

下面举一个例题，分别阐述以上这五种方法。

题目：如图1所示，小圆环A吊着一重力为的砝码套在
另一竖直放着的大圆环上，有一细线的一端拴在小环A上，另
一端跨过固定在大圆环最高点B处的定滑轮后吊着一个重力为
砝码。

如果小环、滑轮、绳子的质量和圆环之间、滑轮轴承
处的摩擦都可略去不计，绳子又不可伸长。

求平衡时AB弦所对
的圆心角。

分析：选取结点A为研究对象：点A受到绳A竖直向下的拉力且＝，受到
绳AB沿AB方向的拉力且＝，受到大圆环沿OA方向的弹力N。

在以上这三个力的作用下，结点处于静止状态，属于三力平衡问题。

解法一：用正交分解法求解。

该方法的内容是：以研究对象所在位置为坐标原点，过原点沿某一方向作一条直线为x轴，过原点且与x轴垂直的一条直线为y轴，从而建立直角坐标系。

将不在两坐标轴上的力分别沿x轴和y轴上进行分解，若研究对象处于平衡状态，则有。

以上两式亦称为力的平衡条件。

在本题中，以结点A为坐标原点，过原点沿水平方向和竖直方向的直线分别为x轴
和y轴，建立直角坐标系后，结点的受力情况如图2所示，从图中可以看出，力和N 不在坐标轴上。

根据力的平衡条件有：
将分别代入以上方程组后得：
由(4)得：并代入(3)
后化简得：。

注：此方法不仅可以求三力平衡问题，而且也可以求多个共点力的平衡问题。

因此，该方法是求共点力平衡问题的普遍适用的基本方法。

其难点是力的分解和解方程组。

解法二：用正弦定理求解。

该方法的内容是：当物体受到三个力、和的作用处于平衡状态时，若
，那么下面等式成立：。

上面等式即为正弦定理。

在本题中，结点A所受到的三个力的夹角如图3所示，于
是有：。

可得：，亦即。

注：在能够比较容易地找到各力之间的夹角和已知一个力时，求解另外两个力，运用此方法求解，较为简洁。

关键在于准确地找出三个力之间的夹角。

解法三：用相似比求解
此方法的内容是：当物体受到三个力、和的作用处于平衡状态时，那么这三个力一定组成首尾相连的封闭的力三角形。

这个力三角形若与几何三角形
相似，即∽，则对应边成比例：。

上面等式称两个相似三角形的相似比。

在本题中，结点A所示的力三角形为
如图4所示，因为与图1中相似，即∽。

于是有：
将：代入上式，可得：
即可得：。

注：在已知几何三角形的三条边和一个力时，求另外两个力，用此法求解，显得容易。

但此法的关键在于如何找到一对相似三角形。

解法四：用力矩平衡求解。

该方法的内容是：对于绳吊物的三力平衡问题，以绳的一个悬点或某一个力的力的作用线上的一点作为转轴，则过转轴的力的力矩是零，设一个力的力矩为，另一个力的力矩为，那么有：＝。

该等式又称二力平衡条件。

在本题中，可设大圆环的圆心为转轴，则弹力N的力矩为零，的力矩为
的力矩为。

因＝，故有。

即可得。

注：此方法对于绳吊物一类的三力平衡问题，在已知两个力时，求某一夹角，此法显得很方便。

其难点在于如何确定转轴和准确地找出力臂。

解法五：用余弦定理求解
关于共点力平衡问题有这样一个推论：物体在n个共点力作用下处于平衡状态时，其中任意一个力的大小总是等于除这个力之外的(n-1)个力的合力的大小，方向相反且在同一条直线上。

因此，n个共点力的平衡问题可以转化为二力平衡问题。

对于三力平衡总是也是如此，也可以转化为二力平衡问题。

当物体受到、和的作用处于平衡状态时，若、的夹角为θ，那么、
的合力大小为。

因，故有。

在本题中，结点A所受各力及有关力间的夹角如图5所示。

拉力和弹力N的合力，因为、
和N组成的力三角形为等腰三角形，有＝N＝，那么的表达式变形为：。

因得。

于是又有：，所以有。

注：已知两个力的大小及这两个力的夹角时，求第三个力，也可采用此法。

但有时在数学处理上稍复杂一些。