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岩石力学与工程岩石本构关系与强度理论


其蠕变曲线和弹性后效曲线,如图3-15所示。
蠕变曲线
0 k2
0 k1
弹性后效
0
t1
t
图3-15 广义开尔文体蠕变曲线和卸载曲线
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3.4.4.5 饱依丁-汤姆逊体(PTh:H/M)
一、力学模型 k1,1
k2 , 2
图3-16 饱依丁-汤姆逊体力学模型
二、本构方程
本模型是由马克斯威尔体与虎克体并联而成,由并 联规则:
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3.4.4 组合流变模型
三种基本元件进行组合时应力、应变的计算规则:
1.串联组合体中各元件的应力相等;应变等于各元件应 变之和。 2.并联组合体中各元件的应变相等;应力等于各元件应 力之和。
5.4.4.1 圣维南体(St.V:H-C)
一、力学模型
图3-5 圣维南体力学模型
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y
x
21
xy E xy
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4
4.边界条件
(1)位移边界条件
us us,vs vs
(2)应力边界条件
l x m yx s f x s
m y
l xy
s
f y s
(3)混合边界条件
(在 su上)
(在 s 上)
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3.4 岩石流变理论
3.4.1概念
四、卸载方程
0
k
kt
1 e
在t t1 时卸载,即 0,代入本构方程:
k 0
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解上述微分方程可得:
kt
A1e
当t t1 时, 1 ,结合蠕变方程,可得卸载方程 :
0
k
k
e
t1
kt 1 e

k
1e
t1
t
由上两式 可得如下曲线
图3-10 开尔文体蠕变曲线和弹性后效曲线
解此微分方程,代入初始条件,得蠕变方程:
1
0t
0
k
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四、松弛方程
当保持 不变时,则有 0 ,因此本构方程可变为:
1 1 0 k
解此方程,代入初始条件,可得松弛方程:
kt
0e
五、松弛时间

t1
k
,则上式可变为:
t
当t=t1时
0e t1
0e1 0.37 0
定义:规定应力降到初始应力的37%时,所需要的 时间为松弛时间。
0
k2
0 k1 k2
0
t
图3-17饱依丁-汤姆逊体蠕变曲线
四、卸载方程(弹性后效)
若本模型在受恒载 0 的t t1时刻突然卸载,此时产生
的蠕变应变为:
1
0
k2
1
k1
k1 k2
e
k1k2 k1 k2
t1
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为了研究模型卸载后应变变化情况,因此令此时刻
为零时刻,即 t 0 ,并且有 0 ,根据本构方
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二、本构方程
s ,
k
s ,
本构图形
图3-6 圣维南体本构关系示意图
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三、卸载特性
如在某一时刻卸载,使 0 ,则弹性变形全部
恢复,塑性变形停止,但已发生的塑性变形永久 保留。
四、圣维南体的特性
1.代表理想弹塑性体,它无蠕变,无松弛也无弹 性后效。
2.本构关系与时间t无关,故不属于流变模型,但 它是复合体模型中常见的一个组成部分。
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六、马克斯威尔体的特性
1.具有瞬时变形,并随着时间增长应变逐渐增大, 即具有等速蠕变的性质;
2.当应变恒定时,应力随时间的增长而逐渐减小, 即马克斯威尔体模型具有松弛效应。
图3-8 马克斯威尔体的蠕变曲线和松弛曲线
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3.4.4.3 开尔文体(K:H/N)
3 岩石本构关系与强度理论
3.1 概念
一、本构关系
本构关系是指材料在受力过程中的“应力—应变” 关系。
1.弹性本构关系 即当岩石在外载荷作用下,岩石变形处于弹性变形 阶段时的本构关系。
2.塑性本构关系 即当岩石在外载荷作用下,岩石变形处于塑性变形 阶段时的本构关系。
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1
3.流变本构关系 如果岩石在外载荷不变的条件下,岩石的应变或应 力还随时间而变化,则称该岩石具有流变性,此时 的本构关系称为岩石的流变本构关系。
程可得:
k1
k2
k1k2
0
解上式微分方程可得:
e
k1k2 k1 k2
t
1
从上式可以看出:当t 0 时的应变 1 ;当 t
时, 0 。应力在 t t1时刻就已经为零了,而应变
则需要更长时间才能回零,因而,本模型具有弹性
后效性质。
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图3-4 牛顿流体力学模型及其动态
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3.本构方程
d 或
dt
将(5-13)式积分,得:
1t C
式中:C——积分常数,当时,C=0,则:
1t
4.牛顿体的性质
(1)从上式可以看出,当t=0时,ε=0。当应力为 0 时,完成其相应的应变需要时间 t1 ,说明应变与时 间有关,牛顿体无瞬时变形。
物理方程或本构方程
结合边界条件
应力场解 位移场解
1.平衡微分方程
x
x
yx
y
fx
0
xy
x
y
y
fy
0
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3
2.几何方程
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
3.物理方程(弹性本构关系)
x
12
E
x
1
y
y
12
E
y
1
x
21
xy
E xy
x
1 E
x
y
y
1 E
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(2)当 0 时,即 0 ,积分后得 常数 ,表明
除去外力后应变为常数,活塞的位移立即停止,不 再恢复,只有再受到相应的压力时,活塞才回到原 位。所以牛顿体无弹性后效,有永久形变。
(3)当应变 常数 时, 0,说明当应变保持 某一恒定值后,应力为零,即无应力松弛性能。
e
k,2 t 可应用叠加法,所以广义开尔
文体在恒定应力作用下的蠕变方程为:
0
k1
0
k2
k2 t
1 e
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四、弹性后效(卸载效应)
如果在 t1
时刻卸载,虎克体产生的弹性变形
0 k1
立即
恢复,但是开尔文体的变形则需要经过较长时间才
能恢复到零,其卸载方程和开尔文体的卸载方程相
类似,只是 用 2 代替即可。
一、流变性 研究岩石在流变过程中的应力、应变和时间的 关系。主要是通过应力、应变和时间组成的流 变方程来表示。
二、流变方程 主要包括本构方程、蠕变方程和松弛方程。
1.经验方程法
根据岩石蠕变试验结果,由数理统计学的回 归拟合方法建立的方程。通常形式为:
t 0 1 t 2 t 3 t
2.微分方程法
所以
2
k1k22Fra bibliotek 1k1
k1
k1
k2
化简上式可得广义开尔文体本构方程:
k1
1
k2 k1
k2
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三、蠕变方程
在恒定载荷
作用下,由于广义开尔文体由弹簧和
0
开尔文体两部分组成,其蠕变也是由两部分组成。
对于弹簧有瞬时变形
0
k1
,对于开尔文体,其蠕变方
程为
0
k2
1
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3.4.4.2马克斯威尔体(M:H-N)
一、力学模型
图3-7 马克斯威尔体力学模型
二、本构方程
由串联关系可得: 1 2
1 2
由于
1
1 k
2
1
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所以本构方程为:
1 1 k
三、蠕变方程
在恒定载荷
可化简为:
作用下,
0则
d
dt
0
,其本构方程
1
0
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三、蠕变的三个阶段
如图3-1中的abcd曲线所示,
ε
蠕变过程可分为三个阶段:
A
1.第一蠕变阶段:如曲线中ab段
d
c
B
所示,应变速率随时间增加而减 b
a
小,故称为减速蠕变阶段或初始
C
蠕变阶段;
0
t
图3-1 岩石蠕变曲线
2.第二蠕变阶段:如曲线中bc段所示,应变速率保持不
变,故称为等速蠕变阶段;
3.第三蠕变阶段:如曲线中cd段所示,应变速率迅速增 加直到岩石破坏,故称为加速蠕变阶段。
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四、岩石的长期强度
当岩石的应力超过某一临界值时,蠕变向不 稳定蠕变发展;当岩石的应力小于该临界值 时,蠕变按稳定蠕变发展。通常称此临界应 力为岩石的长期强度。
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3.4.2 流变模型理论
6.弹性后效:是加载或卸载时,弹性应变滞后 于应力的现象。
7.粘性流动:即蠕变一段时间后卸载,部分应 变永久不恢复的现象。
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二、研究蠕变的意义
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