一、反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式； 3．反比例函数的自变量，故函数图象与x 轴、y 轴无交点．二、反比例函数的图象在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x 应对称取点（关于原点对称）．三、反比例函数及其图象的性质反比例函数)0#(k xky =k 的符号0>k0<k图象性质1、双曲线的两个分支分别位于 第一、第三象限内2、在每个象限内y 随x 值的增大而减小 1、双曲线的两个分支分别位于 第二、第四象限内 2、在每个象限内y 随x 值的增大而增大共性①双曲线②关于原点成中心对称反比例函数概念与性质新知学习YXOXY1．函数解析式：（）2．自变量的取值范围：3．图象：（1）图象的形状：双曲线．越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．越小，图象的弯曲度越大．（2）图象的位置和性质：与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在D 双曲线的另一支上．4．k的几何意义如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．图1图25．说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论．（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称．（3）反比例函数与一次函数的联系．四、反比例函数解析式的确定求反比例函数的解析式的方法主要有三种：①待定系数法；②反比例函数k 的几何意义；③实际问题一、反比例函数的定义：【例1】 下列关于x 的函数中：①2y x =；②43y x -=；③ky x=；④22m y x +=中，一定是反比例函数的有( )A ．1个B. 2个C. 3个D. 4个【例2】 已知y=(m 2+2m)x 12-+m m 是关于x 的反比例函数，求m 的值及函数的解析式。
【练一练】如果函数222-+=k k kxy 是反比例函数，那么k=________，此函数的解析式是____ ____；【例3】 已知三角形的面积是定值S ，则三角形的高h 与底a 的函数关系式是h =__________,这时h 是a 的__________；【例4】 如果y 与x 成反比例，z 与y 成正比例，则z 与x 成____ ___；二、反比例函数的图像和性质【例5】 对于反比例函数xk y 2=(0≠k )，下列说法不正确的是（ ）A. 它的图象分布在第一、三象限B. 点（k ，k ）在它的图象上C. 它的图象是中心对称图形D. y 随x 的增大而增大【例6】 在反比例函数5k y x -=图象的每一支曲线上，y 都随x 的增大而减小，则k 的取值范围是 （ ）A ．k ＞5B ．k ＞0C ．k ＜5D ． k ＜0【例7】 若A （a 1，b 1），B （a 2，b 2）是反比例函数xy 2-=图象上的两个点，且a 1＜a 2，则b 1与b 2的大小关系是（ ）A ．b 1＜b 2B ．b 1 = b 2C ．b 1＞b 2D ．大小不确定【例8】 在反比例函数xy 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。
若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）A ．213y y y >>B ．123y y y >>C ．321y y y >>D ．231y y y >>【例9】 在反比例函数的图象上有两点(－1，y 1)，，则y 1－y 2的值是( )A 负数B 非正数C 正数D 不能确定基础演练【例10】 已知点A(－1，y 1)、B(2，y 2)都在双曲线y ＝ 3＋2mx上，且y 1＞y 2，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜0B ．m ＞0C ．m ＞－ 3 2D ．m ＜－ 32【练一练】如图，反比例函数ky x=的图象经过点A(-1,-2).则当x ＞1时，函数值y 的取值范围是（ ） A.y ＞1 B.0＜y ＜1 C. y ＞2 D.0＜ y ＜2【例11】 已知点p(1,a)在反比例函数(0)ky k x =≠的图像上，（其中a= m 2+2m+3为实数)则这个函数图像在第 象限。
【例12】 已知三角形的面积一定，则它底边a 上的高h 与底边a 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【例13】 如果函数222-+=k kkx y 的图像是双曲线，且在第二，四象限内，那么的k 值是多少？三、反比例函数系数k 的几何意义。
【例14】 如图，正方形ABOC 的边长为2，反比例函数ky x=的图象过点A ，则k 的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣4【例15】 如图,直线l 和双曲线(0)ky k x=>交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合）,过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E,连接OA 、OB 、OP,设△AOC 面积是S 1、△BOD 面积是S 2、△POE 面积是S 3、则（ ）A. S 1＜S 2＜S 3B. S 1>S 2>S 3C. S 1=S 2>S 3D. S 1=S 2<S 3【例16】 如图所示，A ，B 是函数y x=4的图像上两点，AB 通过原点且AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ）A. S ＝4B. S ＝8C. 48<<SD. S >8【例17】 如图，正方形OABC ，ADEF 的顶点A ，D ，C 在坐标轴上，点F 在AB 上，点B ，E 在函数y=1x（x>0）的图象上，则点E 的坐标是（ ）A ．（512+，512-） B ．（3535,22+-） C ．（512-，512+） D ．（3535,22-+）【例18】 如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上， 若四边形ABCD 的面积为矩形，则它的面积为 .【练一练】所示，A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）、C （3x ，3y ）是函数xy 1=的图象在第一象限分支上的三个点，且1x ＜2x ＜3x ，过A 、B 、C 三点分别作坐标轴的垂线，得矩形ADOH 、BEON 、CFOP ，它们的面积分别为S 1、S 2、S 3，则下列结论中正确的是（ ）A ．S 1<S 2<S 3B ．S 3 <S 2< S 1C ．S 2< S 3< S 1D ．S 1=S 2=S 3【例19】 如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数的()20y x x=≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为 .四、反比例函数解析式的确定【例20】 已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是（ ）A ．y=﹣B ． y=﹣C ． y=D ． y=【例21】 已知121,y y y y -=与x 成反比例，2y 与)2(-x 成正比例，并且当x =3时，y =5，当x =1时，y =-1；求y 与x 之间的函数关系式.【例22】 如图，点P 在反比例函数1y x =(x > 0)的图象上，且横坐标为2. 若将点P 先向右平移两个单位，再向上平移一个单位后所得的像为点P '.则在第一象限内，经过点P '的反比例函数图象的解析式是（ ）A ．)0(5>-=x x y B.)0(5>=x x y C. )0(6>-=x x y D. )0(6>=x x y【例23】 已知图中的曲线是反比例函数5m y x -=（m 为常数）图象的一支． （Ⅰ）这反比例函数图象的另一支在第几象限？常数m 的取值范围是什么？（Ⅱ）若该函数的图象与正比例函数2y x =的图象在第一象内限的交点为A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，当OAB △的面积为4时，求点A 的坐标及反比例函数的解析式．五、反比例函数与一次函数的结合【例24】 （宁安）函数y= kx与y=kx+b 在同一坐标系的图象大致是图中的（ ）【例25】 在平面直角坐标系xoy 中，直线y x =向上平移1个单位长度得到直线l ．直线l 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(2)A a ，，则k 的值等于 ． 【例26】 如果一次函数()的图像与反比例函数x m n y m n mx y -=≠+=30相交于点（221，），那么该直线与双曲线的另一个交点为_____________.【例27】 如图，在AOB Rt ∆中，点A 是直线m x y +=与双曲线xmy =在第一象限的交点，且2=∆AOB S ，则m 的值是_____.【例28】 如图，已知A(-4，2)、B(n ，-4)是一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数的图象的两个交点.(1) 求此反比例函数和一次函数的解析式；(2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x 的取值范围. (3)求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及△AOB 的面积；【题1】 下列函数中，y 是x 反比例函数的是（ ）（A ） 12+=x y （B ）22xy =（C ）x y 51=（D ）x y =2 【题2】 已知反比例函数的图象经过点(21)P -，，则这个函数的图象位于（ ） A ．第一、三象限 B ．第二、三象限 C ．第二、四象限D ．第三、四象限【题3】 若双曲线y=x k 12-的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是（ ）A.k ＞21 B. k ＜21 C. k=21D. 不存在 【题4】 若函数xm y 2+=的图象在其象限内y 的值随x 值的增大而增大，则m 的取值范围是（ ）A ．2->mB ．2-<mC ．2>mD ．2<m【题5】 如图，函数11y x =-和函数22y x=的图象相交于点M(2，m)，N(-1，n)，若12y y >，则x 的取值范围是（ ）A ．102x x <-<<或B ．12x x <->或C ．1002x x -<<<<或D ．102x x -<<>或【题6】 在同一直角坐标系中，函数y kx k =+与ky x =（0k ≠）的图象大致是图中的（ ）AOyxBOyxCOyxDOyxA BCD课后作业【题7】 如图，反比例函数xmy =的图象与一次函数b kx y -=的图象交于点M ，N ，已点M 的坐标为（1，3），点N 的纵坐标为－1，根据图象信息可得关于x 的方程xm=b kx -的解为（ ）A.－3,1B.－3,3C.－1,1D.3，-1【题8】 如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝2x（x ＞0）的图像上，顶点A 1、B 1分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝2x （x ＞0）的图象上，顶点A 3在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为【题9】 已知函数1mm y x-=是y 关于x 的反比例函数，求m 的值.【题10】 过反比例函数(0)ky k x =>的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段,如果垂线段与x 、y 轴所围成的矩形面积是6,那么该函数的表达式是______;若点A(-3,m)在这个反比例函数的图象上,则m=______.11【题11】 如图所示，点A 1，A 2，A 3在x 轴上，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3，分别过点A 1，A 2，A 3作y 轴的平行线，与反比例函数y =8x（x >0)的图象分别交于点B 1，B 2，B 3，分别过点B 1，B 2，B 3作x 轴的平行线，分别交y 轴于点C 1，C 2，C 3，连接OB 1，OB 2，OB 3，那么图中阴影部分的面积之和为 .C 1C 2C 3B 1B 2B 3A 3A 2A 1Oy=8x (x >0)xy【题12】 如图，已知双曲线ky x=（0x >）经过矩形OABC 的边AB BC ，的中点F E ，，且四边形OEBF 的面积为2，则k = ．【题13】 反比例函数21m y x -=的图象如图所示，1(1)A b -，，2(2)B b -，是该图象上的两点．（1）比较1b 与2b 的大小； （2）求m 的取值范围．y xOFAB EC。