解答：
等式两端乘以 x 得
2 x
xf x x e f t d t ，
x 0
两端关于 x 求导，得
f x xf x 2x e x x2 e x f x，
解出 f x 2 x e x ．
相关例题1
于是
f x f x d x 2 x e x d x x 1e x C ．
相关例题2
设函数 x 可导，且满足
x cos x 2 x sin t d t x 1 ．
x 0
解答：
两端对 x 求导得
xcos x xsin x 2 x sin x 1，
令 y x ，上式即为
y tan x y sec x ，
x e x x x x t d t
x x 0
e t d t ，
x x 0
由上式可知 x 可导，且有 x e x x ．
相关例题3
令 y x ，上式即为 y y e x ，且由 x 和
这是一阶线性微分方程，其通解为
相关例题2
ye sec x e tan x d x d x c 1 cos x sec x d x c cos x
tan x d x
cos xtan x c ，
又，从原式可得 0 1 ，代入上式得 c 1 ，于 是得
x 的表达式知： y0 1 ， y0 1 ，解此初值
问题，得
1 x cos x sin 分离变量的一阶微分方程，分离变量
并积分

f x 2 dx d x， f x x 1
2
解得 f x cx 1 ．由于 f 0 1 ，代入得
c 1 ，从而 f x x 12 ．
常见错误
在求导时混淆了上限变量和积分变量的区
在等式两端关于 x 求导，得
4x 5 f x 31 f t d t 3x 2 f x ，
x
整理后得
x 1 f x 31 f t d t ，
x
继续求导，有
f x x 1 f x 3 f x ，
或
x 1 f x 2 f x ．
x cos xtan x 1 sin x cos x ．
相关例题3
设函数 x 连续，且满足 求 x ．
x e t t d t x t d t ，
x x x 0 0
解答：
根据题设条件，可知 x 可导，且有
题
目
设 f x 连续可导，且 f 0 1 ，
4t 5 f t d t 3x 2
x 1
x
1
f t d t ，
求 f x ．
解题方法1
在等式两端关于上限变量求导，消去方程中 的积分上限函数，并得到一个便于求解的微分方 程，进而得出所求函数．
解题步骤1
别，得出错误结果．
方法总结
第一步：等式两端连续两次关于变量 x 求导，
得出一个一阶微分方程； 第二步：用分离变量法求解此微分方程，代 入初值条件，求得结果．
相关例题1 设 f x 在 0, 上连续，且 1 x x f x x e f t d t ， x 0 求 f x ．