2020年黑龙江省绥化市中考数学试卷一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B 铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑1．（3分）化简|√2−3|的结果正确的是（ ）A ．√2−3B ．−√2−3C ．√2+3D ．3−√22．（3分）两个长方体按图示方式摆放，其主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（3分）下列计算正确的是（ ）A ．b 2•b 3＝b 6B ．（a 2）3＝a 6C ．﹣a 2÷a ＝aD ．（a 3）2•a ＝a 64．（3分）下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（3分）下列等式成立的是（ ）A ．√16=±4B ．√−83=2C ．﹣a √1a =√−aD ．−√64=−86．（3分）“十•一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x 辆，37座客车y 辆．根据题意，得（ ）A ．{x +y =1049x +37y =466B ．{x +y =1037x +49y =466C ．{x +y =46649x +37y =10D ．{x +y =46637x +49y =10 7．（3分）如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 分别是BC 、CD 两边上的点，不能保证△ABE和△ADF 一定全等的条件是（ ）A ．∠BAF ＝∠DAEB ．EC ＝FC C ．AE ＝AFD ．BE ＝DF8．（3分）在一个不透明的袋子中装有黑球m 个、白球n 个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是（ ）A ．3m+nB ．3m+n+3C ．m+n m+n+3D ．m+n 39．（3分）将抛物线y ＝2（x ﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ）A ．y ＝2（x ﹣6）2B ．y ＝2（x ﹣6）2+4C ．y ＝2x 2D ．y ＝2x 2+410．（3分）如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 的中线，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，延长DE 至点F ，使EF ＝DE ，连接AF ，CF ，点G 在线段CF 上，连接EG ，且∠CDE +∠EGC ＝180°，FG ＝2，GC ＝3．下列结论：①DE =12BC ；②四边形DBCF 是平行四边形；③EF ＝EG ；④BC ＝2√5．其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内11．（3分）新型冠状病毒蔓延全球，截至北京时间2020年6月20日，全球新冠肺炎累计确诊病例超过8500000例，数字8500000用科学记数法表示为 ．12．（3分）甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为90分，方差分别为S甲2＝0.70，S 乙2＝0.73，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 同学．13．（3分）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程y （km ）与行驶时间x （h ）的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是 km /h ．14．（3分）因式分解：m 3n 2﹣m ＝ ．15．（3分）已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 度．16．（3分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ﹣AC ＝2，BC ＝8，则AB 的长是 ．17．（3分）在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，若点A 的坐标为（2，4），则其对应点A 1的坐标是 ．18．（3分）在函数y =√x−3√x+11x−5中，自变量x 的取值范围是 ． 19．（3分）如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，点P 为DÊ上一点（点P 与点D ，点E 不重合），连接PC 、PD ，DG ⊥PC ，垂足为G ，∠PDG 等于 度．20．（3分）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x 个，可列方程 ．21．（3分）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是．三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内22．（6分）（1）如图，已知线段AB和点O，利用直尺和圆规作△ABC，使点O是△ABC 的内心（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在所画的△ABC中，若∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径是．23．（6分）如图，热气球位于观测塔P的北偏西50°方向，距离观测塔100km的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P的南偏西37°方向的B处，这时，B处距离观测塔P有多远？（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．）24．（6分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，点B，点O 均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）．（1）作点A关于点O的对称点A1；（2）连接A1B，将线段A1B绕点A1顺时针旋转90°得点B对应点B1，画出旋转后的线段A1B1；（3）连接AB1，求出四边形ABA1B1的面积．25．（6分）为了解本校九年级学生体育测试项目“400米跑”的训练情况，体育教师在2019年1﹣5月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为：A，B，C，D四个等级，并绘制如图两幅统计图根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）月份测试的学生人数最少，月份测试的学生中男生、女生人数相等；（2）求扇形统计图中D等级人数占5月份测试人数的百分比；（3）若该校2019年5月份九年级在校学生有600名，请你估计出测试成绩是A等级的学生人数．26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG＝∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．（1）求证：直线BG与⊙O相切；（2）若BEOD =54，求EFAC的值．27．（7分）如图，在矩形OABC 中，AB ＝2，BC ＝4，点D 是边AB 的中点，反比例函数y 1=k x（x ＞0）的图象经过点D ，交BC 边于点E ，直线DE 的解析式为y 2＝mx +n （m ≠0）． （1）求反比例函数y 1=k x （x ＞0）的解析式和直线DE 的解析式；（2）在y 轴上找一点P ，使△PDE 的周长最小，求出此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，△PDE 的周长最小值是 ．28．（9分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点G 在边BC 上，连接AG ，作DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F ，连接BE 、DF ，设∠EDF ＝α，∠EBF ＝β，BG BC =k ．（1）求证：AE ＝BF ；（2）求证：tan α＝k •tan β；（3）若点G 从点B 沿BC 边运动至点C 停止，求点E ，F 所经过的路径与边AB 围成的图形的面积．29．（10分）如图1，抛物线y=−12（x+2）2+6与抛物线y1＝﹣x2+12tx+t﹣2相交y轴于点C，抛物线y1与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线y2＝kx+3交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且OC＝ON．（1）求抛物线y1的解析式与k的值；（2）抛物线y1的对称轴交x轴于点D，连接AC，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，求出DE的长；（3）如图2，过抛物线y1上的动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2＝kx+3于点Q，若点Q'是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q'落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．2020年黑龙江省绥化市中考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）请在答题卡上用2B铅笔将你的选项所对应的大写字母涂黑1．（3分）化简|√2−3|的结果正确的是（）A．√2−3B．−√2−3C．√2+3D．3−√2【解答】解：∵√2−3＜0，∴|√2−3|=−(√2−3)=3−√2．故选：D．2．（3分）两个长方体按图示方式摆放，其主视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从正面看有两层，底层是一个矩形，上层是一个长度较小的矩形．故选：C．3．（3分）下列计算正确的是（）A．b2•b3＝b6B．（a2）3＝a6C．﹣a2÷a＝a D．（a3）2•a＝a6【解答】解：A．b2•b3＝b5，故本选项不合题意；B．（a2）3＝a6，故本选项符合题意；C．﹣a2÷a＝﹣a，故本选项不合题意；D．（a3）2•a＝a7，故本选项不合题意．故选：B．4．（3分）下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；D 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：C ．5．（3分）下列等式成立的是（ ）A ．√16=±4B ．√−83=2C ．﹣a √1a =√−aD ．−√64=−8【解答】解：A .√16=4，故本选项不合题意；B .√−83=−2，故本选项不合题意；C .−a √1a =−√a ，故本选项不合题意；D .−√64=−8，故本选项符合题意．故选：D ．6．（3分）“十•一”国庆期间，学校组织466名八年级学生参加社会实践活动，现己准备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满，设49座客车x 辆，37座客车y 辆．根据题意，得（ ）A ．{x +y =1049x +37y =466B ．{x +y =1037x +49y =466C ．{x +y =46649x +37y =10D ．{x +y =46637x +49y =10 【解答】解：依题意，得：{x +y =1049x +37y =466． 故选：A ．7．（3分）如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 分别是BC 、CD 两边上的点，不能保证△ABE和△ADF 一定全等的条件是（ ）A．∠BAF＝∠DAE B．EC＝FC C．AE＝AF D．BE＝DF【解答】解：A．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ADF（AAS），故选项A不符合题意；B..∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝BD，∵EC＝FC，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），故选项B不符合题意；C..∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵AE＝AF，∴△ABE和△ADF只满足两边和一边的对角相等，两个三角形不一定全等，故选项C符合题意；D..∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D，∵BE＝DE，∴△ABE≌△ADF（SAS），故选项D不符合题意．故选：C．8．（3分）在一个不透明的袋子中装有黑球m个、白球n个、红球3个，除颜色外无其它差别，任意摸出一个球是红球的概率是（）A．3m+n B．3m+n+3C．m+nm+n+3D．m+n3【解答】解：∵袋子中一共有（m+n+3）个小球，其中红球有3个，∴任意摸出一个球是红球的概率是3m+n+3，故选：B．9．（3分）将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）A．y＝2（x﹣6）2B．y＝2（x﹣6）2+4C．y＝2x2D．y＝2x2+4【解答】解：将将抛物线y＝2（x﹣3）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y＝2（x﹣3+3）2+2，即y＝2x2+2；再向下平移2个单位为：y＝2x2+2﹣2，即y＝2x2．故选：C．10．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB的中线，过点D作DE⊥AC于点E，延长DE至点F，使EF＝DE，连接AF，CF，点G在线段CF上，连接EG，且∠CDE+∠EGC＝180°，FG＝2，GC＝3．下列结论：①DE=12BC；②四边形DBCF是平行四边形；③EF＝EG；④BC＝2√5．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解；∵CD为斜边AB的中线，∴AD＝BD，∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∵DE ⊥AC ， ∴DE ∥BC ，∴DE 是△ABC 的中位线， ∴AE ＝CE ，DE =12BC ；①正确； ∵EF ＝DE ， ∴DF ＝BC ，∴四边形DBCF 是平行四边形；②正确； ∴CF ∥BD ，CF ＝BD ，∵∠ACB ＝90°，CD 为斜边AB 的中线， ∴CD =12AB ＝BD ， ∴CF ＝CD ， ∴∠CFE ＝∠CDE ，∵∠CDE +∠EGC ＝180°，∠EGF +∠EGC ＝180°， ∴∠CDE ＝∠EGF ， ∴∠CFE ＝∠EGF ， ∴EF ＝EG ，③正确； 作EH ⊥FG 于H ，如图所示：则∠EHF ＝∠CHE ＝90°，∠HEF +∠EFH ＝∠HEF +∠CEH ＝90°，FH ＝GH =12FG ＝1， ∴∠EFH ＝∠CEH ，CH ＝GC +GH ＝3+1＝4， ∴△EFH ∽△CEH ， ∴EH CH=FH EH，∴EH 2＝CH ×FH ＝4×1＝4， ∴EH ＝2，∴EF =√FH 2+EH 2=√12+22=√5，∴BC ＝2DE ＝2EF ＝2√5，④正确； 故选：D ．二、填空题（本题共11个小题，每小题3分，共33分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内11．（3分）新型冠状病毒蔓延全球，截至北京时间2020年6月20日，全球新冠肺炎累计确诊病例超过8500000例，数字8500000用科学记数法表示为 8.5×106 ． 【解答】解：数字8500000用科学记数法表示为8.5×106， 故答案为：8.5×106．12．（3分）甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为90分，方差分别为S 甲2＝0.70，S 乙2＝0.73，甲、乙两位同学成绩较稳定的是 甲 同学． 【解答】解：∵S 甲2＝0.70，S 乙2＝0.73， ∴S 甲2＜S 乙2，∴甲、乙两位同学成绩较稳定的是甲同学， 故答案为：甲．13．（3分）黑龙江省某企业用货车向乡镇运送农用物资，行驶2小时后，天空突然下起大雨，影响车辆行驶速度，货车行驶的路程y （km ）与行驶时间x （h ）的函数关系如图所示，2小时后货车的速度是 65 km /h ．【解答】解：由图象可得：货车行驶的路程y （km ）与行驶时间x （h ）的函数关系为y ＝78x （x ≤2），和x ＞2时设其解析式为：y ＝kx +b ，把（2，156）和（3，221）代入解析式，可得：{2k +b =1563k +b =221，解得：{k =65b =26，所以解析式为：y ＝65x +26（x ＞2）， 所以2小时后货车的速度是65km /h ， 故答案为：65．14．（3分）因式分解：m 3n 2﹣m ＝ m （mn +1）（mn ﹣1） ． 【解答】解：m 3n 2﹣m ＝m （m 2n 2﹣1） ＝m （mn +1）（mn ﹣1）． 故答案为：m （mn +1）（mn ﹣1）．15．（3分）已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 100 度．【解答】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n °， 根据题意得2π•2.5=nπ×9180，解得n ＝100， 即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为100°． 故答案为：100．16．（3分）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ﹣AC ＝2，BC ＝8，则AB 的长是 17 ． 【解答】解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ﹣AC ＝2，BC ＝8， ∴AC 2+BC 2＝AB 2， 即（AB ﹣2）2+82＝AB 2， 解得AB ＝17． 故答案为：17．17．（3分）在平面直角坐标系中，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O的位似图形，若点A 的坐标为（2，4），则其对应点A 1的坐标是 （4，8）或（﹣4，﹣8） ．【解答】解：∵△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比等于12，并且是关于原点O 的位似图形，而点A 的坐标为（2，4），∴点A 对应点A 1的坐标为（2×2，2×4）或（﹣2×2，﹣2×4）， 即（4，8）或（﹣4，﹣8）． 故答案为（4，8）或（﹣4，﹣8）． 18．（3分）在函数y =√x−3√x+11x−5中，自变量x 的取值范围是 x ≥3且x ≠5 ． 【解答】解：由题可得，{x −3≥0x +1＞0x −5≠0，解得{x ≥3x ＞−1x ≠5，∴自变量x 的取值范围是x ≥3且x ≠5， 故答案为：x ≥3且x ≠5．19．（3分）如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O ，点P 为DE ̂上一点（点P 与点D ，点E 不重合），连接PC 、PD ，DG ⊥PC ，垂足为G ，∠PDG 等于 54 度．【解答】解：连接OC 、OD ，如图所示： ∵ABCDE 是正五边形， ∴∠COD =360°5=72°， ∴∠CPD =12∠COD ＝36°， ∵DG ⊥PC ， ∴∠PGD ＝90°，∴∠PDG ＝90°﹣∠CPD ＝90°﹣36°＝54°， 故答案为：54．20．（3分）某工厂计划加工一批零件240个，实际每天加工零件的个数是原计划的1.5倍，结果比原计划少用2天．设原计划每天加工零件x 个，可列方程240x−2401.5x=2 ．【解答】解：设原计划每天加工零件x 个，则实际每天加工零件1.5x 个， 依题意，得：240x−2401.5x=2．故答案为：240x−2401.5x=2．21．（3分）如图各图形是由大小相同的黑点组成，图1中有2个点，图2中有7个点，图3中有14个点，…，按此规律，第10个图中黑点的个数是 119 ．【解答】解：∵图1中黑点的个数2×1×（1+1）÷2+（1﹣1）＝2， 图2中黑点的个数2×2×（1+2）÷2+（2﹣1）＝7， 图3中黑点的个数2×3×（1+3）÷2+（3﹣1）＝14， ……∴第n 个图形中黑点的个数为2n （n +1）÷2+（n ﹣1）＝n 2+2n ﹣1， ∴第10个图形中黑点的个数为102+2×10﹣1＝119． 故答案为：119．三、解答题（本题共8个小题，共57分）请在答题卡上把你的答案写在相对应的题号后的指定区域内22．（6分）（1）如图，已知线段AB 和点O ，利用直尺和圆规作△ABC ，使点O 是△ABC 的内心（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在所画的△ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，则△ABC 的内切圆半径是 2 ．【解答】解：（1）如图，△ABC 即为所求．（2）设内切圆的半径为r ． ∵∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，∴AB =√AC 2+BC 2=√62+82=10， ∴12•AC •BC =12•r •（AB +AC +BC ），∴r =4824=2， 故答案为2．23．（6分）如图，热气球位于观测塔P 的北偏西50°方向，距离观测塔100km 的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于观测塔P 的南偏西37°方向的B 处，这时，B 处距离观测塔P 有多远？（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19．）【解答】解：由已知得，∠A ＝50°，∠B ＝37°，P A ＝100， 在Rt △P AC 中，∵sin A =PCPA ， ∴PC ＝P A •sin50°≈77， 在Rt △PBC 中，∵sin B =PCPB ， ∴PB =PCsin37°≈128（km ），答：这时，B 处距离观测塔P 有128km ．24．（6分）如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A ，点B ，点O 均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）作点A 关于点O 的对称点A 1；（2）连接A 1B ，将线段A 1B 绕点A 1顺时针旋转90°得点B 对应点B 1，画出旋转后的线段A 1B 1；（3）连接AB 1，求出四边形ABA 1B 1的面积．【解答】解：（1）如图所示，点A1即为所求；（2）如图所示，线段A1B1即为所求；（3）如图，连接BB1，过点A作AE⊥BB1，过点A1作A1F⊥BB1，则四边形ABA1B1的面积=S△ABB1+S△A1BB1=12×8×2+12×8×4＝24．25．（6分）为了解本校九年级学生体育测试项目“400米跑”的训练情况，体育教师在2019年1﹣5月份期间，每月随机抽取部分学生进行测试，将测试成绩分为：A，B，C，D四个等级，并绘制如图两幅统计图根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）1月份测试的学生人数最少，4月份测试的学生中男生、女生人数相等；（2）求扇形统计图中D等级人数占5月份测试人数的百分比；（3）若该校2019年5月份九年级在校学生有600名，请你估计出测试成绩是A等级的学生人数．【解答】解：（1）根据折线统计图给出的数据可得：1月份测试的学生人数最少，4月份测试的学生中男生、女生人数相等；故答案为：1，4；（2）D等级人数占5月份测试人数的百分比是：1﹣25%﹣40%−72°360°=15%；（3）根据题意得：600×25%＝150（名），答：测试成绩是A等级的学生人数有150名．26．（7分）如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，∠CBG＝∠BAC，CD与AB相交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F，过点O作OH⊥AC，垂足为H，连接BD、OA．（1）求证：直线BG与⊙O相切；（2）若BEOD =54，求EFAC的值．【解答】解：（1）连接OB，如图，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠D+∠BCD＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB ＝∠OBC ， ∴∠D +∠OBC ＝90°，∵∠D ＝∠BAC ，∠BAC ＝∠CBG ， ∴∠CBG +∠OBC ＝90°， 即∠OBG ＝90°， ∴直线BG 与⊙O 相切；（2）∵OA ＝OC ，OH ⊥AC ， ∴∠COH =12∠COA ，CH =12CA ， ∵∠ABC =12∠AOC ， ∴∠EBF ＝∠COH ， ∵EF ⊥BC ，OH ⊥AC ， ∴∠BEF ＝∠OHC ＝90°， ∴△BEF ∽△COH ， ∴EF CH =BE OC ，∵BE OD =54，OC ＝OD ， ∴EF CH=54，∵CH =12AC ， ∴EF AC=58，27．（7分）如图，在矩形OABC 中，AB ＝2，BC ＝4，点D 是边AB 的中点，反比例函数y 1=k x（x ＞0）的图象经过点D ，交BC 边于点E ，直线DE 的解析式为y 2＝mx +n （m ≠0）． （1）求反比例函数y 1=k x （x ＞0）的解析式和直线DE 的解析式；（2）在y 轴上找一点P ，使△PDE 的周长最小，求出此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，△PDE 的周长最小值是 √5+√13 ．【解答】解：（1）∵点D 是边AB 的中点，AB ＝2，∴AD ＝1，∵四边形OABC 是矩形，BC ＝4，∴D （1，4），∵反比例函数y 1=k x （x ＞0）的图象经过点D ，∴k ＝4，∴反比例函数的解析式为y =4x （x ＞0），当x ＝2时，y ＝2，∴E （2，2），把D （1，4）和E （2，2）代入y 2＝mx +n （m ≠0）得，{2m +n =2m +n =4， ∴{m =−2n =6， ∴直线DE 的解析式为y ＝﹣2x +6；（2）作点D 关于y 轴的对称点D ′，连接D ′E 交y 轴于P ，连接PD ，此时，△PDE 的周长最小，∵D 点的坐标为（1，4），∴D ′的坐标为（﹣1，4），设直线D ′E 的解析式为y ＝ax +b ，∴{4=−a +b 2=2a +b， 解得：{a =−23b =103， ∴直线D ′E 的解析式为y =−23x +103，令x ＝0，得y =103， ∴点P 的坐标为（0，103）；（3）∵D （1，4），E （2，2），∴BE ＝2，BD ＝1，∴DE =√12+22=√5，由（2）知，D ′的坐标为（﹣1，4），∴BD ′＝3，∴D ′E =√22+32=√13，∴△PDE 的周长最小值＝DE +D ′E =√5+√13，故答案为：√5+√13．28．（9分）如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点G 在边BC 上，连接AG ，作DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F ，连接BE 、DF ，设∠EDF ＝α，∠EBF ＝β，BG BC =k ．（1）求证：AE ＝BF ；（2）求证：tan α＝k •tan β；（3）若点G 从点B 沿BC 边运动至点C 停止，求点E ，F 所经过的路径与边AB 围成的图形的面积．【解答】解：（1）证明：在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝AD ，∠BAD ＝∠ABC ＝90°， ∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AED ＝∠BF A ＝90°，∴∠ADE +∠DAE ＝90°，∵∠BAF +∠DAE ＝90°，∴∠ADE ＝∠BAF ，∴△ABF ≌△DAE （AAS ），∴AE ＝BF ；（2）在Rt △DEF 和Rt △EFB 中，tan α=EF DE ，tan β=EF BF ，∴tanαtanβ=EF DE ⋅BF EF =BF DE ．由①可知∠ADE ＝∠BAG ，∠AED ＝∠GBA ＝90°，∴△AED ∽△GBA ，∴AE GB =DE AB ，由①可知，AE ＝BF ，∴BF GB =DE AB ， ∴BF DE =GB AB ， ∵BG BC =k ，AB ＝BC ， ∴BF DE =BG AB =BG BC =k ， ∴tanαtanβ=k ．∴tan α＝k tan β．（3）∵DE ⊥AG ，BF ⊥AG ，∴∠AED＝∠BF A＝90°，∴当点G从点B沿BC边运动至点C停止时，点E经过的路径是以AD为直径，圆心角为90°的圆弧，同理可得点F经过的路径，两弧交于正方形的中心点O，如图．∵AB＝AD＝4，∴所围成的图形的面积为S＝S△AOB=14×4×4＝4．29．（10分）如图1，抛物线y=−12（x+2）2+6与抛物线y1＝﹣x2+12tx+t﹣2相交y轴于点C，抛物线y1与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线y2＝kx+3交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且OC＝ON．（1）求抛物线y1的解析式与k的值；（2）抛物线y1的对称轴交x轴于点D，连接AC，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，求出DE的长；（3）如图2，过抛物线y1上的动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2＝kx+3于点Q，若点Q'是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q'落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当x＝0时，得y=−12（x+2）2+6＝﹣2+6＝4，∴C（0，4），把C （0，4）代入y 1＝﹣x 2+12tx +t ﹣2得，t ﹣2＝4，∴t ＝6，∴y 1＝﹣x 2+3x +4，∵ON ＝OC ，∴N （﹣4，0），把N （﹣4，0）代入y 2＝kx +3中，得﹣4k +3＝0，解得，k =34；∴抛物线y 1的解析式为y 1＝﹣x 2+3x +4，k 的值为34．（2）连接AE ，如图1，令y ＝0，得y 1＝﹣x 2+3x +4＝0，解得，x ＝﹣1或4，∴A （﹣1，0），B （4，0），∴对称轴为：x =−1+42=32， ∴D （32，0）， ∴OA ＝1，OC ＝4，OD =32，AD =52，①当△AOC ∽△EDA 时，OA DE =OC DA，即1DE =452， ∴DE =58，②当△AOC ∽△ADE 时，AO AD =OC DE ，即152=4DE ，∴DE ＝10，综上，DE =58或10；（3）点G 的横坐标为7+√654或7−√654或1+√52或1−√52． 如图，点Q '是点Q 关于直线MG 的对称点，且点Q '在y 轴上时，由轴对称性质可知，QM ＝Q 'M ，QG ＝Q 'G ，∠Q 'MG ＝∠QMG ，∵QG ⊥x 轴，∴QG ∥y 轴，∴∠Q 'MG ＝∠QGM ，∴∠QMG ＝∠QGM ，∴QM ＝QG ，∴QM ＝Q 'M ＝QG ＝Q 'G ，∴四边形QMQ 'G 为菱形，∴GQ '∥QN ，作GP ⊥y 轴于点P ，设G （a ，﹣a 2+3a +4），则Q （a ，34a +3）， ∴PG ＝|a |，Q 'G ＝GQ ＝|（34a +3）﹣（﹣a 2+3a +4）|＝|a 2−94a ﹣1|， ∵GQ '∥QN ，∴∠GQ 'P ＝∠NMO ，在Rt △NMO 中，MN =√NO 2+MO 2=5，∴sin ∠GQ 'P ＝sin ∠NMO =NO MN =PG GQ′=45，∴|a||a 2−94a−1|=45． 解得a 1=7+√654，a 2=7−√654，a 3=1+√52，a 4=1−√52． 经检验，a 1=7+√654，a 2=7−√654，a 3=1+√52，a 4=1−√52都是所列方程的解． 综合以上可得，点G 的横坐标为7+√654或7−√654或1+√52或1−√52．。