图1 单摆受力分析 单摆测量重力加速度实验的误差分析
吉恒
（云南省通海县第二中学，云南，玉溪 652701）
单摆实验是普通物理的基本实验之一, 同时也是必做实验之一。

其原理简单、易懂，原则上只要在同一地点进行实验，都应得到相同结果，但在实际操作过程中一些不可避免的因素会影响实验结果的精确度。

为提高实验的精确度，减小各种不可避免因素给实验结果带来的影响，本文从以下几方面着手对此实验进行分析和研究。

首先，对摆角进行分析，因为随摆角大小的变化，摆遵循的运动规律是不一样的。

在实验原理中，一般是把它理想化地当作简谐运动来处理，让其满足简谐运动的运动方程，然后来求解其周期公式，事实上这是有条件限制的。

因此本文采用了增维精细积分的方法来讨论单摆在什么样的摆角情况下才能够做线性动力学分析，也就是单摆满足简谐运动运动规律的摆角范围。

其次，单摆摆长的测量也是引起实验误差的原因之一。

本文就单摆摆长的不同测量方法带来的B 类标准不确定度（由实验仪器的精确度引进）进行计算、分析、比较，以选取最佳测量方法。

1．单摆测量重力加速度的实验原理
如图1所示，单摆就是用一根不可伸长的轻线悬挂一个小球, 使其可绕摆的支点O 做摆动, 当小球作摆角很小的摆动时就是一个单摆。

设小球的质量为m , 其质心到支点o 的距离为l (摆长) 。

建立自然坐标系，根据受力分析，作用在小球上的切向力的大小为θsin mg ,方向总指向平衡点o ', 当θ
很小时, 有θθ≈sin , 此时切向力的大小近似为θmg 。

法向，绳的张力和重力的分力相平衡。

根据牛顿第二 运动定律,质点动力学方程为： t ma mg θ=- 因22dt d l a t θ=，代入上式得 22d g dt l θθ=- （1） 上式即为单摆的运动微分方程。

对上式移项得到
022=+θθl g dt
d 若令
20ω=l
g （2） 则有 02022=+θωθdt
d 其解为
()αωθ+=t A 0cos （3）
式中A 与α是待定常数。

由于单摆运动的周期性，应有
()[]αωθ++=T t A 0cos
即
()αωωθ++=T t A 00cos
又因余弦函数的周期为π2，故πω20=T
02ωπ
=T
将式（2）代入得
g
l T π
2= （4） 或
22
4l g T π= （5） 实验时,若只测量一个时间周期，则测量误差相对较大, 因此一般采用测量连续摆
动n 个周期的时间t, 此时（5）式变为： 222
4t l n g π= （6） 以上为基本实验原理，理想情况（即忽略复摆，空气阻力，空气浮力等因素对实
验的影响）下只要在同一地点进行实验，都应得到相同结果，但在实际操作过程
中一些不可避免的因素会影响实验结果的精度。

2.实验改进
摆角范围讨论
在上述实验原理中，谈到当摆角很小时，可将θsin 近似为θ处理，但未确切说明
到底要多小；同时对θ角增大了又是怎样的情况也没有考虑进来。

因此，若要建
立单摆模型，让单摆摆动起来，摆角范围的大小就是首要解决的问题。

记
p =θ& （7）
则单摆非线性动力学方程变为:
θsin l g p -=& （8）
根据增维思想,通过一维变量1≡x 和0≡x &的引入, 可将式（8）写成矩阵形式的齐
次状态方程:
⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧x p l g x p θθθsin 0
0000010&&& （9）
记
][T
x p V &&&&θ=，][T x p V θ=，⎥⎥⎥⎦
⎤-⎢⎢⎢⎣⎡=000sin 00010θl g H 于是式（8）简写为
HV V =&
根据矩阵分析理论, 其解为
0V e V Ht = （10）
其中,0V 为初始状态向量,V 为任意时刻的状态向量。

为得解的递推表达式, 将时间轴等分为N 段, 即N j j t t t t t t ΛΛ,,,,,,1210+
时间步长为
j j t t t -=∆+1
则由j t 时刻的状态向量j V , 可求1+j t 时刻的状态向量1+j V 。

即
j
t H j V e V ∆+=1 （11） 其中指数矩阵t H e ∆采用高精度、高效率的精细积分法。

以上是采用高精度、高效率的增维精细积分推导出的求解单摆非线性动力摆角和
摆速（取摆角初始速度都为零）的迭推公式。

通过单摆线性动力响应与非线性动
力响应的对比分析,得出了能简化为线性动力问题的最大摆角值及最大摆角和摆
长对非线性动力问题摆角相位、摆速相位的变化规律,即当初始摆角小于o
100=θ时, 采用非线性动力方程求解的摆角时程曲线、摆角速度时程曲线分别与同一问
题线性动力方程求得的摆角时程曲线、摆角速度时程曲线几乎完全重合, 达到同
一周期两者间的相位差很小, 可以忽略不计。

但是当初始摆角超过o 100=θ后, 随
着初始摆角的增大, 采用非线性动力方程求得的摆角、摆角速度达到某一平衡位
置所需的时间分别比采用线性动力方程所得的摆角、摆角速度达到同一周期平衡
位置所需的时间越来越长。

因此, 当初始摆角大于o 100=θ后,不能采用简化的线
性动力方程来求解单摆动力响应, 否则所得结果与实际存在较大的差距, 而应采
用非线性动力方程求解。

所以，若要采用简谐运动方程来求解单摆周期公式，实
验中单摆的摆角应该小于o 10，误差也才能因此而减小。

换言之，只有在单摆摆动的角度小于10o 的情况下，单摆的微分方程才可表示为
式（1）的形式，才可求解得 g
l T π2= （12） 相应地，重力加速度的表达式为22
4T l g π=。

此即为实验原理中介绍的周期公式和重力加速度公式的来由。

摆长的测量方法选择
在测量摆长的过程中，方法选择的不同，误差的来源以及传递就不同，引起的误
差大也就不一样。

在选用的长度测量工具都为米尺和游标卡尺的情况下（即仪器
的精确度等级相同，其极限误差值Δ相同），测量方法对由实验仪器引入的B
类标准不确定度)(B U 的影响是不同的。

实验中用毫米刻度的米尺测量摆线长度，用游标卡尺测量摆球直径，其中米尺的
极限误差为Δ= 0.1mm ，游标卡尺的极限误差为Δ= 0.02mm 摆长的测量方法一
般如下三种。

如图2所示，1l 为支点到摆球上端的距离，2l 为支点到摆球下端的距离，D 为摆
球的直径。

方法1：
()2/21l l l +=
其B 类标准不确定度为：
()mm B U 0408.0)321
.0()321
.0(22=+= 方法2： 2
1d l l += 图2 单摆摆长B 类标准不确定度为：
()mm B U 0954.0)3202
.0()31
.0(22=+=
方法3：
2
2d l l -= B 类标准不确定度为：
()mm B U 0954.0)3202
.0()31
.0(22=+=
显然，选择第一种测量方法由实验仪器而引入的B 类标准不确定度是最小的，即此种测量方法给实验结果带来的误差相比较而言最小，也就是说实验值最接近真实值，所以为提高实验精确度应采用第一种测量方法。