第2章一维随机变量 习题2一. 填空题：1.设 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 是 (){}x P x F ≤=ξ， 则 用 F (x) 表 示 概 {}0x P =ξ = __________。

解：()()000--x F x F2.设 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 为 ()()+∞<<∞-+=x arctgx x F π121 则 P{ 0<ξ<1} = ____14_____。

解： P{ 0<ξ<1} = =-)0(F )1(F 143.设 ξ 服 从 参 数 为 λ 的 泊 松 分 布 ， 且 已 知 P{ ξ = 2 } = P{ ξ = 3 }，则 P{ ξ = 3 }= ___2783e - 或 3.375e -3____。

4.设 某 离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 律 是 {}⋅⋅⋅===,2,1,0,!k k C k P Kλξ，常 数 λ>0， 则 C 的 值 应 是 ___ e -λ_____。

解：{}λλλλξ-∞=∞=∞==⇒=⇒=⇒=⇒==∑∑∑e C Ce k C k Ck P KK KK K 11!1!105 设 随 机 变 量 ξ 的 分 布 律 是 {}4,3,2,1,21=⎪⎭⎫⎝⎛==k A k P kξ则⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<2521ξP = 0.8 。

解：()A A k P k 161516181412141=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++==∑=ξ 令15161A = 得 A =1615()()212521=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛<<ξξξp p P 8.041211516=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=6.若 定 义 分 布 函 数 (){}x P x F ≤=ξ， 则 函 数 F(x)是 某 一 随 机 变 量 ξ 的 分 布 函 数 的 充 要 条 件 是F ( x ) 单 调 不 减 ， 函 数 F (x) 右 连 续 ， 且 F (- ∞ ) = 0 ， F ( + ∞ ) = 17. 随机变量) ,a (N ~2σξ，记{}σ<-ξ=σa P )(g ，则随着σ的增大，g()σ之值 保 持 不 变 。

8. 设 ξ ~ N ( 1， 1 )，记ξ 的概率密度为 ϕ( x ) ，分布函数为 F ( x )，则{}{}=≥=≤11ξξP P 0.5 。

9、分别用随机变量表示下列事件(1)观察某电话总机每分钟内收到的呼唤次数，试用随机变量表示事件 .“收到呼唤3次”}{3=X ，“收到呼唤次数不多于6次”}{}{k X X k ==≤=606(2)抽查一批产品，任取一件检查其长度，试用随机变量表示事件. “长度等于10cm ” = }{10=X ；“长度在10cm 到10.1cm 之间” = }.{11010≤≤X(3)检查产品5件，设A 为至少有一件次品，B 为次品不少于两件，试用随机变量表示事件AB ,B A ,B ,B ,A .解: }{}{0===X A 没有次品}{}{2<==X B 次品少于两件 }{}{2≥==X B 次品不少于两件}{}{1≥==X B A 至少有一件次品 }{}{2<==X AB 次品数不到两件10 、一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5，在袋中同时取3只，以x 表示取出的3只球中的最大号码，则X 的分布律为:·13·二. 计算题：1、将一颗骰子抛掷两次，以1X 表示两次所得点数之和，以2X 表示两次中得到的小的点数，试分别写出21,X X 的分布律.2、设在15只同类型的零件中有2只次品，在其中取3次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数.求X 的分布律；.3、(1)设随机变量X 的分布律为：0,,2,1,0k ,!k a }k X {P k>λ=λ== 为常数，试确定常数a .解: 因∑∑∑∞=∞=∞==λ=λ==0k kk 0k 0k 1!k a !k a }k X {P 1ae =⇒λ, 故 λ-=e a (2)设随机变量X 的分布律为：N ,,2,1k ,Na}k X {P ===，试确定常数a .1a 1N 1aN N1a N a }k X {P N1k N1k N1k =⇒=⨯====∑∑∑=== 4、飞机上载有3枚对空导弹，若每枚导弹命中率为0.6，发射一枚导弹如果击中敌机则停止，如果未击中则再发射第二枚，再未击中再发射第三枚，求发射导弹数的分布律.X12 35、汽车需要通过有4盏红绿信号灯的道路才能到达目的地。

设汽车在每盏红绿灯前通过(即遇到绿灯)的概率都是0.6；停止前进(即遇到红灯)的概率为0.4，求汽车首次停止前进(即遇到红灯，或到达目的地)时，已通过的信号灯的分布律.解：汽车在停止前进时已通过的信号灯数是一个随机变量，用x 表示x 可取值为0,1,2,3,4，又设A 的表示事件：{汽车将通过时第i 盏信号灯开绿灯}，4,3,2,1=n由题意4.0)(,6.0)(==n n A P A P}0{=x 表示{已通过的信号灯数是0(即第一盏信号灯是红灯)},故4.0}(}0{1===A P x P }1{=x 表示{已通过的信号灯数是1(即第一盏信号灯是绿灯，而第二盏是红灯),故4.06.0)()()(}1{2121⨯====A P A P A A P x P .同理4.06.0)()()()(}2{2321321⨯====A P A P A P A A A P x P 4.06.0)()()()()(}3{343214321⨯====A P A P A P A P A A A A P x P 4432143216.0)()()()()(}4{====A P A P A P A P A A A A P x P于是x 的分布律为⎪⎩⎪⎨⎧==⨯==4k ,6.03,2,1,0k ,4.06.0}k x {P 4k即6、自动生产线调整以后出现废品的机率为p ，生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求两次调整之间生产的合格品数的分布律.7、一大楼内装有5个同类型的供水设备。

调查表明在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻：·15·(1)恰有两个设备被使用的概率是多少？ 0729.0)9.0()1.0(}2{3225===C x P(2)至少有3个设备被使用的概率是多少？00856.0)9.0()1.0(9.0)1.0()9.0()1.0(}3{05554452335=++=≥C C C x P(3)至多有3个设备被使用的概率是多少？99954.0])1.0(9.0)1.0([1}3{1)3{555445=+-=>-=≤C C x P x P(4)至少有1个设备被使用的概率是多少？40951.0)9.0()1.0(1}1{5005=-=≥C x P8、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生不少于3次时，指示灯发出信号，(1)进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率. (2)进行7次独立试验，求指示灯发出信号的概率.解：(1)P {5次独立试验,指示灯发出信号}=163.0)3.0(7.0)3.0()7.0()3.0(5554452335=++C C C(2)P {7次独立试验,指示灯发出信号}353.0)7.0()3.0()6.0(3.0)7.0()3.0(152276177007=++-=C C C9、设某批电子管正品率为43，次品率为41，现对这批电子管进行测试，只要测得一个正品，管子就不再继续测试，试求测试次数的分布律.解：解：设测试次数为x ，则随机变量x 的可能取值为： ,3,2,1，当k x =时，相当于{前1-k次测得的都是次品管子，而第k 次测得的是正品管子}的事件，43)41(}{1-==k k X P ，),2,1( =k10、每次射击命中率为0.2，必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的命中率，(1)不小于0.9？ (2)不小于0.99？解：已知n 次独立射击中至少击中一次的概率为nn P )8.0(1)2.01(1-=--=；(1)要使9.0)8.0(1≥-=n P ，必须3.108.0lg 1.0lg ≈≥n ，即射击次数必须不小于11=n 次. (2)要使99.0)8.0(1≥-=n P ，必须64.208.0lg 01.0lg ≈≥n ，即射击次数必须不小于21=n 次 11、电话站为300个用户服务，在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，试用泊松定理近似计算，在一小时内有4个用户使用电话的概率.解：由二项分布得kn k k n q p C k x P -==}{29644300)99.0()01.0(}4{C x P ==现用泊松定理近似计算，301.0,300==∴==np p n λ ,故168.0!43}4{34=≈=-e x P12、某一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆汽车在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001，在某天的该段时间内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少？ (利用泊松定理计算)解：设x 为发生事故的次数，则k k k C k x P -==10001000)9999.0()0001.0(}{用泊松定理计算，1.00001.01000=⨯=np00468.01.01}1{}0{1}2{1.01.0=--==-=-=>--e e x P x P x P13设X 服从泊松分布，且已知}2{}1{===X P X P ，求}4{=X P解：!}{k e k x P k λλ-==，由}2{}1{===x P x P ，得!2!12λλλλ--=e e ，)0,0(0,2>===λλλλ因为舍去 0903.0!42}4{24===-e x P14、. 求离 散 型 随 机 变 量 ξ 的 分 布 律 为 ()kb k P λξ==， ( k = 1， 2， …)， 的充 分 必 要 条 件。

解：由≥1()kb k P λξ==0≥·17·且()1k P 1k ==ξ∑∞= b 1b 1b b b 0k k 1k k+=λ⇔+=λ+⇔∑∑∞=∞=bb 111+=λ-⇔⇔ λ=+11b 且 b > 015 设ξ服从参数λ = 1的指数分布 ，求方程 4x 2 + 4ξx + ξ + 2 = 0无实根的概率 。

解：0)2(16162<+ξ-ξ=∆ 知 21<ξ<- 故220x e 1dx e }21{P ---==<ξ<-⎰16. 已 知 连 续 型 随 机 变 量 ξ 的 概 率 密 度 为 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+= x B Ax x 031)( 且 知 ξ在 区 间 ( 2，3 )内 取 值 的 概 率 是 在 区 间 ( 1，2 ) 内 取 值 的 概 率 的 二 倍 ，试 确 定 常 数 A ，B 。