1 1 1 ... 1 15 59 913 3337
1 1 1 1 1 4 28 70 130 208
例题3、计算：11 7 9 11 13 15
3 12 20 30 42 56
因为 7 1 1
12 3 4
9 11 20 4 5
11 1 1 30 5 6
13 1 1 42 6 7
（1＋a）×b－（1＋b）×a =b＋ab－a－ab =b－a 再用这两个字母所代表的加数相减就行了。
b 1 1 1 1,a 1 1 1 2345 234
b a 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 2 3 4
1 5
提示：还有另外的“代数法”哟！你发现了吗 自己试试！
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4
设a= 1 1 1 1 b= 1 1 1
2 3 4
2 3 4
原式=a×（b＋ 1 ）－（a＋ =ab＋ 1 a－5ab－ 1 b
1 5
“1”，但是先前我们给整个算式加了一1个 ，
以还要减去一个 1
64
64
111 1 1 1 2 4 8 16 32 64 =（1 1 1 1 1 1 1） 1 2 4 8 16 32 64 64 64
11 1
24
= 1 1
64
= 63
64
1
11
32
8 16
借还法
注意：借了的总要还
1 1 1 1 ...... 1 2 4 8 16 256
68
+...+
121
48
50）×2
1 2
=（
1 2 1 2 44
+ 4142
1
66
+ 166
2 1 88
+......+
1
2
1
）
448 500
1 2
= 1 1 1
2 50 2
=
24 50
1 2
=6
25
1 1 1 ... 1 35 5 7 79 9799
1 1 1 ... 1 1 4 4 7 710 97100
1 2 2 23 2 3 3 4 3 4
1 1 1 99100 99 100
裂项法
=
1
1 2
+
1 2
1 3
+
1 31 4+Fra bibliotek..+
1 1 99 100
=
1 1 100
99
= 100
1 1 1 ... 1 45 5 6 6 7 39 40
1 1 1 ... 1 1011 1112 1213 2930
22 2 2 2 3 9 27 81 243
9.6＋99.6＋999.6＋9999.6＋99999.6
例题5、计算：
a b b a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 2 3 4
观察：这里两个乘法算式没有一个因数是相 同的，但是每个因数中的大部分加数是相同 的，那我们可不可以把这些相同的加数用一 个字母来代替呢？这样的方法叫做“代数法” 那整个算式就变成了
乘法分配率（a+b）×c= a×c+b×c （a-b）×c= a×c-b×c
• 前面我们介绍了运用定律和性质以及数的 特点进行巧算和简算的一些方法，下面再 向同学们介绍怎样用拆分法（也叫裂项法、 拆项法）进行分数的简便运算。
运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相1
抵消，达到简化运算的目的。一般地，形如a (a 1)
的分数可以拆成 1 1 ；形如 a b 的分数可
a a 1
ab
以拆成 1 1
ab
，形如 1 的分数可以
a (a n)
拆成1 ( 1 等1 等) 。同学们可以结合例题思考其中的 规律n 。a a n
例题1、计算： 1 1 1 ... 1
1 2 23 3 4 99100
思路： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ......
6 7 9 6 11 6 12 20 30
例题4、计算：1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64
观察：分母之间的变化规律，后一个分母总是
前一个分母的2倍，也就是两个后面的分数相
加等于前面的一个分数，因此，我们可以从最
后开始算起，先加一个1 ，就可以得到前一个 分数，再依次从后往前6加4 ，就可以得到“和”
我们学过哪些整数的运算定律呢？ 我们学过了加法运算定律
加法交换律 a+b= b+a
加法运算定律
加法结合律 a+b+c= a+（b+c）
我我们们可学以过用哪这些些整运算数定的律运在算整定数律运算呢中？简便，
那么我们年级的分数运算中，能简便运算吗
我们还学过乘法运算定律
乘法交换律 a×b×c= a×c×b 乘法运算定律 乘法结合律 a×b×c= a×（b×c）
11 1 1 1 1 2 6 12 20 30 42
1 1 1 1 1 6 42 56 72
例题2、计算：
1+
24
1 46
+1
68
+...+
1 48
50
因为2
2
4
1 2
1 4
2 11 46 4 6
2 11 68 6 8
2 11 4850 48 50
原式=（2
12
4
+
121
4
6
+ 121
15 1 1 56 7 8
原式=11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
334 4 556 6 7 78
= 1 1
8
7
=8
注意：去掉括号要变号
11 5 7 9 11 2 6 12 20 30
11 9 11 13 15 4 20 30 42 56 1998 1998 1998 1998 1998 1 2 23 3 4 45 5 6
）×b
5
5
=
1 5
（a－b）
=1
5
=
1 5
×[
1
1 2
1 3
1 4
－ 1 1 1
2 3 4
]
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 3 4 5 6 2 3 4 5 6 3 4 5
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 9 10 11 9 10 11 12 8 9 10 11 12 9 10 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1999 2000 2001 1999 2000 2001 2002