概率
2.1离散型随机变量及其分布列
一、离散型随机变量 在射击比赛中，选手击中靶上的圆形或环形区域内得分，得分值由靶心往外依次可记为：10环，9环，8环，…，1环，0环。
那么射击选手射击一次，可以出现的结果为：10环，9环，8环，…，1环，0环。
例如抛一枚硬币，所有可能的结果是：“正面向上”，“反面向上”。
1、 随机变量：在这些试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是
随着试验的结果的不同而变化的，我们把变量X 叫做一个随机变量。
随机变量常用大写字母X,Y …表示。
例如：设某射击选手每次射击所得的环数是X ，那么X 是一个随机变量。
X 的取值范围是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}。
例：100件产品中，含有5件次品，从中取出4件，那么可能出现的“次品件数”。
设X 是一个随机变量，X={ }。
练习1：写出下列各离散型随机变量可能取的值：
（1）从10张已编号的卡片（1—10号）中任取一张，被取出的卡片的号数； （2）抛掷一个骰子得到的点数；
（3）一个袋子里装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
练习2：把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得5分，出现两个反面得-3分，其他结果得0分，列表写出可能出现的结果与对应的分值。
2、离散型随机变量：如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量。
二、离散型随机变量的分布列
1、 离散型随机变量X 的概率分布（或离散型随机变量X 的分布列）
概率分布表需要列出： （1） X 所有可能的值；
（2） X 取每一个值的概率。
如下表：
X x1 x2 … xi … xn P
p1
p2
…
pi
…
pn
2、 离散型随机变量的分布列有下面两条性质：
（1） p i ≥0，i=1,2,3…. ，n ； （2） p 1+p 2+…+p n =1.
3、 两点分布：如果随机变量X 的分布列为 其中0<p<1,p+q=1，则称离散型随机变量X 服从参数
为p 的两点分布。
X 1 0 P
p
q
例1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列。
三、超几何分布
某校组织一次认识大自然夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，为了活动的需要，要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，那么其中恰有1名女生的概率有多大？采集标本的同学都是女生的概率有多大呢？
超几何分布：设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为
()(0,n )m n m M N M
n
N
C C P X m m l l M C --==≤≤为和中较小的一个
例1 在一个口袋中装30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同。
游戏者一次从中摸出5个球，摸到且只能摸到4个红球就中一等奖。
那么获一等奖的概率有多大？
例2 盒中有16个白球和4个黑球，从中任意取出3个，设X 表示其中黑球的个数，求出X 的分布列。
练习：一批产品共100件，次品率为4%，从中任意抽取10件检查，求抽得的次品数的分布列。
2.2条件概率与事件的独立性
一、条件概率
1、条件概率的定义：事件B 在“事件A 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的。
对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率。
用符号“()
P B A ”来表示。
2、条件概率的公式
()=
,0
P B P B A P P ⋂>（A ）
（A ）（A ）
例1 甲乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： （1）乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ （2）甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？
例2 设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少？
例3 一个家庭中有两个小孩，假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？
二、事件的独立性
问题：在大小均匀的5个鸡蛋中有3个红皮蛋，2个白皮蛋，每次取一个，有放回地取两次，求在已知第一次取到红皮蛋的条件下，第二次取到红皮蛋的概率。
1、 相互独立事件：事件A 是否发生对事件B 发生的概率没有影响，即
()=()
P B A P B ，这
时，我们称两个事件A 、B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件。
2、 相互独立事件的性质：两个相互独立事件都发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即()=P(A)()P A B P B ⋂
同理，如果事件A1，A2，…，An 相互独立，那么这n 个事件都发生的概率，等于每个
事件发生的概率的积， 即
1212()=P(A )()()n n P A A A P A P A ⋂⋂⋂⨯⨯⨯
例1 甲乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算 （1） 两人都投中的概率
（2） 其中恰有一人投中的概率 （3） 至少有一人投中的概率。