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思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)垂直于同一条直线的两条直线平行. ( ) (2)垂直于同一条直线的两条直线垂直. ( ) (3)垂直于同一个平面的两条直线平行. ( ) (4)垂直于同一条直线的直线和平面平行. ( ) (5)如果两个平面垂直,且经过第一个平面内一点作一条直线垂直于 第二个平面,那么该直线一定在第一个平面内. ( )
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探究一
探究二
探究三
变式训练2 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面 ABCD,侧棱PA⊥PD,底面ABCD是直角梯形,其中 BC∥AD,∠BAD=90°.求证:平面PAB⊥平面PCD.
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探究一
探究二
探究三
探究三垂直关系的综合问题 【例3】
如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,PA⊥平面ABC,过点A作AE⊥PB于点 E.求证:AE⊥PC.
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2.若平面α⊥平面β,且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条 直线b,则( ) A.直线a必垂直于平面β B.直线b必垂直于平面α C.直线a不一定垂直于平面β D.过a的平面与过b的平面垂直
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解析:如图(1)所示,a⫋α,a⊥b,但a与β不垂直,故A错C对;如图(2)所 示,a⫋α,a⊥b,这时b与α不垂直,故B错,容易判断D项也错.
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探究一
探究二
探究三
变式训练3 如图(1)所示,在直角梯形ABCD 中,∠ADC=90°,CD∥AB,AB=4,AD=CD=2.将△ADC沿AC折起,使平 面ADC⊥平面ABC,得到几何体D-ABC,如图(2)所示.
求证:BC⊥平面ACD.
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1.若直线l⊥平面α,直线m⫋平面α,则l,m的位置关系是 ( ) A.相交 B.异面C.平行 D.垂直 答案:D
如图所示,正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相 垂直,AF∥BE,AF⊥EF,AF=EF= 1 BE.求证:EA⊥平面ABCD.
2
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证明:设AF=EF=a,则BE=2a. 过A作AM⊥BE于点M.
∵AF∥BE,∴AM⊥AF. 又AF⊥EF,∴AM∥EF. ∴四边形AMEF是正方形. ∴AM=a,EM=MB=a, ∴AE=AB= √2a. ∴AE2+AB2=EB2,∴AE⊥AB.
热身：已知正方体ABCD-A1B1C1D1， 求证:BD1 ⊥平面A1C1 D.
第1与平面垂直、平面
与平面垂直的性质定理.
2.能运用两个性质定理解决
相关问题.
3.理解线线垂直、线面垂直、
面面垂直的内在联系,能运用
这些关系解决有关垂直的综
合问题.
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又平面ABCD⊥平面ABEF, 平面ABCD∩平面ABEF=AB,
AE⫋平面ABEF,∴EA⊥平面ABCD.
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感谢您的欣赏！
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如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且 EF⊥A1D,EF⊥AC. 求证:EF∥BD1.
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探究一
探究二
探究三
探究二面面垂直的性质定理及其应用 【例2】
如图所示,AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一 点,平面PAC⊥平面ABC.
(1)判断BC与平面PAC的位置关系,并证明; (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系.
答案:C
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3.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面,若PC⊥BD,则平行
四边形ABCD一定是
.
解析:由PA⊥平面ABCD,得PA⊥BD.又PC⊥BD,PA∩PC=P,所以
BD⊥平面PAC.
于是BD⊥AC,故ABCD一定为菱形.
答案:菱形
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4.
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
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探究一
探究二
探究三
探究一线面垂直的性质定理及其应用 【例1】
如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中 点,MN⊥平面A1DC.
求证:MN∥AD1.
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探究一
探究二
变式训练1
探究三
1.直线与平面垂直的性质定理
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做一做1 如下图所示,在四棱锥S-ABCD中,底面四边形ABCD是 平行四边形,SC⊥平面ABCD,E为SA的中点.
求证:平面EBD⊥平面ABCD.
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2.平面与平面垂直的性质定理
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做一做2 下列说法中错误的是( ) A.如果α⊥β,那么α内的所有直线都垂直β B.如果一条直线垂直于一个平面,那么此直线必垂直于这个平面 内的所有直线 C.如果一个平面通过另一个平面的垂线,那么两个平面互相垂直 D.如果α不垂直于β,那么α内一定不存在垂直于β的直线 解析:根据两平面垂直的性质定理,可知A错误,故选A. 答案:A