(1)确定性. (2)互异性. (3)无序性.
一、选择题
1.已知集合 A 由满足 x<1 的数 x 构成，则有( )
A.3∈A B.1∈A C.0∈A D.－1∉ A
2.下列关系正确的个数为( )
① 2∈Q；②0∈N*；③|－3.14|∈R；④－2∈Q. 3
A.1 B.2 C.3 D.4 3.现有以下说法，其中正确的是( )
a∈A，b∈A，则元素 a，b 有什么关系？为什么？
答案 ①高一(10)班是 A 中的元素，高二(6)班不是 A 中的元素.
②a≠b，这是因为集合 A 中的元素具有互异性.
知识点四 常用数集及表示符号
名称 自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或 N＋
Z
Q
R
1.y＝x＋1 上所有点构成集合 A，则点(1,2)∈A.( )
§1.1 集 合
1.1.1 集合的含义与表示 第 1 课时 集合的含义
学习目标 1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关 系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法.
知识点一 元素与集合的概念
1.把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母 a，b，c，…表示.
A.－1∉ A C.3k2－1∈A
B.－11∈A D.－34∉ A
8.已知集合 A 中的元素 x 满足 2x＋a>0，a∈R，若 1∉ A,2∈A，则( )
A.a>－4
B.a≤－2
5
C.－4<a<－2
D.－4<a≤－2
二、填空题
9.在方程 x2－4x＋4＝0 的解集中，有________个元素.
10.集合 A 中的元素 x 满足 6 ∈N，x∈N，则集合 A 中的元素为________. 3－x
a
3
[素养评析] (1)判断或证明元素和集合关系的两种方法 ①直接法
a.使用前提：集合中的元素是直接给出的. b.判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现. ②推理法 a.使用前提：对于某些不便直接表示的集合. b.判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征. (2)掌握推理基本形式和规则，探索和表达论证过程，体现了逻辑推理的数学核心素养.
6
①1∈R；② 2∉ Q；③|－3|∉ N；④|－ 3|∈Q；⑤0∉ N，其中正确的个数为( ) 2
A.1 B.2 C.3 D.4
反思感悟 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如 N，R，Q，概念要清 晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件. 跟踪训练 2 给出下列命题：
中元素相同，求 a，b 的值.
根据已知元素与集合的循环关系推理 典例 设 A 是某实数集合，满足若 a∈A，则 1 ∈A，a≠1，且 1∉ A.
1－a (1)若 2∈A，则集合 A 中至少还有几个元素？求出这几个元素； (2)集合 A 中能否只含有一个元素？请说明理由； (3)若 a∈A，证明：1－1∈A.
1.下列给出的对象中，能组成集合的是( ) A.一切很大的数 B.好心人 C.漂亮的小女孩 D.方程 x2－1＝0 的实数根
2.下列结论中，不正确的是( )
A.若 a∈N，则1∉ N a
B.若 a∈Z，则 a2∈Z
C.若 a∈Q，则|a|∈Q
3 D.若 a∈R，则 a∈R
3.若一个集合中的三个元素 a，b，c 是△ABC 的三边长，则此三角形一定不是( )
5.设集合 M 是由不小于 2 3的数组成的集合，a＝ 11，则下列关系中正确的是( )
A.a∈M B.a∉ M C.a＝M D.a≠M
6.已知 x，y 为非零实数，代数式 x ＋ y 的值所组成的集合是 M，则下列判断正确的是( ) |x| |y|
A.0∉ M
B.1∈M
C.－2∉ M
D.2∈M
7.已知 A 中元素 x 满足 x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是( )
①N 中最小的元素是 1；②若 a∈N，则－a∉ N；③若 a∈N，b∈N，则 a＋b 的最小值是 2. 其中所有正确命题的个数是( ) A例 3 已知集合 A 有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合 B 也有三个元素：0,1，x. (1)若－3∈A，求 a 的值； (2)若 x2∈B，求实数 x 的值； (3)是否存在实数 a，x，使集合 A 与集合 B 中元素相同.
2.把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母 A，B，C，…表示.
知识点二 元素与集合的关系
元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉ .
知识点三 元素的三个特性
元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性.
思考 某中学 2019 级高一年级 20 个班构成一个集合 A，①高一(10)班、高二(6)班是集合 A 中的元素吗？②若
反思感悟 元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集 合元素相同，则其中的元素不一定按顺序对应相等. 元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等.
跟踪训练 3 已知集合 M 中含有三个元素：a，b，1，集合 N 中含有三个元素：a2，a＋b,0，若集合 M 与集合 N a
11.已知集合 P 中元素 x 满足：x∈N，且 2＜x＜a，又集合 P 中恰有三个元素，则整数 a＝________.
三、解答题 12.已知集合 A 是由 a－2,2a2＋5a,12 三个元素组成，且－3∈A，求实数 a 的值.
13.设 x∈R，集合 A 中含有三个元素 3，x，x2－2x. (1)求实数 x 应满足的条件； (2)若－2∈A，求实数 x 的值.
14.已知集合 A 中有 3 个元素 a，b，c，由其中任意 2 个不同元素的和组成的集合中的元素是 1,2,3.则集合 A 中 的任意 2 个不同元素的差的绝对值组成的集合中的元素是________.
15.设 P，Q 为两个数集，P 中含有 0,2,5 三个元素，Q 中含有 1,2,6 三个元素，定义集合 P＋Q 中的元素是 a＋b， 其中 a∈P，b∈Q，求 P＋Q 中元素的个数.
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
4.由“book 中的字母”构成的集合中元素的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知集合 A 是由 0，m，m2－3m＋2 三个元素组成的集合，且 2∈A，则实数 m 的值为( )
A.2
B.3
C.0 或 3
D.0,2,3 均可
4
1.考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个 体是否属于这个总体.如果有，能构成集合；如果没有，就不能构成集合. 2.元素 a 与集合 A 之间只有两种关系：a∈A，a∉ A. 3.集合中元素的三个特性
1
2.某班所有的“帅哥”构成一个集合.( )
3.由方程 x2－4＝0 或 x－2＝0 的根组成的集合中有 3 个元素.(
)
4.元素 0,1,2 和元素 2,1,0 组成的集合不是同一个集合.( )
题型一 对集合含义的理解 例 1 考察下列每组对象能否构成一个集合.
(1)不超过 20 的非负数； (2)方程 x2－9＝0 在实数范围内的解； (3)某班的所有高个子同学； (4) 3的近似值的全体.
反思感悟 判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都 能按此标准确定它是不是给定集合的元素. 跟踪训练 1 下列各组对象可以组成集合的是( )
A.中国著名科学家 B.小于 8 的所有素数 C.平面直角坐标系内第一象限的一些点 D.所有小的正数
题型二 元素与集合的关系 例 2 给出下列关系：
①接近于 0 的数的全体构成一个集合；
②正方体的全体构成一个集合；
③未来世界的高科技产品构成一个集合；
④不大于 3 的所有自然数构成一个集合.
A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 4.设 A 是方程 2x2＋ax＋2＝0 的解集，且 2∈A，则实数 a 的值为( )
A.－5 B.－4 C.4 D.5