可证得 ≌ ，
， ，
，
作 于点N，
由已知 ， ，
可证得 ， ，
，
，
，
≌ ，
， ，
，
是等腰直角三角形，
点M是DF的中点，
则 是等腰直角三角形，
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质的应用，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大．
2．如图，Rt△ABC≌Rt△CED（∠ACB＝∠CDE＝90°），点D在BC上，AB与CE相交于点F
(1)如图1，直接写出AB与CE的位置关系
(2)如图2，连接AD交CE于点G，在BC的延长线上截取CH＝DB，射线HG交AB于K，求证：HK＝BK
【答案】（1）AB⊥CE；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）由全等可得∠ECD=∠A，再由∠B+∠A=90°，可得∠B+ECD=90°，则AB⊥CE.
（2）延长HK于DE交于H，易得△ACD为等腰直角三角形，∠ADC=45°，易得DH=DE，然后证明△DGH≌△DGE，所以∠H=∠E，则∠H=∠B，可得HK=BK.
【分析】
（1）根据P点的运动速度可得BP的长，再利用BC的长减去BP的长即可得到PC的长；
（2）先根据三角形全等的条件得出当BP=CP，列方程求解即得；
（3）先分两种情况：当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ；或当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP，然后分别列方程计算出t的值，进而计算出v的值．
【详解】
解：（1）∵Rt△ABC≌Rt△CED，
∴∠ECD=∠A，∠B=∠E，BC=DE，AC=CD
∵∠B+∠A=90°
∴∠B+ECD=90°
∴∠BFC=90°，∴AB⊥CE
（2）在Rt△ACD中，AC=CD，∴∠ADC=45°，
又∵∠CDE=90°，∴∠HDG=∠CDG=45°
∵CH＝DB，∴CH+CD=DB+CD，即HD=BC，
八年级数学期中精选试卷培优测试卷
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图1所示，已知点 在 上， 和 都是等腰直角三角形，点 为 的中点.
（1）求证： 为等腰直角三角形；
（2）将 绕点 逆时针旋转 ，如图2所示，（1）中的“ 为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由；
（3）将 绕点 逆时针旋转一定的角度，如图3所示，（1）中的“ 为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由.
，
解得 ，
综上所述，存在 或 使得△ACP与△BPQ全等．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用．
4．如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm，BC=12 cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．
（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)
（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．
（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， 或
【解析】
（1）如图①， ， ，若点 的运动速度与点 的运动速度相等，当 时， 与 是否全等，请说明理由，并判断此时线段 和线段 的位置关系；
（2）如图②，将图①中的“ ， ”为改“ ”，其他条件不变．设点 的运动速度为 ，是否存在实数 ，使得 与 全等？若存在，求出相应的 、 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在， 或
【解析】
【分析】
（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．
【详解】
解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，
∴DH=DE，
在△DGH和△DGE中，
∴△DGH≌△DGE（SAS）
∴∠H=∠E
又∵∠B=∠E
∴∠H=∠B，
∴HK=BK
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，利用全等找出角相等，再利用等角对等边判定线段相等是本题的关键.
3．已知 ， .点 在 上以 的速度由点 向点 运动，同时点 在 上由点 向点 运动，它们运动的时间为 ．
【详解】
证明： 和 都是等腰直角三角形，
，
点M为EC的中点，
， ，
， ， ，
， ，
，
同理 ，
是等腰直角三角形．
解：如图2， 是等腰直角三角形，
理由是：延长ED交AC于F，
和 是等腰直角三角形，
，
，
，
为EC中点，
，
， ，
，
， ，
，
，
在 和 中
≌ ，
，
，
是等腰直角三角形．
是等腰直角三角形，
理由是：过点C作 ，与DM的延长线交于点F，连接BF，
又∠A=∠B=90°，
在△ACP和△BPQ中，
，
∴△ACP≌△BPQ（SAS）．
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．
∴∠CPQ=90°，
即线段PC与线段PQ垂直．
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
，
解得 ，
②若△ACP≌△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，∵∴∵∴解得∴
∵
∴
解得 ．
综上所述，当 或 时， 与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定及性质和矩形的性质，解题关键是将动态情况化为某一状态情况，并以这一状态为等量关系建立方程求解．
【答案】（1）详见解析；（2）是，证明详见解析；（3）成立，证明详见解析.
【解析】
【分析】
根据等腰直角三角形的性质得出 ， ，推出 ， ， ，推出 ， ，求出 即可．
延长ED交AC于F，求出 ， ， ，根据ASA推出 ≌ ，推出 即可．
过点C作 ，与DM的延长线交于点F，连接BF，推出 ≌ ，求出 ， ，作 于点N，证 ≌ ，推出 ， ，求出 ，即可得出答案．
【详解】
解：（1）当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时
∵
∴
故答案为：
（2）∵
∴
∴
解得 ．
（3）存在，理由如下：
①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ，
∴PC=AB=5
∴BP=BC-PC=12-5=7
∵
∴2t=7
解得t=3.5
∴CQ=BP=7，则3.5v=7
解得 ．
②当 ， 时，