绝密★启用前2018-2019学年第二学期天一大联考期末测试高一数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上的指定位置，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.某班现有60名学生，随机编号为0，1，2，…，59.依编号顺序平均分成10组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若在第1组中随机抽取的号码为5，则在第7组中随机抽取的号码为（ ） A.41B.42C.43D.442.在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则x y +=（ ）A.6B.5C.4D.33.设向量()1,1a =，()2,b m =，若()2a a b +∥，则实数m 的值为（ ） A.1B.2C.3D.44.下列函数中是偶函数且最小正周期为4π的是（ ）A.22cos 4sin 4y x x =-B.sin 4y x =C.sin 2cos 2y x x =+D.cos 2y x =5.从装有4个红球和3个白球的袋中任取2个球，那么下列事件中，是对立事件的是（ ） A.至少有1个白球；都是红球 B.至少有1个白球；至少有1个红球 C.恰好有1个白球；恰好有2个白球D.至少有1个白球；都是白球6.已知某7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的方差2s 为（ ）A.52B.3C.72D.47.已知cos 4θ=，且,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.7-B.7C.17-D.178.已知a ，b 是不共线的非零向量，2AB a b =+，3BC a b =-，23CD a b =-，则四边形ABCD 是（ ）A.矩形B.平行四边形C.梯形D.菱形9.执行如图所示的程序框图，则输出的s 的值为（ ）开始 k ＝1，s ＝0 s ＝s ＋1k (k ＋1)k ＝k ＋1 是 否结束输出s k ≥4?A.34B.45C.56D.6710.如图所示，某汽车品牌的标志可看作由两个同心圆构成，其中大、小圆的半径之比为3:2，小圆内部被两条互相垂直的直径分割成四块.在整个图形中任选一点，则该点选自白色部分的概率为（ ）A.23πB.29C.8π D.1211.已知tan 2α=，则()22sin 22cos 2sin 4ααπα-=-（ ）B.12C.14D.11212.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，2πϕ<），其图象相邻的两个对称中心之间的距离为4π，且有一条对称轴为直线24x π=，则下列判断正确的是（ ）A.函数()f x 的最小正周期为4πB.函数()f x 的图象关于直线724x π=-对称 C.函数()f x 在区间713,2424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.函数()f x 的图象关于点7,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知变量x ，y 线性相关，其一组数据如下表所示.若根据这组数据求得y 关于x 的线性回归方程为1.9y x a =+，则a =______.14.已知向量()cos5,sin5a =︒︒，()cos65,sin 65b =︒︒，则2a b +=______. 15.执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值是______.16.函数23sin cos cos y x x x =+在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域为______. 三、解答题：本大题共6小题，共70分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知扇形的面积为6π，弧长为6π，设其圆心角为α （Ⅰ）求α的弧度；（Ⅱ）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 18.（12分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()1,2a =. （Ⅰ）若()2,c λ=，且c a ∥，求c ；（Ⅱ）若()1,1b =，且ma b -与2a b -垂直，求实数m 的值19.（12分）为了了解居民用电情况，某地供电局抽查了该市若干户居民月平均用电量（单位：kW h ⋅），并将样本数据分组为[)160,180，[)180,200，[)200,220，[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300，其频率分布直方图如图所示.开始 S ＝22－S是 否结束输出S Ⅰ＜2021? S ＝4Ⅰ＝Ⅰ＝Ⅰ（Ⅰ）若样本中月平均用电量在[)240,260的居民有30户，求样本容量； （Ⅱ）求月平均用电量的中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组居民中，用分层抽样法抽取22户居民，则月平均用电量在[)260,280的居民中应抽取多少户？20.（12分）已知函数()214sin 2x f x x ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（Ⅰ）求()f x 的定义域；（Ⅱ）设α是第三象限角，且1tan 2α=，求()f α的值. 21.（12分）某电子科技公司由于产品采用最新技术，销售额不断增长，最近5个季度的销售额数据统计如下表（其中2018Q1表示2018年第一季度，以此类推）：（Ⅱ）求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019Q3的销售额. 附：线性回归方程：y bx a =+/kW •h其中()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅==--∑∑∑∑，a y bx =-参考数据：511183I II x y==∑22.（12分）如图所示，在直角坐标系xOy 中，点()2,0A ，()2,0B -，点P ，Q 在单位圆上，以x 轴正半轴为始边，以射线OP 为终边的角为θ，以射线OQ 为终边的角为ϕ，满足2πϕθ-=.（1）若2πθ=，求OA QA ⋅（2）当点P 在单位圆上运动时，求函数()fAP BQ θ=⋅的解析式，并求()f θ的最大值.天一大联考2018-2019学年（下）高一年级期末测试数学·答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1.【答案】A【命题意图】本题考查系统抽样的概念.【解析】由题知分组间隔为以60610=，又第1组中抽取的号码为5，所以第7组中抽取的号码为66541⨯+=. 2.【答案】D【命题意图】本题考查茎叶图及众数和中位数的概念.【解析】由甲组数据的众数为11，得1x =，乙组数据中间两个数分别为6和10y +，所以中位数是61092y++=，得到2y =，因此3x y +=. 3.【答案】B【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算以及共线的性质.【解析】()25,21a b m +=+，因为()2a a b +∥，所以()121502m m ⨯+-=⇒=. 4.【答案】A【命题意图】本题考查三角恒等变换以及三角函数的周期.【解析】A 中，函数22cos 4sin 4cos8y x x x =-=，是偶函数，周期为284T ππ==；B 中，函数是奇函数，周期242T ππ==；C 中，函数sin 2cos 224y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，是非奇非偶函数，周期T π=；D 中，函数是偶函数，周期22T ππ==. 5.【答案】A【命题意图】本题考查事件的概念与关系判断.【解析】从装有4个红球和3个白球的袋内任取2个球，在A 中，“至少有1个白球”与“都是红球”不能同时发生且必有一个事件会发生，是对立事件.在B 中，“至少有1个白球”与“至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件.在C 中，“恰好有1个白球”与“恰好有2个白球”是互斥事件，但不是对立事件.在D 中，“至少有1个白球”与“都是白球”不是互斥事件. 6.【答案】C【命题意图】本题考查平均数与方差的计算公式.【解析】因为7个数据的平均数为5，方差为4，现又加入一个新数据5，此时这8个数的平均数为x ，方差为2s ，由平均数和方差的计算公式可得75558x ⨯+==，()227455782s ⨯+-==. 7.【答案】D【命题意图】本题考查同角三角函数的关系以及和角的正切公式.【解析】,02πθ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，4cos 5θ=，3sin 5θ∴=-，3tan 4θ=-，tan tan14tan 471tan tan 4πθπθπθ+⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭-. 8.【答案】C【命题意图】本题考查平面向量的线性运算以及共线的判断.【解析】()()()()2323232AD AB BC CD a b a b a b a b BC =++=++-+-=-=，所以AD BC ∥且AD BC ≠，∴四边形ABCD 是梯形.9.【答案】A【命题意图】本题考查程序框图的基本逻辑结构.【解析】运行程序框图，11122s ==⨯，2k =；112263s =+=，3k =；2133124s =+=，4k =，此时满足条件，跳出循环，输出的34s =. 10.【答案】B【命题意图】本题考查几何概型的概率计算.【解析】设大圆半径为3r ，小圆半径为2r ，则整个图形的面积为29S r π=，白色部分的面积为221422S r r ππ=⨯=白，所以所求概率29S P S ==白.11.【答案】D【命题意图】本题考查三角恒等变换的应用.【解析】tan 2α=，22tan 4tan 21tan 3ααα∴==--，∴原式22222162sin 22cos 2sin 22cos 2tan 22194sin 42sin 2cos 22tan 21223ααααααααα----=====⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭. 12.【答案】C【命题意图】本题考查三角函数的图象和性质.【解析】图象相邻的两个对称中心之间的距离为4π，即函数的周期为242ππ⨯=，由22T ππω==得4ω=.所以()()sin 4f x x ϕ=+.又24x π=是一条对称轴，所以62k ππϕπ+=+，k ∈Z ，得3k πϕπ=+，k ∈Z .又2πϕ<，得3πϕ=，所以()sin 43f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故最小正周期2T π=，A 项错误；令432x k πππ+=+，k ∈Z ，得对称轴方程为424k x ππ=+，k ∈Z ，B 选项错误；由242232k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z ，得单调递增区间为5,224224k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，C 项中的区间对应1k =，故正确；由43x k ππ+=，k ∈Z ，得对称中心的坐标为,0412k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k ∈Z ，D 选项错误 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.【答案】4.3【命题意图】本题考查线性回归方程的性质.【解析】由表格得到()1124534x =+++=，()15.49.610.614.4104y =+++=，将样本中心()3,10代入线性回归方程得10 1.93 4.3a =-⨯=.14.【命题意图】本题考查平面向量数量积的应用.【解析】由题意得222cos 5sin 51a =︒+︒=，1a =.222cos 65sin 651b =︒+︒=，1b =.1cos5cos65sin 5sin 65cos602a b ∴⋅=︒︒+︒︒=︒=，()22124444172a ba ab b ∴+=+⋅+=+⨯+=，27a b ∴+=.15.【答案】4【命题意图】本题考查程序框图的基本逻辑结构.【解析】第1次循环：1S =-，2i =；第2次循环：23S =，3i =；第3次循环：32S =，4i =；第4次循环：4S =，5i =；…；S 关于i 以4为周期，最后跳出循环时202114505i ==+⨯，此时4S =.16.【答案】3 0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【命题意图】本题考查三角恒等变换、三角函数的单调性和最值.【解析】21cos2111 cos cos22cos2sin22222262xy x x x x x x xπ+⎛⎫=+=+=++=++⎪⎝⎭0,2xπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，72,666xπππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1sin2,162xπ⎛⎫⎛⎤+∈-⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，13sin20,622xπ⎛⎫⎛⎤∴++∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.【命题意图】本题考查扇形的面积公式以及诱导公式的应用.【解析】（Ⅰ）设扇形的半径为r，则6arπ=，所以6rπα=.由12S rl=可得12666πππα⨯⨯=，解得12πα=.（Ⅱ）()cos sinsin sin2tan119sin coscos sin22παπααααππαααα⎛⎫+--⎪-⋅⎝⎭==-⋅⎛⎫⎛⎫-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.tan tan34tan tan212341tan tan34πππππππ-⎛⎫=-===⎪⎝⎭+.18.【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算及平行与垂直的性质.【解析】（Ⅰ）c a ∥，2210λ∴⨯-⨯=，4λ∴=，()2,4c ∴=.224c ∴=+=（Ⅱ）()1,2a =，()1,1b =，()1,21ma b m m ∴⋅=--，()21,3a b -=.ma b -与2a b -垂直，()()20ma b a b ∴-⋅-=， ()()112130m m ∴-⨯+-⨯=.47m ∴=. 19.【命题意图】本题考查频率分布直方图、中位数的求法、系统抽样等.【解析】（Ⅰ）由()0.00200.00950.01100.01250.00500.0025201x ++++++⨯=，得0.0075x =. 所以月平均用电量在[)240,260的频率为0.0075200.15⨯=.设样本容量为N ，则0.1530N =，得200N =.（Ⅱ）因为()0.00200.00950.0110200.450.5++⨯=<，所以月平均用电量的中位数在[)220,240内. 设中位数为a ，则()0.450.01252200.5a +⨯-=，解得224a =，即中位数为224.（Ⅲ）月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组频率分别为0.25，0.15，0.1，0.05，所以从月平均用电量在[)260,280的用户中应抽取0.12240.250.150.10.05⨯=+++（户）. 20.【命题意图】本题考查三角函数的性质、三角恒等变换的应用.【解析】（Ⅰ）由sin 02x π⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得2x k ππ+≠，k ∈Z ， 所以2x k ππ≠-，k ∈Z ，故()f x 的定义域为,2x x k k ππ⎧⎫≠-∈⎨⎬⎩⎭Z （答案写成“,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ”也正确） （Ⅱ）因为1tan 2α=，且α是第三象限角， 所以由22sin cos 1sin 1cos 2αααα⎧+=⎪⎨=⎪⎩可解得sin 5α=-，cos 5α=-. 故()214cos f πααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=221cos ααα⎫+⎪⎝⎭= cos 22sin 21cos ααα++= 22cos 2sin cos cos αααα+= ()2cos sin αα=+= 21.【命题意图】本题考查古典概型的概率计算以及线性回归分析的应用.【解析】（Ⅰ）从5个季度的数据中任选2个季度，这2个季度的销售额有10种情况：()46,56，()46,67，()46,86，()46,96，()56,67，()56,86，()56,96，()67,86，()67,96，()86,96. 设“这2个季度的销售额都超过6千万元”为事件A ，事件A 包含()67,86，()67,96，()86,96，3种情况.所以()310P A =. （Ⅱ）()11234535x =++++=，()14656869670.25y =+++=. 2222221462563674865965370.213013123455310b ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯===++++-⨯， 31.2a y bx ∴=-=.所以y 关于x 的线性回归方程为1331.2y x =+.令7x =，得13731.2122.2y =⨯+=（百万元）.所以预测该公司2019Q3的销售额为122.2百万元.22.【命题意图】本题考查任意角的定义、平面向量的几何运算、三角恒等变换及三角函数的性质.【解析】（Ⅰ）由图可知，3POA πθ∠==，5326QOA πππ∠=+=. ()225221cos46OA QA OA OA OQ OA OA OQ π⋅=⋅-=-⋅=-⨯⨯=+ （Ⅱ）由题意可知()cos ,sin θθ，()cos ,sin Q ϕϕ. 因为cos cos sin 2πϕθθ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，sin sin cos 2πϕθθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭， 所以()sin ,cos Q θθ-.所以()cos 2,sin AP θθ=-，()sin 2,cos BQ θθ=-+.所以()f AP BQ θ=⋅()()cos 22sin sin cos θθθθ=--+2cos sin cos 2sin 4sin cos θθθθθθ=-+-+44πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.当24k πθπ=+（k ∈Z ）时，()f θ取得最大值4.。