高中数学微专题之——分段函数【考纲要求】【考题分析】【命题规律】分段函数是高考考查的重点和热点，主要考查分段函数求值、分段函数值域与最值、分段函数的图像与性质、分段函数方程、分段函数不等式等，考查分类整合、转化与化归、函数与方程、数形结合等数学思想与方法，考题多为填空题，难度为中档题或难题.【基础知识】若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数. 分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化．即“分段函数——分段看” ．【题型分析】【题型一】求函数值【例1】(2017·盐城中学一模)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x(x ≤0)，log 3x (x >0)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.【解析】∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9. 【方法技巧归纳】求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解；当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围．【例2】设函数()()cos ,011,0x x f x f x x π>⎧=⎨+-≤⎩，则103f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为_________ 【解析】由()f x 解析式可知，只有0x >，才能得到具体的数值，0x <时只能依靠()()11f x f x =+-向0x > 正数进行靠拢。

由此可得：107412123433333f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而221cos 332f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 10932f⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭【方法技巧归纳】含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）比如在本题中：()()0,11x f x f x <=+-可以立即为间隔为1的自变量，函数值差1，其作用在于自变量取负数时，可以不断1+直至取到正数。

理解到这两点，问题自然迎刃而解。

【练习】1.设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则实数a ＝________.【解析】当a ＞0时，f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，解得a ＝2(a ＝0与a ＝－2舍去)．当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解．所以a ＝ 2.2. (2016·苏州暑假测试)已知实数m ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2.若f (2－m )＝f (2＋m )，则m 的值为_____________．【解析】当m >0时，2－m <2,2＋m >2，所以3(2－m )－m ＝－(2＋m )－2m ，所以m ＝8；当m <0时，2－m >2，2＋m <2，所以3(2＋m )－m ＝－(2－m )－2m ，所以m ＝－83.故m 的值为8或－83. 【题型二】解不等式【例3】(2017·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是_______． 【解析】当x ≤0时，由题意得2x+1≥-1，解之得－4≤x ≤0，当x>0时，由题意得-(x -1)2≥－1,解之得0<x ≤2.综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x }．【方法技巧归纳】分段函数的不等式问题：利用分类整合思想，化为若干个不等式组问题，解出各个不等式组的解集，其并集就是所求不等式的解集.【例4】已知函数()2123,021,0x x x x f x x +⎧-++≤⎪=⎨+>⎪⎩，则不等式()()283f x f x x +<+的解集为___________【解析】本题如果通过分类讨论将不等式变为具体不等式求解，则难点有二：一是要顾及28,3x x x ++的范围，则需要分的情况太多；二是具体的不等式可能是多项式与指数式混在一起的不等式，不易进行求解。

所以考虑先搁置代数方法，去分析()f x 的图像性质，发现()f x 的两段解析式均可作图，所以考虑作出()f x 的图像，从而发现()f x 是增函数，从而无论28,3x x x ++在哪个范围，()()228383f x f x x x x x +<+⇒+<+，从而解得：4x <-或2x > 答案：()(),42,-∞-+∞【方法技巧归纳】含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。

另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式。

【练习】3. 已知函数f (x )={12x -1,x ≥0,1x,x <0,若f (a )>a ,则实数a 的取值范围是 .4. (2017·如皋一模)已知函数f (x )={2x +1,x >0,0,x =0,2x -1,x <0,则不等式f (x 2-2)+f (x )<0的解集为 .【题型三】分段函数的图像与性质【例5】 (2017·南通调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧x (x －b )，x ≥0，ax (x ＋2)，x <0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．【解析】法一 特殊值法 a=-1,b=2, f (a ＋b )=-1. 法二 二次函数的顶点关于原点对称【例6】 (2017·无锡期末)设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【解析】作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4. 【方法技巧归纳】①分段函数的图像：分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。

②分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x >0,x -<0 ,分别代入各段函数式计算)(x f 与)(x f -的值，若有)(x f =)(x f --,当x =0有定义时0)0(=f ，则)(x f 是奇函数；若有f(x)=)(x f -，则)(x f 是偶函数.③分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性结合图象处理分段函数的问题. 【练习】5．已知函数22()12,()2f x x g x x x =-=-，若(),()()()(),()()g x f x g x F x f x f x g x ≥⎧=⎨<⎩，则()F x 的值域是______________解析：()F x 是一个分段函数，其分段标准以()(),f x g x 的大小为界，所以第一步先确定好x 的取值，解不等式：()()22122f x g x x x x ≥⇒-≥-，解得：113x -≤≤，故()2212,13112,13x x x F x x x or x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪-<->⎪⎩ ，分别求出每段最值，再取并集即可.答案：7,9⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦6．已知函数(2)1(1)()log (1)aa x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩，若()f x 在(),-∞+∞单调递增，则实数a 的取值范围是_________思路：若()f x 在(),-∞+∞单调增，则在R 上任取12x x <，均有()()12f x f x <，在任取中就包含12,x x 均在同一段取值的情况，所以可得要想在R 上单调增，起码每一段的解析式也应当是单调递增的，由此可得：201a a ->⎧⎨>⎩ ，但仅仅满足这个条件是不够的。

还有一种取值可能为12,x x 不在同一段取值，若也满足12x x <，均有()()12f x f x <，通过作图可发现需要左边函数的最大值不大于右边函数的最小值。

代入1x =，有左段≤右端，即21log 103a a a --≤=⇒≤ 综上所述可得：(]2,3a ∈【题型四】函数与方程【例7】函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x >0的零点个数为________．【解析】当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3；当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2.所以函数f(x)有两个零点．【方法技巧归纳】令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．利用代数法求分段函数的零点时，一定要注意函数表达式所对应的自变量的范围，即通过解方程得到的零点一定要检验．【例8】(常熟中学2018届高三10月阶段性抽测（一）)已知函数()22,{ 52,x x af x x x x a+>=++≤的图象与函数()2g x x =的图象恰有三个不同的公共点，则实数a 的取值范围为________.【解析】原问题等价于()()2h x f x x =-有三个不同的零点，由题意可得： ()()22,2{ 32,x x ah x f x x x x x a-+>=-=++， 而方程−x +2=0的解为2,方程x 2+3x +2=0的解为−1，−2；若函数()()2h x f x x =-有三个不同的零点，则2122a a <⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩，所以实数a 的取值范围为［－1,2) ．【方法技巧归纳】较复杂的函数零点个数问题，常转化为对应方程解得个数问题，再通过移项、局部分离等方法转化为两边都是熟悉函数的方程解得个数问题，再转化为这两个函数的交点个数问题，画出对应函数的函数的图象，恰当运用数形结合思想能准确快速地解决问题． 【练习】7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －x 2，x ≥0，3x，x ＜0，若函数g (x )＝|f (x )|－3x ＋b 有三个零点，则实数b 的取值范围为________． 解析:当直线3y x b =-与3(0)y x x=-<相切时，6b =-；当直线3y x b =-与24(04)y x x x =-≤≤相切时，14b =-；当直线3y x b =-与24(4)y x x x =->不相切，由图可知实数b 的取值范围为1(,6)(,0]4-∞--． 8. (2016·镇江期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ，x >0，12－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋x ，x ≤0.若关于x 的方程f (x )＝kx－k 至少有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为___________．【解析】如图，作出函数f (x )和直线y ＝kx －k 的图象，且直线y ＝kx －k 过点(1,0)．当直线y ＝kx －k 与函数f (x )＝x 2－x 的图象相切时，有唯一公共点，此时切线的斜率为1＝k .又直线y ＝kx －k 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，即k ＝－13时，函数f (x )的图象与直线y ＝kx －k 只有两个公共点．则由图象可知，当k ≥－13,且k ≠1时，直线y ＝kx －k 与函数f (x )的图象至少有两个不同的交点，即原方程至少有两个不相等的实数根，故实数k 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1∪(1，＋∞)．【课外检测】1．已知⎩⎨⎧≤<-≤=)0(,sin 2),0(,)(2πx x x x x f ，若3)]([0=x f f ，则=0x __________.1.解析：若()(]00,f x π∈，则()()0032sin 3sin 2f x f x -=⇒=-，无解；若()00f x ≤，则()()20033f x f x =⇒=-，由解析式可得：002sin 330x x x ππ⎧-=-⎪⇒=⎨<≤⎪⎩或023x π=2．函数()34,22,21x x f x x x -≤⎧⎪=⎨>⎪-⎩，则不等式()1f x ≥的解集是________．思路：首先要把()1f x ≥转变为具体的不等式，由于()f x 是分段函数，所以要对x 的范围分类讨论以代入不同的解析式：当2x ≤时，()1341f x x ≥⇒-≥，可解得：1x ≤-或53x ≥。