定积分练习题标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]一、选择题1. 设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛abf (x )d x 的符号( )A ．一定是正的B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的，当a <b <0时是负的D ．以上结论都不对解析： 由⎠⎛a bf (x )d x 的几何意义及f (x )>0，可知⎠⎛a bf (x )d x 表示x ＝a ，x ＝b ，y ＝0与y ＝f (x )围成的曲边梯形的面积．∴⎠⎛abf (x )d x >0.答案：A2. 若22223000,,sin a x dx b x dx c xdx ===⎰⎰⎰，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <c <b B ．a <b <c C ．c <b <a D ．c <a <b解析：a ＝13x 3 |20＝83，b ＝14x 4 |20＝4，c ＝－cos x |20＝1－cos2，∴c <a <b . 答案：D3. 求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )A ．S ＝⎠⎛01(x 2－x )d xB ．S ＝⎠⎛01(x －x 2)d xC ．S ＝⎠⎛01(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎛01(y －y )d y[答案] B[解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x .4. 11(sin 1)x dx -+⎰的值为( )A. 2 C.22cos1+ D. 22cos1- 【答案】A【解析】[][]1111(sin 1)cos (cos11)cos(1)12x dx x x --+=-+=-+----=⎰5. 由曲线22y x x =+与直线y x =所围成的封闭图形的面积为 （ ）A ．16B ．13C ．56D ．23【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:二、填空题6. 已知f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ，则当x ∈[－1,3]解析： f (x )＝⎠⎛0x (2t －4)d t ＝(t 2－4t )| x0＝x 2－4∴当x ＝2时，f (x )min ＝－4. 答案： －47. 一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________．解析：由定积分的物理意义有：s ＝3020(38)t t dt -+⎰＝(13t 3－32t 2＋8t )|300＝7890(m)．∴v ＝s t ＝789030＝263(m/s)．答案：263 m/s三、解答题8.求下列定积分：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ；(2) 0(cos e )d x x x π-⎰＋；(3)⎠⎛49x (1＋x )d x ；(4)⎠⎛0πcos 2x2d x .解析： (1)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121x d x ＝x 22| 21－x 33| 21＋ln x |21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56.(2)0(cos e )d xx x π-⎰＋＝0cosxd e d xx x ππ--+⎰⎰＝sin x ||0－π＋e x0－π＝1－1eπ.(3)⎠⎛49x (1＋x )d x ＝⎠⎛49(x 12＋x )d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋12x 249＝23×932－23×432＋12×92－12×42＝4516.(4)⎠⎛0πcos 2x2d x ＝⎠⎛0π1＋cos x 2d x ＝12x |0π＋12sin x |0π＝π2. 9. 已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的图象如图：直线y ＝0在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274，求f (x )． 解：由f (0)＝0得c ＝0，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由f ′(0)＝0得b ＝0， ∴f (x )＝x 3＋ax 2＝x 2(x ＋a )，由∫－a0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3. ∴f (x )＝x 3－3x 2.10.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛1f (x )d x ＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． 解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎨⎧c ＝2－a b ＝0.∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤13ax 3＋2－ax | 10＝2－23a ＝－2，∴a ＝6，∴c ＝－4.从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]， 所以当x ＝0时，f (x )min ＝－4； 当x ＝±1时，f (x )max ＝2.B 卷：5+2+2一、选择题1. 已知f (x )为偶函数且61(),2f x dx =⎰则66()f x dx -⎰等于( )A ．2B ．4C ．1D ．-1解析：∵f (x )为偶函数，∴661()(),2f x dx f x dx -==⎰⎰∴6660()2() 1.f x dx f x dx -==⎰⎰ 答案：C2. (改编题)A ． 3 B. 4 C. D.【答案】C【解析】2220202101102,0()2,()(2)(2)(2)|(2)|2,02232 3.5.2x x x x f x x f x dx x dx x dx x x x x ----≥⎧=-=∴=++-=++-⎨+<⎩=+=⎰⎰⎰3. 已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k >0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k 等于( )A ．2B ．1C ．3D ．4答案：C解析：由⎩⎨⎧y ＝x2y ＝kx消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92.即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 4. 一物体在力F (x )＝⎩⎨⎧10 0≤x ≤23x ＋4 x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )作的功为( )A ．44B ．46C ．48D ．50解析： W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛0210d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝10x | 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋4x | 42＝46.答案：B5. 函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成A ．31B ．34C ．2D ．38【答案】B【解析】由导函数()x f '的图像可知，函数()x f 为二次函数，且对称轴为1,x =-开口方向向上，设函数2()(0),(0)0,0.()2,f x ax bx c a f c f x ax b '=++>=∴==+因过点（-1,0）与（0,2），则有2(1)0,202,1, 2.a b a b a b ⨯-+=⨯+=∴==2()2f x x x ∴=+， 则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为232032-22114(2)()|=2)(2).333S x x dx x x -=--=--⨯+-=⎰（- 二、填空题6.（改编题）设20lg ,0(),3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为 。

【答案】1 【解析】23300(1)lg10,((1))(0)03|1, 1.aaf f f f t dt t a a ==∴==+===∴=⎰7. 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R)的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．[答案] －1[解析] f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，∵f ′(0)＝0，∴b ＝0，∴f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a <0)．S 阴影＝－⎠⎛a(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，∴a ＝－1.三．解答题8.（改编题）画出曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形，并且其面积. 解析:如图所示，封闭图形的区域为ABC.由2y x =与1y x =-联立可得C(2,1),由2y x =与=4x 联立可得B(4,12),由1y x =-与=4x 联立可得A(4,3). 所求封闭图形ABC 的面积：84222ln 42ln 242ln 2=--+-+=-.9. 在曲线y ＝x 2(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112. (1)求切点A 的坐标． (2)求过切点A 的切线方程．解析：设切点A (x 0，y 0)，由y ′＝2x ，过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 02.令y ＝0，得x ＝x 02.即C (x 02，0)．设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形面积为S ，S 曲边△AOB ＝023001|3x xx dx x ==⎰13x 03，S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12(x 0－x 02)·x 02＝14x 03.∴S ＝13x 03－14x 03＝112.∴x 0＝1，从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1.C 卷：2+2+1一、选择题1.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2x y =和曲线x y =围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是A ．21 B. 61 C. 41 D. 31 【答案】D【解析】312312002111()()|,=1.3333OBCA OBCA S S x x dx x x S P S =-=-=∴==⎰阴阴正方形正方形， 2. 设函数f (x )＝x －[x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－]＝－2，[]＝1，[1]＝1.又函数g (x )＝－x3，f (x )在区间(0,2)上零点的个数记为m ，f (x )与g (x )的图象交点的个数记为n ，则⎠⎛mn g (x )d x 的值是( )A ．－52B ．－43C ．－54D ．－76[答案] A[解析] 由题意可得，当0<x <1时，[x ]＝0，f (x )＝x ，当1≤x <2时，[x ]＝1，f (x )＝x －1，所以当x ∈(0,2)时，函数f (x )有一个零点，由函数f (x )与g (x )的图象可知两个函数有4个交点，所以m ＝1，n ＝4，则⎠⎛mn g (x )d x ＝⎠⎛14⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 3d x ＝⎪⎪⎪－x 2614＝－52. 二．填空题2)x dx =⎰．【答案】2π-【解析】20dx ⎰等于圆224x y +=在第一象限的面积π，则2222201)22x dx dx xdx x ππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰.4．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________． 解析：设直线OP 的方程为y ＝kx ，P 点的坐标为(x ，y )，则⎠⎛0x (kx －x 2)d x ＝⎠⎛x 2(x 2－kx )d x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3| x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2| 2x ，解得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.答案： ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169三．解答题5.如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y ＝x 2，试在此区间内确定t 的值，使图中阴影部分的面积S 1＋S 2最小．[解析] 由题意得S 1＝t ·t 2－⎠⎛0t x 2d x ＝23t 3，S 2＝⎠⎛t1x 2d x －t 2(1－t )＝23t 3－t 2＋13， 所以S ＝S 1＋S 2＝43t 3－t 2＋13(0≤t ≤1)．又S ′(t )＝4t 2－2t ＝4t ⎝⎛⎭⎪⎫t －12，令S ′(t )＝0，得t ＝12或t ＝0.因为当0<t <12时，S ′(t )<0；当12<t ≤1时，S ′(t )>0.所以S (t )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增． 所以，当t ＝12时，S min ＝14.。