例2 估计 的积分
解：设 ，则 ，
其次，假设 和 ，则 单调下降，并且有 。
于是，
其中 ， 。因此 。
例3 证明等式 。
证明：由第一积分中值定理可知
，
其中 位于 和 之间的某个值。
3.2 求含定积分的极限
例4 求极限
解：利用广义积分中值定理
则
3.3 确定积分号
例5确定积分 的符号
解：
由积分中值定理可知 其中 。
成立。
证明： 因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值M和最小值m,即 ，我们对不等式进行积可得
由积分性质可知
由于 ，对不等式同时除以 可得
。
此式表明 介于函数 的最大值 和最小值 之间。
由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间 上至少存在一点 ，使得函数 在点 处的值与这个数相等，即应该有
成立，这就证明了公式（2-2）
。
对于 是一般单调下降的情形，此时应用公式（2-4），同样可得到（2-2）式，此命题得证。
2. 积分中值定理的推广
2.1定积分中值定理的推广
定理（推广的定积分中值定理） ：如果函数 在闭区间 连续，则在开区间 至少存在一个点 ，使得下式
成立。
证明：作辅助函数 如下：
。
由于 在闭区间 连续，则 在 上可微，且有 成立。由微分中值定理可知：至少存在一点 ，使得 成立。并且有 ， ，此时即可得到下式
[关键词] 积分中值定理；推广； 应用
积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质出现在数学分析课程中的，它在数学分析的学习过程占有很重要的地位，并且对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我们就把积分中值定理及其应用清晰论述一下。
1、积分中值定理的证明
1.1 定积分中值定理
定理（定积分中值定理）：如果函数 在闭区间 上连续，则在区间 上至少存在一个点 ，使下式
积分中值定理的推广及应用
张艳丽
德州学院 2010级信息与计算科学
[摘要] 论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用，我们将它主要分为以下几个方面：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理的应用。我们讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二积分中值定理，而且还给出了这些定理的详细证明过程。在积分中值定理的推广方面，我们由最初的在闭区间 讨论函数 的积分中值定理情形转换为在开区间 上讨论函数 上的积分中值定理，这个变化对于解决一些实际的数学问题更为方便。对于应用，我们给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。
从而
因为 是非负的，并且在区间 上单调上升，即有 、 成立，所以有下式成立
。
即有 成立。从而可以得到 ，其中 满足 。由于函数 连续，则在 之间存在一点 ，使 成立，从而有公式（2-3）成立，即
成立，（2-3）式得证。
对于 单调下降且 的情形即公式（2-4）的证明过程是类似的，证明略。
对于 是一般单调上升情形，我们作辅助函数 ，其中 为单调上升且 ，此时公式（2-3）对于 是成立的，即存在 使
特别地，如果 在区间 上单调上升且 ，那么存在 ，使下式成立
（2-3）
如果 在区间 上单调下降且 ，那么存在 ，使下式成立
（2-4）
证明：由题设条件知 在区间 上都是可积的，由积分性质可知 也是可积的。我们先证明（2-3）式，即在 非负、且在区间
上单调上升的情形下加以证明。 对于（2-4）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明（2-2）式。
又 在 上不恒为0，则有 ，即 的符号为正号。
3.4 比较积分大小
例6比较积分 和 的大小
解：当 时， ，从而有 ，于是我们有 ，即 小于等于 。
3.5 证明函数的单调性
例7设函数 在 上连续，其中 ，试证：在 内，若 为非减函数，则 必为非增函数。
证明：利用分歩积分法，将 化为
对上式求导，可以得到： 。
，命题得证。
2.2定积分第一中值定理的推广
定理（推广的定积分第一中值定理）： 若函数 是闭区间 上可积函数， 在 上可积且不变号，则在开区间 上至少存在一点 ，使得 成立。
证明：由于函数 在闭区间 上是可积的， 在 上可积且不变号，令 ， ，很显然 在 上连续。并且 ， ， ， 。由柯西中值定理即可得到
在区间 上取一系列分点使 ，记 ，其中 为 在 上的幅度，即 ，再将所讨论的积分作如下改变：将积分限等分为如下 等份，并且记
， 。
则
，
因为 在 上可积，且区间 是有限的，所以 在 上有界，此时我们不妨假设 。
估计 如下：
由于 可积，所以当 时，有 ，从而有 ，从而可知
我们记 ，由于函数 在闭区间 上可积，那么函数 是 上的连续函数，并且有最大值和最小值 和 ，记为 ，很显然 ， ，
，
即 ， ，命题得证。
3.3 推广定积分第二中值定理
定理（推广定积分第二中值定理）： 如果函数 在闭区间 可积， 在区间 上可积且不变号，则在 上必存在一点 ，使得
成立。
证明过程详见参考文献[1]。
3积分中值定理的应用
3.1 估计积分值
例1估计 的积分
解：由于 ，
即 。于是
此时可得到估计的积分值为 。
成立。对上式在 上进行积分，可得
。
此时在 之间必存在数值 ，使得 ，即有
成立。
由于 在区间 上是连续的，则在 上必定存在一点 ，使 成立。此时即可得到
，
命题得证。
1.3 积分第二中值定理
定理（积分第二中值定理）：如果函数 在闭区间 上可积，而 在区间 上单调，则在 上至少存在一点 ，使下式成立
（2-2）
由积分中值定理，可得： 。
若 为非减函数，则有 成立，因此可以得阿贝尔判别法）如果 在 上可积， 单调有界，那么 收敛。
证明：由假设条件，利用第二中值定理，在任何一个区间 上（其中 ），存在 ，使得
，
成立，将上式两端乘以 即可得到
，
命题得证。
备注1：很显然，积分中值定理中公式
（ 在 与 之间）
不论 或 都是成立的。
1.2 积分第一中值定理
定理（第一积分中值定理）：如果函数 在闭区间 上连续， 在 上不变号，并且 在 上是可积的，则在 上至少存在一点 ，使得
成立。
证明：由于 在 上不变号，我们不妨假设 ，并且记 在 上的最大值和最小值为 和 ，即 ，将不等式两边同乘以 可知，此时对于任意的 都有