高2015级高二下期线性规划和不等式集训试题
3月2日星期天下午2:30高二十班教室（带必修5）
1、设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪-≤⎩
，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）
A ．6-
B ．4-
C ．2
D ． 答案：B
2、设变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ，则目标函数x y z 32-=的最大值为( )
A ．-3
B ．2
C ．4
D ．5
【答案】C
3、点(x ，y )满足⎩⎨⎧
x ＋y －1≥0，
x －y ＋1≥0，
x ≤a ，
若目标函数z ＝x －2y 的最大值为1，则实数a 的值是
( )
A ．1
B ．－1
C ．－3
D ．3
选A 由题意可知，目标函数经过点(a,1－a )时达到最大值1，即a －2(1－a )＝1，解得a ＝1.
C 5、设0,0
x y x y +≥⎧⎨
-≥⎩与抛物线2
4y x =-的准线围成的三角形区域（包含边界）为D ，)
,(y x P 为D 的一个动点，则目标函数2z x y =-的最大值为( )
A. 1-
B. 0
C. 2
D. 3
6、若不等式组0
3434
x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨
⎪+≤⎩，
所表示的平面区域被直线4
3y kx =+ 分为面积相等的两部分，则k 的值是（ B ）A 、73 B 、37 C 、43 D 、3
4
7、已知2z x y =+，x y ，满足2y x
x y x m ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是
（ ）
A ．
14
B ．
15
C ．
16 D ．17
考点：简单线性规划
8、已知变量x,y 满足约束条件221x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
,若2x y a +≥恒成立,则实数a 的取值围为
（ ）
A ．(-∞,-1]
B ．(-∞,2]
C ．(-∞,3]
D ．[-1,3]
【答案】A
9、已知点()y x P ,的坐标满足条件⎪⎩
⎪⎨⎧>-+≤≤0222
1y x y x ，那么()22
1y x ++的取值围为（ ） A. []8,2 B. (]8,2 C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡8,516 D. ⎥⎦
⎤
⎝⎛8,516
10、如果实数,x y满足不等式组
1,
10,
220,
x
x y
x y
≥
⎧
⎪
-+≤
⎨
⎪--≤
⎩
则22
x y
+的最小值是( )
A．25 B．5 C．4 D．1
【答案】B
11、在平面区域01,
01
x
y
≤≤
⎧
⎨
≤≤
⎩
任取一点(,)
P x y，若(,)
x y满足2x y b
+≤的概率大于1
4
，则b的取值围是( )
（A）(,2)
-∞（B）(0,2)（C）(1,3)（D）(1,)
+∞
【答案】D
【解析】
12、设R
∈
n
m,,若直线0
1
:=
-
+ny
mx
l与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且坐标原点O到直线的距离为3,则AOB
∆的面积S的最小值为( )
A.
2
1 B.
2 C.
3 D.4
二、填空题
13、已知点(3,3)A ,O 为坐标原点,点(,)P x y 满足303200
x y x y y ⎧-≤⎪⎪
-+≥⎨⎪≥⎪⎩
,则||OA OP Z OA ⋅=的最
大值是___________
【答案】3
14、若在区域34000x y y x +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
任取一点P ，则点P 落在单位圆22
1x y +=的概率是_______
答案：
15、在圆22(2)(2)4x y -+-=任取一点，则该点恰好在区域2502303x y x y x +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≤⎩
的概率为＿＿
＿
答案：1
2π
16、设x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-0
004402y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大
值为6的最小值为 .
答案：2
17、已知函数)2ln()(2++=x x x f 满足f(2-a)=f(b),a>0,b>0.则b
a 11+ 的最小值为 。
18、若直线()200,0ax by a b -+=>>被圆222410x y x y ++-+=截得的弦长为
4，则
11
a b
+的最小值是 。
19、)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是___)5 _____
20、设D 为不等式组⎩⎨⎧
x ≥0，
2x －y ≤0，
x ＋y －3≤0
所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间
的距离的最小值为________
．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1
＝255，故最小距离为25
5.
21、在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎨⎧
2x －y －2≥0，
x ＋2y －1≥0，
3x ＋y －8≤0
所表示的区域上一
动点，则直线OM 斜率的最小值为________．
(2)(2013·北京改编)设关于x 、y 的不等式组⎩⎨⎧
2x －y ＋1>0，
x ＋m <0，
y －m >0
表示的平面区域存在
点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值围是________．
答案 (1)－13 (2)⎝
⎛
⎭⎪⎫－∞，－23
解析(1)由
⎩
⎨
⎧x＋2y－1＝0，
3x＋y－8＝0
得A(3，－1)．
此时线OM的斜率最小，且为－
1
3.
(2)当m≥0时，若平面区域存在，则平面区域的点在第二象限，平面区域不可能存在
点P(x0，y0)满足x0－2y0＝2，因此m<0.
如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．
要使可行域包含y＝
1
2
x－1上的点，只需可行域边界点(－m，
m)在直线y＝
1
2
x－1的下方即可，即m<－
1
2
m－1，解得
22、已知点A(2，－2)，点P(x，y)在
⎩
⎨
⎧x－y＋1≥0，
x＋y＋1≥0，
2x－y－1≤0
所表示的平面区域，则OP→在OA→方向上投影的取值围是________．
答案[－
2
2，
2
2]
解析不等式组表示的平面区域，如图所示：
由向量投影的几何意义知，当点P与点D重合时投影最大，当点P与点B或点C重合时投影最小．
又C(－1,0)，D(0，－1)，
∴OC→＝(－1,0)，OD→＝(0，－1)，
∴OD→在OA→方向上的投影为
OD→·OA→
|OA→|
＝
2
2，
OC →在OA →
方向上的投影为
OC →·OA
→
|OA →|
＝－
22
， 故OP →在OA →
方向上投影的取值围是[－22，22
]． 23、已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧
x －2y ＋3≥0，x －3y ＋3≤0，
y －1≤0，
若目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)
处取到最大值，则实数a 的取值围为________．
答案 ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞
解析 如图所示，在坐标平面画出不等式组表示的平面区域 及直线y －ax ＝0，要使目标函数z ＝y －ax 仅在点(－3,0)处取到
最大值(即直线z ＝y －ax 仅当经过该平面区域的点(－3,0)时， 在y 轴上的截距达到最大)， 结合图形可知a >12
.
24． 已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧
y ≥0，
y －x ＋1≤0，
y －2x ＋4≥0，
若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解(x ，y )有
无数个，则a 的值为________． 答案 1
25、将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪
≥⎨⎪≥⎩
所构成的三角形区域，则该
质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是 ．
考点：1.简单的线性规划；2.几何概。