QLL ˆˆ K ˆˆ QXL
T
QLX ˆ ˆ F QXX ˆ ˆ K
平差值函数的中误差
ˆˆ ˆ 0 Q ˆˆ
（9-3-5）
9-4 各种平差方法的共性与特性
平差共性
先建立数学模型（包括函数模型和数学模型）；
函数模型解都不唯一，即都有无穷多组解；
3 3
（9-2-6）
B K C Ks 0
解基础方程，并整理得法方程：
N aa K B x ˆ W 0
cc c1 cu u1 T c1 c1
B
uc
T
K C
c1 us s1
Ks 0
s1 s1
（9-2-7）
ˆ Wx 0 Cx
su u1
解法方程，得：
1 1 T 1 1 ˆ ( Nbb x Nbb C N cc CN bb )We 1 ˆ) V QAT N aa (W Bx 1 1 1 T （N aa AQAT , Nbb BT N aa B,We BT N aa W , N cc CN bb C )
前三种类型的条件方程统称为“一般条件方程”，后一种
二、参数与平差方法的关系
参数个数 U
U=0 条件平差
U=t 间接平差
u<t 附有参数的 条件平差
ut
附有限制条件的 间接平差
函数模型
ˆ) 0 F (L
函数模型 ˆ F(X ˆ) L
函数模型
函数模型
函数模型
ˆ F(X ˆ) L ˆ)0 ( X
（9-3-1）
二、协因数阵的计算（见下表）
三、平差值函数的中误差 设有平差值函数：
ˆ ( L ˆ, X ˆ)
（9-3-2）
平差值函数的权函数式
ˆ d F
T
ˆ dL K ˆ dX
T
（9-3-3） （9-3-4）
平差值函数的协因数阵
T Q ˆˆ F
采用最小二乘原理，得到唯一解； 不论采用哪种函数模型，最后平差结果(平差值和精度)不变！
特性：
各种方法有其各自的优点和特点，实际中，根据不同的平差
问题选择不同的方法；
目前采用较多的是间接平差和附有限制条件的间接平差；
原因是：
（1） 误差方程形式统一，规律性强，便于程序设计； （2）一般所选参数就是平差问题所需要的最后结果(包括精度)。
则条件方程式为:
1 0 1 1 1 1 0 5 1 0 0 0 V 1 0 x ˆ 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 ˆ6 0 1 1 x
ˆ L ˆ P3点高程平差值函数式: ˆ HA L 1 2
N aa BT 0
0 K W x ˆ 0 0 0 CT C 0 Ks Wx B
（9-2-10）
9-3 精度评定
一、单位权方差的估值公式
T T V PV V PV 2 ˆ0 r c u s
概括平差函数模型的线性形式为：
ˆ W 0 AV B x ˆ Wx 0 Cx
cn n1 cu u1 c1 c1 su u1 s1 s1
（9-2-1）
随机模型为： 平差准则：
2 2 D 0Q 0 P nn nn nn
1
（9-2-2）
V PV min
T
（9-2-3）
ˆ BX ˆ A 0 AL 0 ˆ W 0 CX
x
附有限制条件的条件平差
U=0 条件平差
U=t 间接平差
u<t 附有参数的条件平差
u t 附有限制条件的间接平差
函数模型
B 0，C 0 ˆ A0 0 AL
函数模型
函数模型
C 0 ˆ BX ˆ A0 0 AL
函数模型
ˆ, X ˆ)0 F (L
三、概括平差函数模型
B 4 3 5 C
t=4,
n=6 ， r=2
1 A 2
6 D
当 U=0，函数模型个数r个。 U=4（独立）;函数模型个数r+4（n)个。 U=3（2、1）（独立）;函数模型个数r+3个 U=5（6、…）（4个需独立）;函数模型个数r+5 故可得出，函数模型总个数为：(n+u-t)个。
解算得:
K 0.333 1.543 1.533 ˆ 1.21 4.80 x
T
T
V 1.20 0.50 0.50 2.40 2.40
T
平差值计算:
T ˆ X0 x ˆ 119.9888 39.9888 X
ˆ L V 5.8612 L
二、基础方程及其解 按条件极值法组成新函数：
T ˆ W ) 2K s ˆ Wx ) V T PV 2 K T ( AV Bx (Cx
（9-2-4）
对V和x取偏导数并令其为零：
2V T P 2 K T A 0 V T 2 K T B 2 K s C 0 ˆ x
35.5305 44.4695 50.7806 35.0806
T
精度评定:
V T PV 7.527
T V PV 2 ˆ0 ˆ 0 1.94mm 3.76(mm)2 , r Qˆ 1.550 2 2 2 ˆH ˆ ˆ H 2.41(mm) Q 5.83( mm ) , ˆ ˆ 0
附有限制条件的条件平差原理。
9-1 基本平差方法的概括函数模型
一、一般条件方程和限制条件方程 四种基本平差方法的函数模型，包含了以下几种类型：
ˆ) 0 F (L ˆ F(X ˆ) L ˆ, X ˆ)0 F (L
（9-1-1）
ˆ)0 ( X
类型称为“限制条件方程”。
（9-1-2）
P1 h1
h2
P3 A h5 P4 h4 P2 h3
解题思路：
1)t=3，n=5，r=2， 2)如选P1，P2点高程为参数,u=2， 3)应列立C=2+2=4个条件式； 4)其中一个限制条件方程，3个一般条件方程。
取:
X 10 H A L1 119.990m
0 X2 H A L4 L5 39.984m
（9-1-3）
上式称为“附有限制条件的条件平差”函数模型。
思考：
当所选的参数不一定要求独立时两种类型的条件式各为几个？与 什么有关系？
可见：
一个平差问题，对于参数的选择有两种选择，即：可选、也
可不选。
而选了参数，对参数是否独立也有两种选择，即：独立、或
不独立。
思考：
1）选择不同方式的参数，各代表何种平差方 法？ 2）其对应哪种函数模型？
第九章
概括平差函数模型
本章内容包括：
§9-1 §9-2 §9-3 基本平差方法的概括函数模型 附有限制条件的条件平差原理 精度评定§Βιβλιοθήκη -4各种平差方法的共性和特性
本章学习内容包括：
基本平差方法的概括函数模型；
附有限制条件的条件平差原理；
精度评定；
各种平差方法共性与特性
重点和难点
各种平差方法特性总结；
由此可断定：
函数模型的个数总是等于多余观测数与所选参数个数之和！ C=r+U
思考：
如果所选的参数不一定要求独立，函数模型的个数以 及函数模型的类型又会怎样？
如果：当U=4（不独立）时，则仍应列2+4个条件式，包括一
般条件式和限制条件式。 其函数模型为：
ˆ，X） F （L 0 ˆ） （X 0
转置后得：
nn
pV
T uc

n1
AT K
nc c1
0 0
（9-2-5）
B K
c1
C
us
T
Ks
s1
则基础方程为：
ˆ W 0 AV B x ˆ Wx 0 Cx
cn n1 cu u1 c1 c1 su u1 s1 s1 nn n1 T
pV AT K 0
nc c1 T uc c1 us s1
（9-2-8）
计算最后平差值：
ˆ L V L ˆ X0 x ˆ X
（9-2-9）
法方程:
N aa K B x ˆ W 0
cc c1 cu u1 c1 c1
TK K C s 0 B T
uc c1 us s1 u1
ˆ Wx 0 Cx
su u1 s1 s1
可写直接求解:
结论：
一般条件方程个数c与限制条件方程的个数s之和，必须等于多 余观测数r与所选参数个数u之和！
即：
c s r u
（9-1-4）
思考：
1）如果多列了或者少列了条件方程会对平差有什么样的影响？ 2）一般条件式个数、限制条件式个数如何来确定？
9-2 附有限制条件的条件平差原理
一、数学模型
取 则:
2 0 4.0
Q diag 1 1.5 1.5 2.0 2.0
法方程:
8 1 4 0 0 0 k1 5 0 k 1 0 1 0 0 2 4 0 1 0 k3 0 0 ˆ1 0 0 0 1 x 对 ˆ2 0 称 0 1 x 0 ks 6
函数模型
A I ˆ BX ˆ d L ˆ A0 0 CX
也就是说，概括模型可以概括其它各种平差的函数模型。
例：设有工程施工放样时的水准网，如图，已知
HA=125.850m，P1、P2两点间的已知高差为-80.00m， 观测高差为： L=[-5.860 -35.531 -44.470 50.783 35.083]T(m) 观测值的方差阵为：DL=diag(4 6 6 8 8) • 试以附有限制条件的条件平差求P1、P2点高程的平差值、 以及中误差。(习题集：P82）