两种积分变换及其应用
摘要:本文采用付氏变换和拉氏变换两种方法给出几个常用偏微分方程和常微分方程的求解方法,以及两种积分变换的其他应用.
关键词:积分变换方程广义积分
在自然科学和工程技术中,为了把较复杂的运算转化为较简单的运算,人们常常采用所谓变换的方法来达到目的。

在工程数学里积分变换能够将分析运算(如:微分,积分)转化为代数运算。

正是积分变换的这一特性,使得它在微分方程和其他方程的求解中成为重要方法之一。

所谓积分变换,就是把某函数类A中的函数,经过某种可逆的积分手续
变成另一函数类B中的函数, 称为的像, 称为的原像。

在这种变换之下,原来的偏微分方程可以减少自变量的个数,直至变成常微分方程,原来的常微分方程,可以变成代数方程,从而使在函数类B中的运算简化,找出在B中的一个解;再经过逆变换,便得到原来要在A中所求的解,而且是显示解。

1 基本概念
傅氏积分定理若函数在任何有限区间上满足狄利克雷条件,且在无限区间上绝对可积,则有
在的连续点处有
(1)
此式称为傅氏积分公式。

傅氏变换在傅氏积分公式(1)中,记
(2)
则有(3)
(2)式称为函数的傅氏变换,记为,(3)式称为函数的傅氏逆变换,记为
利用傅氏变换求解微风方程时,会遇到一些困难,傅氏变换存在的条件是除
满足狄利克雷条件以外,还要在上绝对可积,许多常见的初等函数,例如,常数函数、多项式、正弦与余弦函数等都不满足这个要求。

为了解决上述问题,人们转而讨论拉氏变换。

拉氏变换设在上有定义,且积分( 为一复参变量)在的某一区域内收敛,则由此积分所确定的的函数
称为函数的拉氏变换,记为,而称为拉氏逆变换,记为
2 利用积分变换解偏微分方程
例1.求解弦振动方程的哥西问题:
解对(1),(2),(3)的两端关于分别进行傅氏变换,并记
利用原象的导数定理,得到带参数的常微分方程的哥西问题
其解是
于是原定解问题的解为
由逆变换公式,得
例2. 求解半无界弦的振动问题
其中为充分光滑的已知函数.
解对方程两端关于变量作拉氏变换,记
由拉氏变p由像函数的微分性质
得
例4.求微分方程满足的解
解设,这是一个变系数二阶微分方程,两边取拉氏变换,再利用拉氏变换的性质,得
将方程两边取拉氏变换并代入初始条件
即这是关于的一阶线性常微分方程
其解为: ( 为积分常数)
由初值定理,得,求得
∴,.
4 利用积分变换解积分方程
例5. 求解方程,其中为已知函数.
解设
将方程两边取傅氏变换,并由卷积定理,得
解此方程,得
再取傅氏逆变换,得.
例6. 求解积分方程
解原方程可写成
设,将原方程两边取拉氏变换,利用卷积定理,得即
从而,
再两边取拉氏逆变换,得
5 利用积分变换解实广义积分
例7 利用傅氏变换的乘积定理计算积分:.
解因为
由乘积定理
故
例8. 计算积分: (1) ;(2)
解(1)因为
由微分性质
但另一方面
当时. 即.
解(2)由公式,得
p
参考文献
[1]华中科技大学数学系,复变函数与积分变换[M].北京:高等教育出版社,2003.6.
[2]南京工学院数学教研室,积分变换[M].北京:高等教育出版社,2002.
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[4]李建林.复变函数积分变换[M],西安:西北工业大学,2001.。