2017年上海市金山区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．若集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＞1}，则M∩N=．2．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=．3．若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于．4．函数的最小正周期T=．5．函数f（x）=2x+m的反函数为y=f﹣1（x），且y=f﹣1（x）的图象过点Q（5，2），那么m=．6．点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是．7．若x，y满足，则2x+y的最大值为．8．从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有种不同的选法（结果用数值表示）．9．方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4=0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是（结果化为普通方程）10．若a n是（2+x）n（n∈N*，n≥2，x∈R）展开式中x2项的二项式系数，则=．11．设数列{a n}是集合{x|x=3s+3t，s＜t且s，t∈N}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=4，a2=10，a3=12，a4=28，a5=30，a6=36，…，将数列{a n}中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则a15的值为．12．曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹，下列四个结论：①曲线C过点（﹣1，1）；②曲线C关于点（﹣1，1）成中心对称；③若点P在曲线C上，点A、B分别在直线l1、l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线l1：x=﹣1，点（﹣1，1）及直线f（x）对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2；其中，所有正确结论的序号是．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．给定空间中的直线l与平面α，则“直线l与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α上无数条直线”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要 D．既不充分也不必要14．已知x、y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．C．log2x+log2y＞0 D．sinx﹣siny＞015．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．16．已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PB、PD与平面ABCD所成的角依次是和，AP=2，E、F依次是PB、PC的中点；（1）求异面直线EC与PD所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P﹣AFD的体积．18．已知△ABC中，AC=1，，设∠BAC=x，记；（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）试写出函数f（x）的单调递增区间，并求方程的解．19．已知椭圆C以原点为中心，左焦点F的坐标是（﹣1，0），长轴长是短轴长的倍，直线l与椭圆C交于点A与B，且A、B都在x轴上方，满足∠OFA+∠OFB=180°；（1）求椭圆C的标准方程；（2）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．20．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|），x∈R；（1）求实数a、b的值；（2）若不等式对任意x∈R恒成立，求实数k的范围；（3）对于定义在[p，q]上的函数m（x），设x0=p，x n=q，用任意x i（i=1，2，…，n﹣1）将[p，q]划分成n个小区间，其中x i﹣1＜x i＜x i+1，若存在一个常数M＞0，使得不等式|m（x0）﹣m（x1）|+|m（x1）﹣m（x2）|+…+|m（x n﹣1）﹣m（x n）|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试证明函数f（x）是在[1，3]上的有界变差函数，并求出M的最小值．21．数列{b n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有；（1）试证明数列{b n}是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{a n}共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{a n}的每相邻两项a i与a i+1之间插入i个（﹣1）i b i（i∈N*）后，得到一个新数列{c n}，求数列{c n}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由．2017年上海市金山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．若集合M={x|x2﹣2x＜0}，N={x||x|＞1}，则M∩N=（1，2）．【考点】交集及其运算．【分析】解x2﹣2x＜0可得集合M={x|0＜x＜2}，解|x|＞1可得集合N，由交集的定义，分析可得答案．【解答】解：x2﹣2x＜0⇔0＜x＜2，则集合M={x|0＜x＜2}=（0，2）|x|＞1⇔x＜﹣1或x＜＞1，则集合N={x|﹣1＜x＜1}=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），则M∩N=（1，2），故答案为：（1，2）2．若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=1﹣2i．【考点】复数代数形式的加减运算．【分析】设复数z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值．【解答】解：设z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，∵2z+=3﹣2i，∴2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i，∴3a=3，b=﹣2，解得a=1，b=﹣2，则z=1﹣2i故答案为：1﹣2i．3．若sinα=﹣，且α为第四象限角，则tanα的值等于．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而可求tanα的值．【解答】解：∵sinα=﹣，且α为第四象限角，∴cosα===，∴tanα===．故答案为：．4．函数的最小正周期T=π．【考点】二阶行列式与逆矩阵；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．【解答】解：f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π5．函数f（x）=2x+m的反函数为y=f﹣1（x），且y=f﹣1（x）的图象过点Q（5，2），那么m=1．【考点】反函数．【分析】根据反函数的性质可知：原函数与反函数的图象关于y=x对称，利用对称关系可得答案．【解答】解：f（x）=2x+m的反函数y=f﹣1（x），∵函数y=f﹣1（x）的图象经过Q（5，2），原函数与反函数的图象关于y=x对称，∴f（x）=2x+m的图象经过Q′（2，5），即4+m=5，解得：m=1．故答案为：1．6．点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程为：x+2y=0，点（1，0）到双曲线的渐近线的距离是：=．故答案为：．7．若x，y满足，则2x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（1，2），代入目标函数z=2x+y得z=1×2+2=4．即目标函数z=2x+y的最大值为4．故答案为：4．8．从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课代表，共有48种不同的选法（结果用数值表示）．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据分步计数原理，先安排数学课代表，再安排语文、英语课代表．【解答】解：先从除了甲之外的4人选1人为数学课代表，再从包含甲在内的4人中选2人为语文、英语课代表，根据分步计数原理可得，共有A41A42=48种，故学生甲不能担任数学课代表，共有48种不同的选法．故答案为48．9．方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4=0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是x﹣2y=0（结果化为普通方程）【考点】轨迹方程．【分析】把圆化为标准方程后得到：圆心坐标，令x=2t，y=t，消去t即可得到y与x的解析式．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得（x﹣2t）2+（y﹣t）2=t2+4，圆心（2t，t）则圆心坐标为，所以消去t可得x=2y，即x﹣2y=0．故答案为：x﹣2y=010．若a n是（2+x）n（n∈N*，n≥2，x∈R）展开式中x2项的二项式系数，则=2．【考点】数列的极限；二项式定理的应用．，令r=2，可得a n，再利用求和公【分析】（2+x）n（其中n=2，3，4，…）的展开式，T r+1式化简，利用数列的极限即可得出．=，令r=2，可得：【解答】解：（2+x）n（其中n=2，3，4，…）的展开式，T r+1T3=2n﹣2x2．∴a n是二项式（2+x）n（其中n=2，3，4，…）的展开式中x的二项式系数，∴a n==．则=2= =2．故答案为：2．11．设数列{a n}是集合{x|x=3s+3t，s＜t且s，t∈N}中所有的数从小到大排列成的数列，即a1=4，a2=10，a3=12，a4=28，a5=30，a6=36，…，将数列{a n}中各项按照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则a15的值为324．【考点】归纳推理．【分析】如果用（t，s）表示3s+3t，则4=（0，1）=30+31，10=（0，2）=30+32，12=（1，2）=31+32，…．利用归纳推理即可得出．【解答】解：如果用（t，s）表示3s+3t，则4=（0，1）=30+31，10=（0，2）=30+32，12=（1，2）=31+32，28=（0，3）=30+33，30=（1，3）=31+33，36=（2，3）=32+33，…．利用归纳推理即可得：a15=（4，5），则a15=34+35=324．故答案为：324．12．曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹，下列四个结论：①曲线C过点（﹣1，1）；②曲线C关于点（﹣1，1）成中心对称；③若点P在曲线C上，点A、B分别在直线l1、l2上，则|PA|+|PB|不小于2k；④设P0为曲线C上任意一点，则点P0关于直线l1：x=﹣1，点（﹣1，1）及直线f（x）对称的点分别为P1、P2、P3，则四边形P0P1P2P3的面积为定值4k2；其中，所有正确结论的序号是②③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由题意曲线C是平面内到直线l1：x=﹣1和直线l2：y=1的距离之积等于常数k2（k＞0）的点的轨迹．利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【解答】解：由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及点到直线间的距离公式的得：|x+1||y ﹣1|=k2，对于①，将（﹣1，1）代入验证，此方程不过此点，所以①错；对于②，把方程中的x被﹣2﹣x代换，y被2﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于（﹣1，1）对称．所以②正确；对于③，由题意知点P在曲线C上，点A，B分别在直线l1，l2上，则|PA|≥|x+1|，|PB|≥|y﹣1|∴|PA|+|PB|≥2=2k，所以③正确；对于④，由题意知点P在曲线C上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积=2|x+1|×2|y﹣1|=4|x+1||y﹣1|=4k2．所以④正确．故答案为：②③④．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．给定空间中的直线l与平面α，则“直线l与平面α垂直”是“直线l垂直于平面α上无数条直线”的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要 D．既不充分也不必要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】解：若：直线l与平面α垂直”，则“直线l垂直于平面α上无数条直线”，是充分条件；若直线l垂直于平面α上无数条直线，则直线l与平面α不一定垂直，不是必要条件，故选：A．14．已知x、y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．C．log2x+log2y＞0 D．sinx﹣siny＞0【考点】不等式比较大小．【分析】根据不等式的性质判断A，根据特殊值，判断C，D，根据指数函数的性质判断B 【解答】解：因为x＞y＞0，所以＜，故A错误，因为y=（）x为减函数，故B正确，因为当1＞x＞y＞0时，log2x+log2y=log2xy＜0，故C错误，因为当x=π，y=时，sinx﹣siny＜0，故D错误，故选：B．15．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为正方体内挖去一个圆锥．【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，故选A．16．已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且关于x的方程|f（x）|=2﹣x恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A．（0，]B．[，]C．[，]∪{}D．[，）∪{}【考点】分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【分析】利用函数是减函数，根据对数的图象和性质判断出a的大致范围，再根据f（x）为减函数，得到不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出a的范围．【解答】解：y=loga（x+1）+1在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，函数f（x）在R上单调递减，则：；解得，；由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）x+3a|=2﹣x，则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），当1≤3a ≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为[，]∪{}，故选：C ．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB 、PD 与 平面ABCD 所成的角依次是和，AP=2，E 、F 依次是PB 、PC 的中点； （1）求异面直线EC 与PD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示）（2）求三棱锥P ﹣AFD 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角．【分析】（1）分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系．利用向量与所成角求得异面直线EC 与PD 所成角的大小；（2）直接利用V P ﹣AFD =V P ﹣ACD ﹣V F ﹣ADC 求解．【解答】解：（1）分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． ∵AP=2，，∠PDA=，∴AB=2，AD=4，则P （0，0，2），D （0，4，0），E （1，0，1），C （2，4，0）， ，．∴cos ＜＞===．∴异面直线EC 与PD 所成角的大小为；（2）V P ﹣AFD =V P ﹣ACD ﹣V F ﹣ACD ==．18．已知△ABC 中，AC=1，，设∠BAC=x ，记；（1）求函数f （x ）的解析式及定义域；（2）试写出函数f （x ）的单调递增区间，并求方程的解．【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】（1）由条件利用正弦定理、两个向量的数量积公式、三角恒等变换化简函数f （x ）的解析式．（2）利用正弦函数的单调性求得f （x ）的单调区间，并求出x 的值． 【解答】解：（1）由正弦定理有==∴BC=•sinx ，AB=，∴=sinx •sin （﹣x ）•=（cosx ﹣sinx ）sinx=sin （2x +）﹣，其定义域为（0，）（2）∵﹣+2k π≤2x +≤+2k π，k ∈Z ，∴﹣+k π≤x ≤+k π，k ∈Z ，∵x ∈（0，）∴递增区间， ∵方程=sin （2x +）﹣，∴sin （2x +）=1，解得．19．已知椭圆C以原点为中心，左焦点F的坐标是（﹣1，0），长轴长是短轴长的倍，直线l与椭圆C交于点A与B，且A、B都在x轴上方，满足∠OFA+∠OFB=180°；（1）求椭圆C的标准方程；（2）对于动直线l，是否存在一个定点，无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可知设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），2a=•2b，即a=b，代入求得：a2=2，b2=1，即可求得椭圆C的标准方程；（2）B关于x轴的对称点B1在直线AF上．设直线AF方程：y=k（x+1），代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式，代入由x==，此能证明直线l总经过定点M（﹣2，0）．【解答】解：（1）设椭圆的标准方程为：（a＞b＞0），由题意可知：2a=•2b，即a=b，由c=1，则a2=b2+c2=b2+1，代入求得：a2=2，b2=1，椭圆C的方程为：；（2）存在一个定点M（﹣2，0），无论∠OFA如何变化，直线l总经过此定点证明：由OFA+∠OFB=180°，则B关于x轴的对称点B1在直线AF上．设A（x1，y1），B（x2，y2），B1（x2，﹣y2设直线AF方程：y=k（x+1），代入，得：（k2+）x2+2k2x+k2﹣1=0，…由韦达定理可知：x1+x2=，x1•x2=，由直线AB的斜率k AB=AB的方程：y﹣y1=（x﹣x1），令y=0，得：x1﹣y1•，y1=k（x1+1），y2=k（x2+1），x=====﹣2，∴直线l总经过定点M（﹣2，0）．20．已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，记f（x）=g（|x|），x∈R；（1）求实数a、b的值；（2）若不等式对任意x∈R恒成立，求实数k的范围；（3）对于定义在[p，q]上的函数m（x），设x0=p，x n=q，用任意x i（i=1，2，…，n﹣1）将[p，q]划分成n个小区间，其中x i﹣1＜x i＜x i+1，若存在一个常数M＞0，使得不等式|m（x0）﹣m（x1）|+|m（x1）﹣m（x2）|+…+|m（x n﹣1）﹣m（x n）|≤M恒成立，则称函数m（x）为在[p，q]上的有界变差函数，试证明函数f（x）是在[1，3]上的有界变差函数，并求出M的最小值．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）由已知中g（x）在区间[2，3]的最大值为4，最小值为1，结合函数的单调性及最值，我们易构造出关于a，b的方程组，解得a，b的值；（2）求出f（x），对任意x∈R恒成立等价于F（x）min=f（x）+g（x）恒成立，求实数k的范围；根据有界变差函数的定义，我们先将区间[1，3]进行划分，进而判断|m（xi）﹣m（xi﹣1）|≤M是否恒成立，进而得到结论．【解答】解：（1）∵函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b，∵a＞0，对称轴x=1，∴g（x）在区间[2，3]上是增函数，又∵函数g（x）故在区间[2，3]上的最大值为4，最小值为1，∴，解得：a=1，b=0．∴g（x）=x2﹣2x+1故实数a的值为1，b的值为0．（2）由（1）可知g（x）=x2﹣2x+1，∵f（x）=g（|x|），∴f（x）=x2﹣2|x|+1，∵对任意x∈R恒成立，令F（x）=f（x）+g（x）=x2﹣2x+1+x2﹣2|x|+1=根据二次函数的图象及性质可得F（x）min=f（1）=0则F（x）min≥恒成立，即：≤0令log2k=t，则有：t2﹣2t﹣3≤0，解得：﹣1≤t≤3，即，得：故得实数k的范围为．（3）函数f（x）为[1，3]上的有界变差函数．因为函数f（x）为[1，3]上的单调递增函数，且对任意划分T：1=x0＜x1＜…＜x i＜…＜x n=3 有f（1）=f（x0）＜f（x1）＜…＜f（x I）＜…＜f（x n）=f（3）所以|m（xi）﹣m（xi﹣1）|=f（x1）﹣f（x0）+f（x2）﹣f（x1）＜…＜f（x n）﹣f（x n）﹣1=f（x n）﹣f（x0）=f（3）﹣f（1）=4恒成立，所以存在常数M，使得|m（xi）﹣m（xi﹣1）|≤M是恒成立．M的最小值为4，即M min=4；21．数列{b n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有；（1）试证明数列{b n}是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{a n}共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{a n}的每相邻两项a i与a i之间插入i个（﹣1）i b i（i∈N*）后，得到一个新数列{c n}，求数列{c n}中所有项的和；+1（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，若存在，求实数λ的范围，若不存在，请说明理由．【考点】数列的应用；数列与函数的综合．=n，即可证明．【分析】（1）n=1时，b1=1；n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1（2）通过题意，易得数列{a n}的通项公式为an=2n，当m=2k﹣1（k≥2，k∈N*）时，数列{c n}共有（2k﹣1）+1+2+…+（2k﹣2）=k（2k﹣1）项，其所有项的和为Sk（2k﹣1）=（2+22+…+22k﹣1）+[﹣1+22﹣32+42﹣…﹣（2k﹣3）2+（2k ﹣2）2]=m（m﹣1）+2m+1﹣2．取m=2017时，可得数列{c n}中所有项的和．（3）不等式，即不等式（n+1）≤（n+1）λ≤，化为：f（n）=≤λ≤1+=g（n）．通过验证：n=1，2，3时不等式不成立．n≥4时，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．即可得出结论．=﹣=n．n=1时【解答】（1）证明：n=1时，b1=1；n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1也成立．∴b n=n为等差数列，首项与公差都为1．（2）解：通过题意，易得数列{a n}的通项公式为a n=2n，当m=2k﹣1（k≥2，k∈N*）时，数列{c n}共有（2k﹣1）+1+2+…+（2k﹣2）=k（2k﹣1）项，其所有项的和为Sk（2k﹣1）=（2+22+…+22k﹣1）+[﹣1+22﹣32+42﹣…﹣（2k﹣3）2+（2k ﹣2）2]=2（22k﹣1﹣1）+[3+7+…+（4k﹣5）]=22k﹣2+（2k﹣1）（k﹣1）=m（m﹣1）+2m+1﹣2．∴m=2017时，数列{c n}中所有项的和=22018+2033134．（3）不等式，即不等式（n+1）≤（n+1）λ≤，化为：f（n）=≤λ≤1+=g（n）．∵f（n）≥f（3）=5+，g（n）≤g（1）=6．而n=1，2，3时不等式不成立．n≥4时，f（n）≥f（n）=6，g（n）＜6．因此不存在n∈N*，使不等式成立．2017年1月12日。